मानक विचलन: यह क्या है, इसकी गणना कैसे करें, उदाहरण

हे मानक विचलन विचरण और भिन्नता के गुणांक के रूप में फैलाव का एक उपाय है। मानक विचलन का निर्धारण करते समय, हम अंकगणितीय माध्य के चारों ओर एक सीमा स्थापित कर सकते हैं (किसी सूची में संख्याओं के योग और जोड़े गए अंकों की संख्या के बीच विभाजन) जहां अधिकांश डेटा केंद्रित है। मानक विचलन का मान जितना अधिक होगा, डेटा की परिवर्तनशीलता उतनी ही अधिक होगी, अर्थात अंकगणितीय माध्य से विचलन जितना अधिक होगा।

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इस लेख के विषय

• 1 - मानक विचलन का सारांश
• 2 - मानक विचलन क्या है?
• 3 - मानक विचलन की गणना कैसे करें?
• 4 - मानक विचलन कितने प्रकार के होते हैं?
• 5 - मानक विचलन और भिन्नता के बीच क्या अंतर हैं?
• 6 - मानक विचलन पर हल अभ्यास

मानक विचलन सारांश

• मानक विचलन परिवर्तनशीलता का एक उपाय है।
• मानक विचलन संकेतन लोअरकेस ग्रीक अक्षर सिग्मा (σ) या अक्षर s है।
• माध्य के आसपास डेटा की परिवर्तनशीलता को सत्यापित करने के लिए मानक विचलन का उपयोग किया जाता है।
• मानक विचलन एक सीमा निर्धारित करता है \(\बाएं[\mu-\sigma,\mu+\sigma\right]\), जहां अधिकांश डेटा स्थित है।
• मानक विचलन की गणना करने के लिए, हमें विचरण का वर्गमूल ज्ञात करना होगा:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\बाएं (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

मानक विचलन क्या है?

मानक विचलन एक है सांख्यिकी में अपनाया गया फैलाव उपाय. इसका उपयोग जुड़ा हुआ है विचरण व्याख्या, जो फैलाव का एक उपाय भी है।

व्यवहार में, मानक विचलन अंकगणितीय माध्य पर केंद्रित एक अंतराल निर्धारित करता है, जिसमें अधिकांश डेटा केंद्रित होता है. इस प्रकार, मानक विचलन का मान जितना अधिक होगा, डेटा की अनियमितता उतनी ही अधिक होगी (अधिक जानकारी विषम), और मानक विचलन का मान जितना छोटा होगा, डेटा की अनियमितता उतनी ही कम होगी (अधिक जानकारी सजातीय)।

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मानक विचलन की गणना कैसे करें?

डेटा सेट के मानक विचलन की गणना करने के लिए, हमें विचरण का वर्गमूल ज्ञात करना चाहिए. तो, मानक विचलन की गणना करने का सूत्र है

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\बाएं (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

• \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → शामिल डेटा।
• μ → डेटा का अंकगणितीय माध्य।
• एन → डेटा की मात्रा।
• \( \sum_{i=1}^{N}\बाएं (x_i-\mu\दाएं)^2\ =\ \बाएं (x_1-\mu\दाएं)^2+\बाएं (x_2-\mu\दाएं) )^2+\बाएं (x_3-\mu\दाएं)^2+...+\बाएं (x_N-\mu\दाएं)^2 \)

अंतिम आइटम, जो रेडिकैंड के अंश को संदर्भित करता है, प्रत्येक डेटा बिंदु और अंकगणितीय माध्य के बीच अंतर के वर्गों का योग दर्शाता है। कृपया ध्यान दें कि मानक विचलन के लिए माप की इकाई माप की वही इकाई है जो डेटा है एक्स₁,एक्स₂,एक्स₃,…,एक्स_नहीं.

