रोम्बस का क्षेत्रफल: गणना कैसे करें, सूत्र, विकर्ण

ए हीरा क्षेत्र इसके आंतरिक क्षेत्र का माप है। क्षेत्र की गणना करने का एक तरीका एक रोम्बस का बड़े विकर्ण और छोटे विकर्ण के बीच उत्पाद के आधे हिस्से को निर्धारित करना है, जिनके उपायों का प्रतिनिधित्व किया जाता है डी यह है डी क्रमश।

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इस लेख के विषय

• 1 - समचतुर्भुज के क्षेत्र के बारे में सारांश
• 2 - रोम्बस के तत्व
• 3 - रोम्बस के विकर्णों के गुण
• 4 - रोम्बस के क्षेत्र के लिए सूत्र
• 5 - एक रोम्बस के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें?
• 6 - रोम्बस के क्षेत्र में व्यायाम करें

रोम्बस के क्षेत्र के बारे में सारांश

• एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें चार सर्वांगसम भुजाएँ और विपरीत सर्वांगसम कोण होते हैं।

• एक समचतुर्भुज के दो विकर्णों को बड़े विकर्ण के रूप में जाना जाता है (डी) और छोटा विकर्ण (डी).

• समचतुर्भुज का प्रत्येक विकर्ण उस बहुभुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।

• समचतुर्भुज के दो विकर्ण लंबवत होते हैं और अपने मध्यबिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

• समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र है:

\(A=\frac{D\times d}{2}\)

अब मत रोको... प्रचार के बाद और भी कुछ है;)

रोम्बस तत्व

हीरा एक समांतर चतुर्भुज है द्वारा बनाया समान लंबाई और विपरीत कोणों की चार भुजाएँ उसी माप का। नीचे के हीरे में, हमारे पास है \(\overline{PQ}=\overline{QR}=\overline{RS}=\overline{SP}\), \(\हैट{पी}=\हैट{आर}\) यह है \(\हैट{क्यू}=\हैट{एस}\).

विपरीत सिरों पर सिरों वाले खंड समचतुर्भुज के विकर्ण होते हैं। नीचे दी गई छवि में, हम खंड कहते हैं \(\ओवरलाइन {पीआर}\) में बड़ा विकर्ण और खंड \(\ओवरलाइन {क्यूएस}\) में छोटा विकर्ण.

रोम्बस के विकर्ण गुण

आइए जानते हैं समचतुर्भुज के विकर्णों से संबंधित दो गुण।

• संपत्ति 1: प्रत्येक विकर्ण समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करता है।

 पहले बड़े विकर्ण पर विचार करें \(\ओवरलाइन {पीआर}\) एक रोम्बस का पीक्यूआरएस के बगल में एल.

एहसास है कि \(\ओवरलाइन {पीआर}\) समचतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करें: पीक्यूआर यह है पीएसआर. अभी तक:

\(\overline{PQ}=\overline{PS}=l\)

\(\overline{QR}=\overline{SR}=l\)

\(\ओवरलाइन {पीआर}\) यह सामान्य पक्ष है।

इस प्रकार, एलएलएल मानदंड द्वारा, त्रिकोण पीक्यूआर यह है पीएसआर सर्वांगसम हैं.

अब छोटे विकर्ण पर विचार करें \(\ओवरलाइन {क्यूएस}\).

एहसास है कि \(\ओवरलाइन {QS} \) समचतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करें: पीक्यूएस यह है आरक्यूएस. अभी तक:

\(\overline{PQ}=\overline{RQ}=l\)

\(\overline{PS}=\overline{RS}=l\)

\(\ओवरलाइन {क्यूएस}\) यह सामान्य पक्ष है।

इस प्रकार, LLL कसौटी से, त्रिभुज पीक्यूएस यह है आरक्यूएस सर्वांगसम हैं।

• संपत्ति 2: एक समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं और एक दूसरे के मध्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

विकर्णों द्वारा गठित कोण \(\ओवरलाइन {पीआर}\) यह है \(\ओवरलाइन {क्यूएस}\) माप 90°.

यह हैहे विकर्णों का मिलन बिंदु \(\overline{{PR}}\) यह है \(\ओवरलाइन {{QS}}\); इस कदर, हे का मध्यबिंदु है \(\ओवरलाइन {पीआर}\) और का मध्यबिंदु भी है \(\ओवरलाइन {क्यूएस}\). अगर \( \overline{PR}\)मुझे दें डी यह है \(\ओवरलाइन {क्यूएस}\) मुझे दें डी, इस का मतलब है कि:

\(\overline{PO}=\overline{OR}=\frac{D}{2}\)

\(\overline{QO}=\overline{OS}=\frac{d}{2}\)

अवलोकन: समचतुर्भुज के दो विकर्ण इस आकृति को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। त्रिभुजों पर विचार करें पीक्यूओ, आरक्यूओ, पीएसओ यह है आरएसओ. ध्यान दें कि प्रत्येक का माप पक्ष है। एल (कर्ण), माप में से एक \(\frac{डी} {2}\) और दूसरा उपाय \(\frac{डी} {2}\).

यह भी देखें: त्रिभुजों के बीच तुलना और समानता

रोम्बस क्षेत्र सूत्र

यह है डी बड़े विकर्ण की लंबाई और डी एक रोम्बस के छोटे विकर्ण का माप; समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:

\(A=\frac{D\times d}{2}\)

नीचे इस सूत्र का प्रदर्शन है।

इस पाठ में हमने जिस पहली संपत्ति का अध्ययन किया है, उसके अनुसार विकर्ण \(\ओवरलाइन {क्यूएस}\) हीरे को बांटो पीक्यूआरएस दो सर्वांगसम त्रिभुजों में (पीक्यूएस यह है आरक्यूएस). इसका अर्थ है कि इन दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान है। फलस्वरूप, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल इनमें से किसी एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना है.

\(A_{\mathrm{हीरा}}=2\बार A_{त्रिकोण} PQS\)

हमने जो दूसरे गुण का अध्ययन किया, उसके अनुसार त्रिभुज का आधार पीक्यूएस मुझे दें डी और ऊंचाई मापता है डी2. याद रखें कि त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना आधार×ऊंचाई से की जा सकती है2. जल्दी:

\(A_{\mathrm{हीरा}}=2\बार A_{त्रिकोण} PQS\)

\(A_{\mathrm{हीरा}}=2\बार\बायां(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\दाएं)\)

\(A_{\mathrm{हीरा}}=2\बार\बायां(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\दाएं)\)

\(A_{\mathrm{हीरा}}=\frac{D\times d}{2}\)

रोम्बस के क्षेत्र की गणना कैसे करें?

जैसा कि हमने देखा, यदि विकर्णों की माप बता दी जाए, तो यह काफी है एक रोम्बस के क्षेत्र की गणना करने के लिए सूत्र लागू करें:

\(A=\frac{D\times d}{2}\)

अन्यथा, हमें अन्य रणनीतियों को अपनाने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, इस बहुभुज के गुण।

उदाहरण 1: एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है जिसके विकर्ण 2 सेमी और 3 सेमी मापते हैं?

सूत्र को लागू करना, हमारे पास है:

\(A_{\mathrm{हीरा}}=\frac{D\times d}{2}\)

\(A_{\mathrm{हीरा}}=\frac{3\times2}{2}\)

\(A_{\mathrm{हीरा}}=3 सेमी²\)

उदाहरण 2: एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है जिसकी भुजा और छोटे विकर्ण क्रमशः मापते हैं, 13 सेमी और 4 सेमी?

संपत्ति 2 का अवलोकन करके, समचतुर्भुज के विकर्ण इस बहुभुज को चार समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं सर्वांगसम। प्रत्येक समकोण त्रिभुज में माप के पैर होते हैं \(\frac{डी} {2}\) यह है \(\frac{डी} {2}\) और कर्ण को मापें एल. पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:

\(l^2=\बाएं(\frac{d}{2}\दाएं)^2+\बाएं(\frac{D}{2}\दाएं)^2\)

की जगह \(डी=4 सेमी\) यह है डी = 4 सेमी, हमें करना होगा

\(\बाएं(\sqrt{13}\दाएं)^2=\बाएं(\frac{4}{2}\दाएं)^2+\बाएं(\frac{D}{2}\दाएं)^2\ )

\(13=4+\frac{D^2}{4}\)

\(डी^2=36\)

जैसा डी एक खंड का माप है, हम केवल सकारात्मक परिणाम पर विचार कर सकते हैं। अर्थात:

डी = 6

सूत्र को लागू करना, हमारे पास है:

\(A_{\mathrm{हीरा}}=\frac{D\times d}{2}\)

\(A_{\mathrm{हीरा}}=\frac{6\times4}{2}\)

\(A_{\mathrm{हीरा}}=\ 12 सेमी²\)

अधिक जानते हैं: समतल आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना के लिए प्रयुक्त सूत्र

रोम्बस के क्षेत्र पर व्यायाम

प्रश्न 1

(Fauel) एक समचतुर्भुज में, विकर्ण 13 और 16 सेमी मापते हैं। आपके क्षेत्र की माप क्या है?

ए) 52 सेमी²

बी) 58 सेमी²

ग) 104 सेमी²

डी) 208 सेमी²

ई) 580 सेमी²

संकल्प: वैकल्पिक सी

सूत्र को लागू करना, हमारे पास है:

\(A_{\mathrm{हीरा}}=\frac{D\times d}{2}\)

\(A_{\mathrm{हीरा}}=\frac{16\times13}{2}\)

\(A_{\mathrm{हीरा}}=\ 104 सेमी²\)

प्रश्न 2

(Fepese) एक कारखाना हीरे के आकार में चीनी मिट्टी के टुकड़ों का उत्पादन करता है, जिसका छोटा विकर्ण बड़े विकर्ण का एक चौथाई मापता है और बड़ा विकर्ण 84 सेमी मापता है।

इसलिए, इस कारखाने द्वारा उत्पादित प्रत्येक सिरेमिक टुकड़े का क्षेत्रफल, वर्ग मीटर में है:

ए) 0.5 से अधिक।

b) 0.2 से अधिक और 0.5 से कम।

c) 0.09 से अधिक और 0.2 से कम।

d) 0.07 से अधिक और 0.09 से कम।

ई) 0.07 से कम।

संकल्प: वैकल्पिक डी

अगर डी बड़ा विकर्ण है और डी छोटा विकर्ण है, तो:

\(डी=\frac{1}{4}डी\)

\(डी=\frac{1}{4}\cdot84\)

\(डी=21 सेमी\)

सूत्र को लागू करना, हमारे पास है

\(A_{\mathrm{हीरा}}=\frac{D\times d}{2}\)

\(A_{\mathrm{हीरा}}=\frac{84\times21}{2}\)

\(A_{\mathrm{हीरा}}=882 सेमी²\)

जैसा कि 1 सेमी² से मेल खाता है \(1\cdot{10}^{-4} मी²\), तब:

\(\frac{1\ cm^2}{882\ cm^2}=\frac{1\cdot{10}^{-4}\ m^2}{x}\)

\(x=0.0882 मी²\)

मारिया लुइज़ा अल्वेस रिज़ो द्वारा
गणित शिक्षक

क्या आप इस पाठ को किसी स्कूल या शैक्षणिक कार्य में संदर्भित करना चाहेंगे? देखना:

रिज़ो, मारिया लुइज़ा अल्वेस। "रोम्बस का क्षेत्र"; ब्राजील स्कूल. में उपलब्ध: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-do-losango.htm. 12 मई, 2023 को एक्सेस किया गया।

समांतर चतुर्भुज की परिभाषा और उसके गुणों को जानें, साथ ही मुख्य समांतर चतुर्भुजों और क्षेत्रफल और परिमाप के लिए उनके सूत्रों के बारे में जानें।

जानें कि बहुभुज क्या हैं और उनके तत्व क्या हैं। बहुभुजों के नामकरण की विधि और हम आंतरिक और बाह्य कोणों को कैसे जोड़ते हैं, जानें।

चतुर्भुजों और उन बुनियादी विशेषताओं को जानें जो उन्हें समांतर चतुर्भुज, समलम्बाकार या दोनों में से किसी के रूप में वर्गीकृत करने के लिए प्रेरित करती हैं।

उन मामलों की जाँच करें जिनमें सभी भुजाओं और कोणों को मापने की आवश्यकता के बिना त्रिभुजों की समानता की जाँच करना संभव है।

पाइथागोरस प्रमेय त्रिभुजों के अध्ययन में सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक है। यहां क्लिक करें, जानें इसके फॉर्मूले के बारे में और पता करें कि इसे कैसे लगाना है!

समझें कि एक त्रिभुज क्या है, साथ ही यह भी सीखें कि इसका क्षेत्रफल और परिधि की गणना कैसे करें। इस आकृति के प्रकार भी देखें और उनमें से प्रत्येक को पहचानना सीखें।

समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना सीखें। वर्ग, आयत, त्रिभुज, वृत्त, रोम्बस और ट्रेपेज़ जैसे मुख्य समतल आकृतियों के क्षेत्रफल सूत्र जानें।

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