षट्भुज यह है बहुभुज जिसकी 6 भुजाएँ हैं। यह नियमित होता है जब सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण एक दूसरे के सर्वांगसम होते हैं। यह अनियमित है जब इसमें ये विशेषताएं नहीं हैं। पहला मामला सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है, क्योंकि जब षट्भुज नियमित होता है, तो इसमें विशिष्ट गुण और सूत्र होते हैं जो हमें इसके क्षेत्र, परिधि और एपोथेम की गणना करने की अनुमति देते हैं।
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षट्भुज के बारे में सार
षट्भुज एक 6-पक्षीय बहुभुज है।
यह नियमित होता है जब सभी पक्ष सर्वांगसम होते हैं।
यह अनियमित होता है जब सभी पक्ष सर्वांगसम नहीं होते हैं।
एक नियमित षट्भुज में, प्रत्येक आंतरिक कोण 120° मापता है।
कुल मिलाकर कोणों एक नियमित षट्भुज के बाहरी किनारे हमेशा 360° होते हैं।
एक नियमित षट्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
हे परिमाप एक षट्भुज की भुजाओं का योग होता है। जब यह नियमित होता है, तो हमारे पास होता है:
पी = 6L
एक नियमित षट्भुज के एपोथेम की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
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षट्भुज क्या है?
षट्भुज कोई भी बहुभुज है जो इसकी 6 भुजाएँ हैं, इसलिए 6 शीर्ष और 6 कोण हैं. चूंकि यह एक बहुभुज है, यह एक बंद सपाट आकृति है जिसकी भुजाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। षट्भुज प्रकृति में एक आवर्ती आकृति है, जैसा कि छत्ते में, की संरचनाओं में होता है कार्बनिक रसायन विज्ञान, कुछ कछुओं के गोले में और बर्फ के टुकड़ों में।
बहुभुज के बारे में वीडियो पाठ
षट्भुज तत्व
एक षट्भुज 6 भुजाओं, 6 शीर्षों और 6 आंतरिक कोणों से बना है।
कोने: अंक ए, बी, सी, डी, ई, एफ।
पक्ष: खंड \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
आंतरिक कोण: कोण ए, बी, सी, डी, एफ।
षट्भुजों का वर्गीकरण
अन्य बहुभुजों की तरह षट्भुजों को भी दो प्रकार से वर्गीकृत किया जा सकता है।
नियमित षट्भुज
षट्भुज नियमित होता है जब उसके पास होता है इसके सभी सर्वांगसम पक्ष - फलस्वरूप, उनके कोण भी सर्वांगसम होंगे। नियमित षट्भुज सभी में सबसे महत्वपूर्ण है, सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किया जा रहा है। इसके कई पहलुओं की गणना करना संभव है, जैसे कि क्षेत्र, विशिष्ट सूत्रों के साथ।
अवलोकन: नियमित षट्भुज को 6. में विभाजित किया जा सकता है समबाहु त्रिभुजअर्थात् त्रिभुज जिसकी सभी भुजाएँ समान हों।
→ अनियमित षट्भुज
अनियमित षट्भुज वह है जिसमें विभिन्न उपायों के साथ पक्ष. यह उत्तल या गैर-उत्तल हो सकता है।
उत्तल अनियमित षट्भुज
षट्भुज है उत्तल जब आपके पास सब कुछ हो आंतरिक कोण 180°. से कम.
→ अनियमित गैर-उत्तल षट्भुज
एक षट्भुज गैर-उत्तल होता है जब उसके पास होता है 180. से अधिक आंतरिक कोण°.
षट्भुज गुण
→ एक षट्भुज में विकर्णों की संख्या
पहली महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि एक उत्तल षट्भुज में सदैव 9 विकर्ण होते हैं. हम इन 9 विकर्णों को ज्यामितीय रूप से पा सकते हैं:
हम निम्न सूत्र का उपयोग करके विकर्णों को बीजगणितीय रूप से भी पा सकते हैं:
\(d=\frac{n\बाएं (n-3\दाएं)}{2}\)
यदि हम समीकरण में 6 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:
\(d=\frac{6\cdot\बाएं (6-3\दाएं)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(डी=9\)
तो एक उत्तल षट्भुज में हमेशा 9 विकर्ण होंगे।
अधिक जानते हैं: आयताकार ब्लॉक विकर्ण - इसके दो शीर्षों को जोड़ने वाला खंड जो एक ही फलक पर नहीं हैं
→ एक षट्भुज के आंतरिक कोण
एक षट्भुज में, इसके आंतरिक कोणों का योग 720°. है. इस योग को करने के लिए, बस सूत्र में 6 स्थानापन्न करें:
\(S_i=180\बाएं (n-2\दाएं)\)
\(S_i=180\बाएं (6-2\दाएं)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
एक नियमित षट्भुज में, प्रत्येक आंतरिक कोण हमेशा 120° मापेंगे, क्योंकि
720°: 6 = 120°
→ एक नियमित षट्भुज के बाहरी कोण
जहाँ तक बाह्य कोणों का संबंध है, हम जानते हैं कि इनका योग सदैव 360°. के बराबर होता है. चूँकि 6 बहिष्कोण हैं, उनमें से प्रत्येक का माप 60° होगा, जैसे
360°: 6 = 60°
→ नियमित षट्भुज एपोथेम
एक नियमित बहुभुज का एपोथेम माना जाता हैरेखा खंड बहुभुज के केंद्र को से जोड़ना मध्य तुम्हारे पक्ष में. जैसा कि हम जानते हैं, नियमित षट्भुज 6 समबाहु त्रिभुजों से बना होता है, इसलिए एपोथेम इन समबाहु त्रिभुजों में से एक की ऊंचाई से मेल खाता है। इस खंड के मूल्य की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ षट्भुज की परिधि
एक षट्भुज की परिधि की गणना करने के लिए, बस प्रदर्शन करें इसकी 6 भुजाओं का योग. जब षट्भुज नियमित होता है, तो इसकी भुजाएँ सर्वांगसम होती हैं, इसलिए सूत्र का उपयोग करके षट्भुज की परिधि की गणना करना संभव है:
पी = 6L
→ नियमित षट्भुज क्षेत्र