यद्यपि इस सूत्र का लेखन थोड़ा जटिल है, इसका अनुप्रयोग सरल और अधिक प्रत्यक्ष है। मानक विचलन की गणना करने के लिए इस अभिव्यक्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण नीचे दिया गया है।

• उदाहरण:

दो सप्ताह के लिए, एक शहर में निम्नलिखित तापमान दर्ज किए गए:

सप्ताह/दिन	रविवार	दूसरा	तीसरा	चौथी	पांचवां	शुक्रवार	शनिवार
सप्ताह 1	29 डिग्री सेल्सियस	30 डिग्री सेल्सियस	31 डिग्री सेल्सियस	31.5 डिग्री सेल्सियस	28 डिग्री सेल्सियस	28.5 डिग्री सेल्सियस	29 डिग्री सेल्सियस
सप्ताह 2	28.5 डिग्री सेल्सियस	27 डिग्री सेल्सियस	28 डिग्री सेल्सियस	29 डिग्री सेल्सियस	30 डिग्री सेल्सियस	28 डिग्री सेल्सियस	29 डिग्री सेल्सियस

इस शहर में दो सप्ताहों में से किसमें तापमान अधिक नियमित रहा?

संकल्प:

तापमान नियमितता का विश्लेषण करने के लिए, हमें पहले और दूसरे सप्ताह में दर्ज तापमान के मानक विचलन की तुलना करनी चाहिए।

• आइए पहले सप्ताह 1 के लिए मानक विचलन देखें:

ध्यान दें कि औसत μ₁ यह है नहीं₁ वे हैं

\(\mu_1=\frac{29+30+31+31.5+28+28.5+29}{7}\approx29.57\)

\(N_1=7 \) (सप्ताह के सातों दिन)

साथ ही, हमें प्रत्येक तापमान और औसत तापमान के बीच अंतर के वर्ग की गणना करने की आवश्यकता है।

\(\बाएं (29-29.57\दाएं)^2=0.3249\)

\(\बाएं (30-29.57\दाएं)^2=0.1849\)

\(\बाएं (31-29.57\दाएं)^2=2.0449\)

\(\बाएं (31.5-29.57\दाएं)^2=3.7249\)

\(\बाएं (28-29.57\दाएं)^2=2.4649\)

\(\बाएं (28.5-29.57\दाएं)^2=1.1449\)

\(\बाएं (29-29.57\दाएं)^2=0.3249\)

परिणामों को जोड़ने पर, हमारे पास यह है कि मानक विचलन सूत्र में रेडिकैंड का अंश है

\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)

तो सप्ताह 1 मानक विचलन है

\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\बाएं (x_i-\mu_1\दाएं)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \लगभग1.208\ °C\)

नोट: इस परिणाम का मतलब है कि सप्ताह के अधिकांश 1 तापमान अंतराल [28.36 डिग्री सेल्सियस, 30.77 डिग्री सेल्सियस], यानी अंतराल में हैं \(\बाएं[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\दाएं]\).

• अब आइए सप्ताह 2 मानक विचलन देखें:

उसी तर्क के बाद, हमारे पास है

\(\mu_2=\frac{28.5+27+28+29+30+28+29}{7}=28.5\)

\(N_2=7\)

\(\बाएं (28.5-28.5\दाएं)^2=0\)

\(\बाएं (27-28.5\दाएं)^2=2.25\)

\(\बाएं (28-28.5\दाएं)^2=0.25\)

\(\बाएं (29-28.5\दाएं)^2=0.25\)

\(\बाएं (30-28.5\दाएं)^2=2.25\)

\(\बाएं (28-28.5\दाएं)^2=0.25\)

\(\बाएं (29-28.5\दाएं)^2=0.25\)

\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)

तो सप्ताह 2 मानक विचलन है

\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\बाएं (x_i-\mu_1\दाएं)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \लगभग0.89\ °C\)

इस परिणाम का अर्थ है कि अधिकांश सप्ताह 2 तापमान सीमा में हैं \(\बाएं[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\दाएं]\), यानी रेंज \(\बाएं[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\दाएं]\).

