स्पर्शरेखा: यह क्या है, इसकी गणना कैसे करें, उदाहरण

ए स्पर्शरेखा (संक्षिप्त रूप में टीजी या टैन) एक है त्रिकोणमितीय फलन. किसी कोण की स्पर्शरेखा निर्धारित करने के लिए, हम विभिन्न रणनीतियों का उपयोग कर सकते हैं: कोण की ज्या और कोज्या के बीच अनुपात की गणना करें, यदि वे ज्ञात हों; स्पर्शरेखा तालिका या कैलकुलेटर का उपयोग करें; अन्य बातों के अलावा, यदि विचाराधीन कोण समकोण त्रिभुज का आंतरिक (न्यूनतम) है, तो विपरीत पैर और आसन्न पैर के बीच अनुपात की गणना करें।

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इस लेख के विषय

• 1 - स्पर्शरेखा के बारे में सारांश
• 2 - एक कोण की स्पर्शरेखा
• 3 - उल्लेखनीय कोणों की स्पर्शरेखा
• 4 - स्पर्शरेखा की गणना कैसे करें?
  • → स्पर्शरेखा फलन का ग्राफ़
• 5 - स्पर्शरेखा का नियम
• 6 - त्रिकोणमितीय अनुपात
• 7 - स्पर्शरेखा पर हल किए गए अभ्यास

स्पर्शरेखा पर सारांश

• स्पर्शरेखा एक त्रिकोणमितीय फलन है।

• एक समकोण त्रिभुज के आंतरिक कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है।

• किसी भी कोण की स्पर्श रेखा उस कोण की ज्या और कोज्या का अनुपात होती है।

• कार्यक्रम \(f (x)=tg\ x\) कोणों के लिए परिभाषित किया गया है एक्स रेडियन में व्यक्त किया जाता है, जैसे कि कॉस \(cos\ x≠0\).

• स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का ग्राफ मानों के लिए लंबवत अनंतस्पर्शी दिखाता है, जहां \(x= \frac{π}2+kπ\), साथ क संपूर्ण, जैसे \(x=-\frac{π}2\).

• स्पर्शरेखा का नियम एक अभिव्यक्ति है जो किसी भी त्रिभुज में, दो कोणों की स्पर्शरेखाओं और उन कोणों के विपरीत भुजाओं को जोड़ती है।

किसी कोण की स्पर्शरेखा

यदि α एक है कोण ए का आंतरिक सही त्रिकोण, α की स्पर्शरेखा विपरीत पैर की लंबाई और आसन्न पैर की लंबाई के बीच का अनुपात है:

किसी भी कोण α के लिए, स्पर्शरेखा पाप α और α की कोज्या के बीच का अनुपात है, जहां \(cos\ α≠0\):

\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि α पहले या तीसरे चतुर्थांश में एक कोण है, तो स्पर्शरेखा का एक सकारात्मक चिह्न होगा; लेकिन यदि α दूसरे या चौथे चतुर्थांश का कोण है, तो स्पर्शरेखा का चिह्न ऋणात्मक होगा। यह संबंध सीधे प्रत्येक α के लिए साइन और कोसाइन के संकेतों के बीच संकेत नियम से उत्पन्न होता है।

महत्वपूर्ण: ध्यान दें कि α के मानों के लिए स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है \(cos\ α=0\). ऐसा 90°, 270°, 450°, 630° इत्यादि कोणों के लिए होता है। इन कोणों को सामान्य तरीके से दर्शाने के लिए, हम रेडियन संकेतन का उपयोग करते हैं: \(\frac{ π}2+kπ\), साथ क पूरा।

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उल्लेखनीय कोणों की स्पर्शरेखा

अभिव्यक्ति का उपयोग करना \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), हम स्पर्शरेखाएँ ज्ञात कर सकते हैं उल्लेखनीय कोण, जो 30°, 45° और 60° के कोण हैं:

\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1 }{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)

\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)

\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)

दिलचस्प: इनके अलावा, हम 0° और 90° के कोणों के लिए स्पर्शरेखा मानों का विश्लेषण कर सकते हैं, जिनका व्यापक रूप से उपयोग भी किया जाता है। चूँकि पाप 0° = 0, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि tan 0° = 0. 90° कोण के लिए, चूँकि cos90° = 0, स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है।

स्पर्शरेखा की गणना कैसे करें?