जैसा कि हम जानते हैं कि नियमित षट्भुज 6 समबाहु त्रिभुजों से बना होता है, जिनकी भुजाएँ L मापती हैं, इसकी गणना का उपयोग करके इसके क्षेत्रफल की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करना संभव है। एक का क्षेत्रफल त्रिकोण समबाहु गुणा 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
ध्यान दें कि यह संभव है सरलीकरण को 2. से विभाजित करना, षट्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र तैयार करना:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
षट्भुज एक वृत्त में खुदा हुआ
हम कहते हैं कि एक बहुभुज a. में अंकित है परिधि जब वह वृत्त के अंदर है, और इसके शीर्ष इसके बिंदु हैं. हम एक वृत्त में अंकित नियमित षट्भुज का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। जब हम यह निरूपण करते हैं, तो यह सत्यापित करना संभव है कि वृत्त की त्रिज्या की लंबाई षट्भुज की भुजा की लंबाई के बराबर है।
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षट्भुज एक वृत्त में परिचालित
हम कहते हैं कि एक बहुभुज एक वृत्त द्वारा परिबद्ध होता है जब परिधि इस बहुभुज के अंदर है. हम परिचालित नियमित षट्भुज का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। इस मामले में, वृत्त षट्भुज के प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु पर स्पर्शरेखा है, जो वृत्त की त्रिज्या को षट्भुज के एपोथेम के बराबर बनाता है।
हेक्सागोनल आधारित प्रिज्म
समतल ज्यामिति के अध्ययन का आधार है स्थानिक ज्यामिति. हे ज्यामितीय ठोस के आधार पर षट्भुज मौजूद हो सकता है, जैसा कि प्रिज्म में होता है।
a. का आयतन ज्ञात करने के लिए चश्मे, हम आधार और ऊंचाई के क्षेत्र के उत्पाद की गणना करते हैं। चूँकि इसका आधार एक षट्भुज है, इसका आयतन द्वारा गणना की जा सकती है:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
यह भी पढ़ें: ज्यामितीय ठोस का आयतन - गणना कैसे करें?
षट्कोणीय आधार पिरामिड
हेक्सागोनल प्रिज्म के अलावा, वहाँ भी हैं पिरामिड षट्कोणीय आधार.
पता लगाने के लिए पिरामिड का आयतन हेक्सागोनल आधार के, हम आधार के क्षेत्र के उत्पाद की गणना करते हैं, ऊंचाई और 3 से विभाजित करते हैं।
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
ध्यान दें कि हम तीन से गुणा और भाग करते हैं, जो a. की अनुमति देता है सरलीकरण. तो, हेक्सागोनल-आधारित पिरामिड की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
षट्भुज पर हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1
एक भूमि एक नियमित षट्भुज के आकार की होती है। आप इस क्षेत्र को कांटेदार तार से घेरना चाहते हैं, ताकि तार 3 बार क्षेत्र के चारों ओर घूमे। यह जानते हुए कि, कुल मिलाकर, 810 मीटर तार पूरी भूमि की बाड़ लगाने के लिए खर्च किए गए थे, इस षट्भुज का क्षेत्रफल, लगभग:
(उपयोग \(\sqrt3=1.7\))
ए) 5102 वर्ग मीटर
बी) 5164 वर्ग मीटर
सी) 5200 वर्ग मीटर
डी) 5225 वर्ग मीटर
ई) 6329 वर्ग मीटर
संकल्प:
वैकल्पिक बी
नियमित षट्भुज की परिधि है
\(पी=6एल\)
जैसा कि 3 गोद किए गए थे, एक गोद को पूरा करने के लिए कुल 270 मीटर खर्च किए गए थे, जैसा कि हम जानते हैं कि:
810: 3 = 270
तो हमारे पास:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(एल=45\ मीटर\)
भुजा की लंबाई जानने के बाद, हम क्षेत्रफल की गणना करेंगे:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(ए=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(ए=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163.75m^2\)
गोलाई, हम प्राप्त करते हैं:
\(ए\लगभग5164मी^2\)
प्रश्न 2
(पीयूसी - आरएस) एक यांत्रिक गियर के लिए, आप एक नियमित हेक्सागोनल आकार के साथ एक हिस्सा बनाना चाहते हैं। समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 1 सेमी है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। इस षट्भुज की भुजा की माप ______ सेमी है।
द) \(\frac{1}{2}\)
बी) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
सी) \(\sqrt3\)
डी) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
ई) 1
संकल्प:
वैकल्पिक बी
नियमित षट्भुज के संबंध में, हम जानते हैं कि इसका एपोटेम केंद्र से एक भुजा के मध्य बिंदु तक की माप है। इस प्रकार, एपोथेम छवि में दर्शाई गई आधी दूरी है। तो, हमें करना होगा:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
एपोथेम तब के बराबर होता है \(\frac{1}{2}\). षट्भुज और एपोथेम के पक्षों के बीच एक संबंध है, क्योंकि एक नियमित षट्भुज में, हमारे पास है:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
चूँकि हम एपोथेम का मूल्य जानते हैं, हम स्थानापन्न कर सकते हैं \(a=\frac{1}{2}\) समीकरण में:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=एल\sqrt3\)
\(एल\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
भिन्न को युक्तिसंगत बनाना:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(एल=\frac{\sqrt3}{3}\)
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक
