पहली डिग्री समीकरण: यह क्या है और गणना कैसे करें

पहली डिग्री समीकरण एक समीकरण है जिसकी डिग्री 1 अज्ञात है। समीकरण गणितीय वाक्य हैं जिनमें अज्ञात हैं, जो अक्षर हैं जो अज्ञात मूल्यों और समानता का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रथम डिग्री समीकरण का गणितीय वाक्य है एक्स + बी = 0, जहां तथा बी वास्तविक संख्याएं हैं, और 0 से भिन्न है। प्रथम डिग्री समीकरण लिखने का उद्देश्य यह पता लगाना है कि अज्ञात का वह मान क्या है जो समीकरण को संतुष्ट करता है। यह मान समीकरण के हल या मूल के रूप में जाना जाता है।

यह भी पढ़ें: घातीय समीकरण — वह समीकरण जिसके एक घातांक में कम से कम एक अज्ञात हो

इस लेख में विषय

• 1 - प्रथम डिग्री समीकरण का सारांश
• 2 - प्रथम डिग्री समीकरण क्या है?
• 3 - प्रथम डिग्री समीकरण की गणना कैसे करें?
  • → अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री समीकरण
  • ? दो अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री समीकरण
• 4 - एनीमे में पहली डिग्री का समीकरण
• 5 - प्रथम डिग्री समीकरण पर हल किए गए अभ्यास

पहली डिग्री समीकरण का सारांश

• पहली डिग्री समीकरण एक गणितीय वाक्य है जिसमें 1 डिग्री अज्ञात है।

• एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री के समीकरण का एक अनूठा समाधान है।

• एक अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री समीकरण का वर्णन करने वाला गणितीय वाक्य है एक्स + बी = 0.

• अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री समीकरण को हल करने के लिए, हम अज्ञात को अलग करने और उसके मूल्य को खोजने के लिए समानता के दोनों किनारों पर संचालन करते हैं।

• दो अज्ञात के साथ पहली डिग्री के समीकरण के अनंत समाधान हैं।

• दो अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री समीकरण का वर्णन करने वाला गणितीय वाक्य है एक्स + बीवाई + सी = 0

• पहली डिग्री समीकरण एनेम में एक आवर्ती शब्द है, जो आमतौर पर ऐसे प्रश्नों के साथ आता है जिन्हें हल करने से पहले पाठ की व्याख्या और समीकरण के संयोजन की आवश्यकता होती है।

प्रथम डिग्री समीकरण क्या है?

समीकरण एक गणितीय वाक्य है जिसमें समानता और एक या अधिक अज्ञात हैं।. अज्ञात अज्ञात मान हैं, और हम उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए x, y, z जैसे अक्षरों का उपयोग करते हैं।

जो समीकरण की डिग्री निर्धारित करता है वह अज्ञात का घातांक है। इस प्रकार, जब अज्ञात के घातांक की घात 1 होती है, तो हमारे पास पहली डिग्री का समीकरण होता है. नीचे उदाहरण देखें:

• 2x + 5 = 9 (एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री समीकरण, x)

• y - 3 = 0 (एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री समीकरण, y)

• 5x + 3y - 3 = 0 (दो अज्ञात, x और y के साथ पहली डिग्री समीकरण)

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पहली डिग्री समीकरण की गणना कैसे करें?

हम दी गई स्थिति को एक समीकरण के रूप में तब निरूपित करते हैं जब हम उन मानों को खोजें जो अज्ञात ले सकते हैं जो समीकरण को सही बनाते हैंअर्थात् समीकरण के हल या हल ज्ञात कीजिए। आइए नीचे देखें कि एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री के समीकरण का समाधान और दो अज्ञात के साथ पहली डिग्री के समीकरण का समाधान कैसे प्राप्त करें।

→ एक अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री समीकरण

एक अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री समीकरण प्रकार का समीकरण है:

\(कुल्हाड़ी+बी=0\ \)

उस वाक्य में, तथा बी वास्तविक संख्याएँ हैं। हम संदर्भ के रूप में समानता के प्रतीक का उपयोग करते हैं। इससे पहले हमारे पास समीकरण का पहला सदस्य है और बराबर चिह्न के बाद हमारे पास समीकरण का दूसरा सदस्य है।

इस समीकरण का हल खोजने के लिए, हम चर x को अलग करना चाहते हैं। चलो घटाते हैं बी समीकरण के दोनों ओर:

\(कुल्हाड़ी+बी-बी=0-बी\ \)

\(कुल्हाड़ी=-\ ख\)

अब हम विभाजित करेंगे दोनों तरफ:

\(\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}\)

\(x=\frac{-b}{a}\)

महत्वपूर्ण:समीकरण के दोनों पक्षों पर एक क्रिया करने की इस प्रक्रिया को अक्सर "दूसरी तरफ से गुजरना" या "रिवर्स ऑपरेशन करते हुए दूसरी तरफ से गुजरना" के रूप में वर्णित किया जाता है।

• उदाहरण 1:

समीकरण का हल खोजें:

2x - 6 = 0

संकल्प:

चर x को अलग करने के लिए, आइए समीकरण के दोनों पक्षों में 6 जोड़ें:

\(2x-6+6\ =0+6\)

\(2x=6\)

अब, हम दोनों पक्षों से 2 से भाग देंगे:

\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)

\(x=3\ \)

हम समीकरण x = 3 के हल के रूप में पाते हैं। इसका अर्थ यह है कि यदि हम x के स्थान पर 3 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो समीकरण सत्य होगा:

\(2\cdot3-6=0\)

\(6-6=0\ \)

\(0=0\)

• उदाहरण 2:

हम व्यावहारिक विधि का उपयोग करके समीकरण को और अधिक सीधे हल कर सकते हैं:

\(5x+1=-\ 9\)

सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि समीकरण का पहला सदस्य क्या है और समीकरण का दूसरा सदस्य क्या है:

समीकरण का हल खोजने के लिए, हम समीकरण के पहले सदस्य पर अज्ञात को अलग करेंगे। इसके लिए, जो अज्ञात नहीं है, उसे उलटा संचालन करने वाले दूसरे सदस्य को पास किया जाएगा, जो + 1 से शुरू होता है। जैसा कि यह जोड़ रहा है, यह घटाकर दूसरे सदस्य के पास जाएगा:

\(5x+1=-\ 9\ \)

\(5x=-\ 9-1\ \)

\(5x=-\ 10\)

हम x का मान चाहते हैं, लेकिन हम 5x का मान ज्ञात करते हैं। चूँकि 5 x को गुणा कर रहा है, यह का व्युत्क्रम संक्रिया करते हुए दायीं ओर जाएगा गुणा, अर्थात् विभाजित करना।

\(5x=-\ 10\)

\(x=\frac{-10}{5}\)

\(x=-\ 2\)

इस समीकरण का हल x = - 2 है।

• उदाहरण 3:

प्रश्न हल करें:

\(5x+4=2x-6\)

इस समीकरण को हल करने के लिए, हम शुरू में पहले सदस्य पर अज्ञात शब्द और दूसरे सदस्य पर अज्ञात नहीं रखने वाले शब्द डालेंगे। ऐसा करने के लिए, आइए उनकी पहचान करें:

\({\color{red}5}{\color{red}x}+ 4 = {\color{red}2}{\color{red}x}\ -\ 6\)

लाल रंग में वे शब्द हैं जिनमें अज्ञात, 5x और 2x है, और काले रंग में, वे शब्द हैं जिनका कोई अज्ञात नहीं है। चूँकि +4 का कोई अज्ञात नहीं है, आइए इसे घटाकर दूसरे सदस्य तक पहुँचाएँ।

\(\रंग{लाल}{5x}=\रंग{लाल}{2x}-6-4\)

ध्यान दें कि 2x में एक अज्ञात है, लेकिन दूसरे सदस्य में है। हम इसे 5x घटाते हुए पहले सदस्य को पास करेंगे:

\({\रंग{लाल}{5x}-\रंग{लाल}{2x}=-6-4}\)

\(3x = - 10\)

अब, 3 भाग को पार करते हुए, हमारे पास वह है:

\(x=-\frac{10}{3}\)

महत्वपूर्ण: एक समीकरण का हल भिन्न हो सकता है, जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है।

◆ अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री समीकरण पर वीडियो पाठ

➝ दो अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री समीकरण

जब पहली डिग्री का समीकरण होता है जिसमें दो अज्ञात होते हैं, तो एक भी समाधान नहीं होता है, बल्कि अनंत समाधान. दो अज्ञात के साथ एक प्रथम डिग्री समीकरण प्रकार का समीकरण है:

\(कुल्हाड़ी+द्वारा+सी=0\)

समीकरण के कुछ अनंत हल खोजने के लिए, हम इसके एक चर के लिए एक मान निर्दिष्ट करते हैं और दूसरे चर का मान ज्ञात करते हैं।

• उदाहरण:

समीकरण के 3 संभावित समाधान खोजें:

\(2x+y+3=0\)

संकल्प:

3 समाधान खोजने के लिए, हम x = 1 से शुरू होने वाले चर x के लिए कुछ मान चुनेंगे:

\(2\cdot1+y+3=0\)

\(2+y+3=0\ \)

\(y+5=0\)

पहले सदस्य में y को अलग करते हुए, हमारे पास वह है:

\(y=0-5\)

\(y=-\ 5\)

अतः समीकरण का एक संभावित हल x = 1 और y = - 5 है।

समीकरण का एक और हल खोजने के लिए, आइए किसी भी चर के लिए एक नया मान निर्दिष्ट करें। हम y = 1 करेंगे।

\(2x+1+3=0\ \)

\(2x+4=0\ \)

अलग एक्स:

\(2x=-\ 4\ \)

\(x=\frac{-4}{2}\)

\(x=-\ 2\)

इस समीकरण का दूसरा हल x = - 2 और y = 1 है।

अंत में, तीसरा समाधान खोजने के लिए, हम आपके किसी एक चर के लिए एक नया मान चुनेंगे। हम x = 0 करेंगे।

\(2\cdot0+y+3=0\)

\(0+y+3=0\)

\(y+3=0\ \)

\(y=0-3\)

\(y=-\ 3\ \)

तीसरा हल x = 0 और y = -3 है।

हम इन तीन समाधानों को (x, y) रूप के क्रमित युग्मों के रूप में निरूपित कर सकते हैं। समीकरण के लिए मिले समाधान थे:

\(\बाएं (1,-5\दाएं);\ \बाएं(-2,\ 1\दाएं);\बाएं (0,-3\दाएं)\)

महत्वपूर्ण: चूंकि इस समीकरण में दो अज्ञात हैं, इसलिए हमारे पास अनंत समाधान हैं। चर के मानों को यादृच्छिक रूप से चुना गया था, इसलिए हम चर के लिए अन्य पूरी तरह से अलग मान निर्दिष्ट कर सकते हैं और समीकरण के तीन अन्य समाधान ढूंढ सकते हैं।

अधिक जानते हैं: 2 डिग्री समीकरण - गणना कैसे करें?

एनीमे में प्रथम डिग्री समीकरण

एनेम में प्रथम डिग्री समीकरणों वाले प्रश्नों के लिए उम्मीदवार को सक्षम होने की आवश्यकता होती है समस्या स्थितियों को समीकरण में बदलना, उच्चारण डेटा का उपयोग करना। स्पष्टता के लिए, गणित क्षेत्र 5 योग्यता देखें।

• क्षेत्र 5 योग्यता: बीजगणितीय निरूपण का उपयोग करते हुए, सामाजिक-आर्थिक या तकनीकी-वैज्ञानिक चर से संबंधित समस्याओं को मॉडल और हल करें।

ध्यान दें कि एनीम में यह उम्मीद की जाती है कि उम्मीदवार हमारे दैनिक जीवन की समस्या स्थितियों को मॉडल कर सकते हैं और उन्हें एक समीकरण का उपयोग करके हल कर सकते हैं। इस क्षमता के भीतर, दो विशिष्ट कौशल हैं जिनमें समीकरण शामिल हैं जिनका एनेम आकलन करना चाहता है: कौशल 19 और कौशल 21।

• एच19: मात्राओं के बीच संबंध को व्यक्त करने वाले बीजीय निरूपण की पहचान करें।

• एच21: एक समस्या की स्थिति को हल करें जिसके मॉडलिंग में बीजगणितीय ज्ञान शामिल है।

इसलिए, यदि आप एनेम के लिए अध्ययन कर रहे हैं, तो पहली डिग्री के समीकरणों के समाधान में महारत हासिल करने के अलावा, इसमें शामिल समस्याओं की व्याख्या में प्रशिक्षित करना महत्वपूर्ण है। समीकरण, क्योंकि एनेम के लिए समस्या स्थितियों को समीकरण के रूप में लिखकर मॉडल करने की क्षमता विकसित करना उतना ही महत्वपूर्ण है जितना कि हल करने में सक्षम होना समीकरण

पहली डिग्री समीकरण पर हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1

(एनेम 2012) किसी उत्पाद की आपूर्ति और मांग वक्र क्रमशः उस मात्रा का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो विक्रेता और उपभोक्ता उत्पाद की कीमत के आधार पर बेचने को तैयार हैं। कुछ मामलों में, इन वक्रों को सीधी रेखाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है। मान लीजिए कि किसी उत्पाद की आपूर्ति और मांग की मात्रा क्रमशः समीकरणों द्वारा दर्शायी जाती है:

क्यू_हे = -20 + 4पी

क्यू_डी = 46 - 2पी

जिसमें क्यू_हे आपूर्ति की मात्रा है, क्यू_डी मांग की गई मात्रा है और पी उत्पाद की कीमत है।

इन आपूर्ति और मांग समीकरणों से, अर्थशास्त्री बाजार संतुलन मूल्य का पता लगाते हैं, अर्थात जब Q_हे और क्यू_डी बराबर। वर्णित स्थिति के लिए, संतुलन कीमत का मूल्य क्या है?

ए) 5

बी) 11

सी) 13

डी) 23

ई) 33

संकल्प:

वैकल्पिक बी

संतुलन मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम केवल दो समीकरणों की बराबरी करते हैं:

\(Q_O=Q_D\)

\(-20+4P=46 –2P\)

\(4P+2P=46+20\)

\(6P=66\)

\(P=\frac{66}{6}\)

\(पी=11\)

प्रश्न 2

(एनेम 2010) ट्रिपल जंप एक एथलेटिक्स पद्धति है जिसमें एथलीट एक पैर, एक कदम और एक छलांग पर उसी क्रम में कूदता है। एक पैर पर टेक-ऑफ के साथ छलांग लगाई जाएगी ताकि एथलीट पहले उसी पैर पर उतरे जिसने टेक-ऑफ दिया था; स्ट्राइड में वह दूसरे पैर से उतरेगा, जिससे छलांग लगाई जाती है।

यहां उपलब्ध है: www.cbat.org.br (अनुकूलित)।

ट्रिपल जंप मोडिटी के एक एथलीट ने अपने आंदोलनों का अध्ययन करने के बाद महसूस किया कि, दूसरे से तक पहली छलांग, सीमा में 1.2 मीटर की कमी हुई, और तीसरी से दूसरी छलांग में, सीमा में 1.5. की कमी आई एम। इस आयोजन में 17.4 मीटर के लक्ष्य तक पहुँचने के लिए और अपनी पढ़ाई को ध्यान में रखते हुए, पहली छलांग में जितनी दूरी तय करनी होगी, वह बीच में होनी चाहिए।

ए) 4.0 मीटर और 5.0 मीटर।

बी) 5.0 मीटर और 6.0 मीटर।

सी) 6.0 मीटर और 7.0 मीटर।

डी) 7.0 मीटर और 8.0 मीटर।

ई) 8.0 मीटर और 9.0 मीटर।

संकल्प:

वैकल्पिक डी

• पहली छलांग में, वह x मीटर की दूरी तक पहुंचता है।

• दूसरी छलांग पर, पहली छलांग से दूरी 1.2 मीटर कम हो जाती है, इसलिए वह x - 1.2 मीटर की दूरी तक पहुंच जाता है।

• तीसरे हॉप पर, दूसरे हॉप से ​​दूरी 1.5 मीटर कम हो जाती है, इसलिए तीसरे हॉप पर तय की गई दूरी x - 1.2 - 1.5 मीटर है, जो x - 2.7 मीटर के समान है।

हम जानते हैं कि इन दूरियों का योग 17.4 मीटर के बराबर होना चाहिए, इसलिए:

\(x+x-1.2+x-2.7=17.4\)

\(3x-3.9=17.4\)

\(3x=17.4+3.9\)

\(3x=21.3\)

\(x=\frac{21,3}{3}\)

\(x=7.1\)

इस प्रकार, पहली छलांग में पहुंची दूरी 7.0 और 8.0 मीटर के बीच है।

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित शिक्षक