स्पर्शरेखा की गणना करने के लिए, हम सूत्र tg α=sin αcos α का उपयोग करते हैं, जिसका उपयोग किसी भी कोण की स्पर्शरेखा की गणना के लिए किया जाता है। आइए नीचे कुछ उदाहरण देखें।

• उदाहरण 1

नीचे समकोण त्रिभुज में कोण α की स्पर्शरेखा ज्ञात कीजिए।

संकल्प:

कोण α के संबंध में, माप 6 का पक्ष विपरीत पक्ष है और माप 8 का पक्ष आसन्न पक्ष है। इस कदर:

\(tg\ α=\frac{6}8=0.75\)

• उदाहरण 2

जानते हुए भी \(sin\ 35°≈0.573\) और क्योंकि\(35°≈0,819\), 35° स्पर्शरेखा का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए।

संकल्प:

चूँकि किसी कोण की स्पर्शरेखा उस कोण की ज्या और कोज्या के बीच का अनुपात है, हमारे पास है:

\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)

\(tg\ 35°≈0.700\)

स्पर्शरेखा कार्य

फ़ंक्शन fx=tg x को कोणों के लिए परिभाषित किया गया है एक्स रेडियन में व्यक्त किया गया, ताकि \(cos\ x≠0\). इसका मतलब यह है कि स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का डोमेन इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)

इसके अलावा, सभी वास्तविक संख्या स्पर्शरेखा फलन की छवि हैं।

→ स्पर्शरेखा फलन का ग्राफ़

ध्यान दें कि स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ में मानों के लिए लंबवत अनंतस्पर्शी हैं \(x= \frac{π}2+kπ\), साथ क संपूर्ण, जैसे \( x=-\frac{π}2\). के इन मूल्यों के लिए एक्स, स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं है (अर्थात, स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है)।

यह भी देखें: डोमेन, रेंज और इमेज क्या है?

स्पर्शरेखा का नियम

स्पर्शरेखा का नियम एक है अभिव्यक्ति जो संबद्ध करती है, ए में त्रिकोण कोई भी, दो कोणों की स्पर्शरेखाएँ और उन कोणों के विपरीत भुजाएँ. उदाहरण के लिए, नीचे त्रिभुज ABC के कोण α और β पर विचार करें। ध्यान दें कि भुजा CB = a, कोण α के विपरीत है और भुजा AC = b, कोण β के विपरीत है।

स्पर्शरेखा का नियम कहता है कि:

\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\ )

त्रिकोणमितीय अनुपात

तक त्रिकोणमितीय अनुपात समकोण त्रिभुज पर कार्य किए गए त्रिकोणमितीय फलन हैं। हम इन अनुपातों की व्याख्या इस प्रकार के त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध के रूप में करते हैं।

स्पर्शरेखा पर हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1

मान लीजिए कि θ दूसरे चतुर्थांश का एक कोण है जैसे कि पाप\(sin\ θ≈0.978\), तो tgθ लगभग है:

ए)-4,688

बी) 4,688

सी) 0.2086

डी)-0.2086

ई) 1

संकल्प

वैकल्पिक ए

अगर \(sin\ θ≈0.978\), फिर, त्रिकोणमिति की मौलिक पहचान का उपयोग करते हुए:

\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)

\(0.978^2+cos^2 θ=1\)

\(cos^2 θ=1-0.956484\)

\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)

चूँकि θ दूसरे चतुर्थांश का कोण है, तो cosθ ऋणात्मक है, इसलिए:

\(cos\ θ≈- 0.2086\)

जल्दी:

\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0.978}{-0.2086}=-4.688\)

प्रश्न 2

एक समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें जिसके पैर AB = 3 सेमी और AC = 4 सेमी हैं। कोण B की स्पर्शरेखा है:

ए) \(\frac{3}4\)

बी) \(\frac{3}5\)

डब्ल्यू) \(\frac{4}3\)

डी) \(\frac{4}5\)

और) \(\frac{5}3\)

संकल्प:

वैकल्पिक सी

कथन के अनुसार, पैर कोण के विपरीत है \(\टोपी{बी}\) एसी की माप 4 सेमी है और पैर कोण से सटा हुआ है \(\टोपी{बी}\) 3 सेमी की माप के साथ AB है। इस कदर:

\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)

मारिया लुइज़ा अल्वेस रिज़ो द्वारा
गणित शिक्षक

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