एहसास है कि \(\sigma_2यानी, दूसरे हफ़्ते का मानक विचलन पहले हफ़्ते के मानक विचलन से कम है। इसलिए, सप्ताह 2 ने पहले सप्ताह की तुलना में अधिक नियमित तापमान प्रस्तुत किया।

मानक विचलन कितने प्रकार के होते हैं?

मानक विचलन के प्रकार डेटा संगठन के प्रकार से संबंधित होते हैं. पिछले उदाहरण में, हमने असमूहीकृत डेटा के मानक विचलन के साथ काम किया। अन्यथा संगठित डेटा (उदाहरण के लिए समूहीकृत डेटा) के एक सेट के मानक विचलन की गणना करने के लिए, आपको सूत्र को समायोजित करने की आवश्यकता होगी।

मानक विचलन और विचरण के बीच अंतर क्या हैं?

मानक विचलन वर्गमूल है विचरण का:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\बाएं (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\बाएं (x_i-\mu\right)^2}{N}\)

डेटा सेट की परिवर्तनशीलता को निर्धारित करने के लिए विचरण का उपयोग करते समय, परिणाम में डेटा यूनिट का वर्ग होता है, जो इसके विश्लेषण को कठिन बना देता है। इस प्रकार, मानक विचलन, जिसमें डेटा के समान इकाई होती है, विचरण परिणाम की व्याख्या करने के लिए एक संभावित उपकरण है।

अधिक जानते हैं:पूर्ण आवृत्ति - डेटा संग्रह के दौरान समान प्रतिक्रिया की संख्या कितनी बार दिखाई दी

मानक विचलन पर हल अभ्यास

प्रश्न 1

(FGV) 10 छात्रों की एक कक्षा में, मूल्यांकन में छात्रों के ग्रेड थे:

6

7

7

8

8

8

8

9

9

10

इस सूची का मानक विचलन लगभग है

ए) 0.8।

बी) 0.9।

सी) 1.1।

डी) 1.3।

ई) 1.5।

संकल्प:

वैकल्पिक सी.

बयान के अनुसार, एन = 10. इस सूची का औसत है

\mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)

आगे,

\(\बाएं (6-8\दाएं)^2=4\)

\(\बाएं (7-8\दाएं)^2=1\)

\(\बाएं (8-8\दाएं)^2=0\)

\(\बाएं (9-8\दाएं)^2=1\)

\(\बाएं (10-8\दाएं)^2=4\)

\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)

तो इस सूची का मानक विचलन है

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\बाएं (x_i-8\दाएं)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\approx1.1\)

प्रश्न 2

नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें और प्रत्येक को T (सही) या F (गलत) के रूप में रेट करें।

मैं। विचरण का वर्गमूल मानक विचलन है।

द्वितीय। मानक विचलन का अंकगणितीय माध्य से कोई संबंध नहीं है।

तृतीय। विचरण और मानक विचलन फैलाव के उपायों के उदाहरण हैं।

ऊपर से नीचे का सही क्रम है

ए) वी-वी-एफ

बी) एफ-एफ-वी

सी) एफ-वी-एफ

डी) एफ-एफ-एफ

ई) वी-एफ-वी

संकल्प:

ई वैकल्पिक।

मैं। विचरण का वर्गमूल मानक विचलन है। (सत्य)

द्वितीय। मानक विचलन का अंकगणितीय माध्य से कोई संबंध नहीं है। (असत्य)
मानक विचलन अंकगणितीय माध्य के आसपास एक अंतराल को इंगित करता है जिसमें अधिकांश डेटा गिरते हैं।

तृतीय। विचरण और मानक विचलन फैलाव के उपायों के उदाहरण हैं। (सत्य)

मारिया लुइज़ा अल्वेस रिज़ो द्वारा
गणित शिक्षक

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