हे चश्मे यह है एक ज्यामितीय ठोस जिसका हम स्थानिक ज्यामिति में अध्ययन करते हैं। हमारे दैनिक जीवन में, ऐसी कई वस्तुएं हैं जिनका एक प्रिज्म आकार होता है। प्रिज्म एक बहुफलक है जिसके दो आधार बनते हैं बहुभुज समान और आयताकार पार्श्व क्षेत्र जो एक आधार के शीर्ष को दूसरे आधार में उसके संवाददाता से जोड़ते हैं।
इस पॉलीहेड्रॉन को इसके आकार के आधार पर सीधे या तिरछे के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, क्योंकि झुके होने पर इसे तिरछा प्रिज्म के रूप में जाना जाता है। अन्यथा यह एक सीधा प्रिज्म है। बक्से, सामान्य तौर पर, एक प्रिज्म आकार के होते हैं, साथ ही इमारतों और अन्य रोजमर्रा के तत्व भी होते हैं।
प्रिज्म विभिन्न प्रकार के होते हैं, क्योंकि उनका आधार कोई भी बहुभुज हो सकता है, त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, पंचकोणीय, षट्कोणीय आधारों वाले प्रिज्म भी हो सकते हैं। उनमें से सबसे आम वर्ग-आधारित प्रिज्म है, जिसे के रूप में भी जाना जाता है रास्ते का पत्थर आयताकार। प्रिज्म के मुख्य तत्व उसके चेहरे, कोने और किनारे होते हैं। प्रिज्म के आयतन और कुल क्षेत्रफल की गणना के लिए विशिष्ट सूत्र हैं।
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प्रिज्म सारांश
- एक ज्यामितीय ठोस एक प्रिज्म होता है जब इसमें दो समान बहुभुज आधार होते हैं और आयताकार पक्ष क्षेत्र एक आधार के शीर्ष को दूसरे आधार पर अपने समकक्ष से जोड़ते हैं।
- अलग-अलग प्रिज्म हैं, जैसे कि त्रिकोणीय-आधारित प्रिज्म, चतुष्कोणीय-आधारित प्रिज्म, अन्य।
- हमारे दैनिक जीवन की कई वस्तुओं का एक प्रिज्म आकार होता है, जैसे पैकेजिंग।
- प्रिज्म के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह उस बहुभुज पर निर्भर करता है जो प्रिज्म का आधार बनाता है। यह गणना के माध्यम से की जाती है योग मौजूदा आयतों या समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफलों का, जिनकी व्यक्तिगत रूप से गणना की जाती है गुणा आधार से ऊंचाई तक।
- प्रिज्म के कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
\(एटी=2ए_बी+अल\)
- प्रिज्म के आयतन की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
\(V=A_b\cdot h\)
प्रिज्म के तत्व क्या हैं?
दूसरों की तरह बहुकोणीय आकृति, प्रिज्म कोने, किनारों और चेहरों, इसके मुख्य तत्वों से बना है। यह ध्यान देने योग्य है कि इसके द्वारा गठित विशेषता पक्ष चेहरे हैं समानांतर चतुर्भुज और किसी भी बहुभुज द्वारा गठित आधार।
प्रिज्म के कौन से आधार हो सकते हैं?
आपके आधार के आकार के आधार पर विभिन्न प्रकार के प्रिज्म होते हैं। त्रिकोणीय, वर्ग, चतुष्कोणीय, पंचकोणीय, षट्कोणीय आधारों के साथ अन्य के साथ प्रिज्म हैं। प्रिज्म किसी भी आधार द्वारा बनाया जा सकता है, जब तक कि यह एक बहुभुज है। प्रिज्म के मुख्य प्रकारों के लिए नीचे देखें।
प्रिज्म के प्रकार
प्रिज्म को सीधा प्रिज्म या तिरछा प्रिज्म माना जा सकता है।
- सीधा प्रिज्म: तब होता है जब पार्श्व किनारा प्रिज्म के आधारों पर एक समकोण बनाता है।
- तिरछा प्रिज्म: तब होता है जब पार्श्व किनारा प्रिज्म के आधारों पर समकोण नहीं बनाता है।
प्रिज्म के सूत्र क्या हैं?
पार्श्व क्षेत्र, कुल क्षेत्रफल और प्रिज्म के आयतन की गणना करने के लिए, हम विशिष्ट सूत्रों का उपयोग करते हैं। आइए उनमें से प्रत्येक को नीचे देखें।
पार्श्व क्षेत्र प्रिज्म से
दायीं प्रिज्म का पार्श्व क्षेत्र है a आयत और तिरछा प्रिज्म एक समांतर चतुर्भुज है। दोनों ही मामलों में, हम आधार को ऊंचाई से गुणा करके क्षेत्रफल की गणना करते हैं, लेकिन पार्श्व क्षेत्र आधार बनाने वाले बहुभुज पर निर्भर करता है प्रिज्म का। हो रहा \(से 1\), \(A_2\),..., \(एक\) आधार के साथ प्रिज्म के प्रत्येक पक्ष का क्षेत्रफल ना पक्षों, पार्श्व क्षेत्र द्वारा दिया गया है:
\(A_l=A_1+A_2+...\ A_n\)
- उदाहरण:
निम्नलिखित प्रिज्म का विश्लेषण करें और इसके पार्श्व क्षेत्र की गणना करें।
संकल्प:
इस प्रिज्म का पार्श्व क्षेत्र 4 आयतों से बना है, 2 भुजाओं की माप 4 सेमी और 10 सेमी और 2 भुजाओं की माप 8 सेमी और 10 सेमी है।
इस प्रकार, हम पार्श्व क्षेत्र की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:
\(A_l=2\cdot4\cdot10+2\cdot8\cdot10\)
\(A_l=80+160\)
\(H_l=240cm^2\)
यह भी देखें: सिलेंडर के क्षेत्रफल की गणना कैसे की जाती है?
कुल क्षेत्रफल प्रिज्म से
प्रिज्म के पार्श्व क्षेत्र को जानने के बाद, हम जानते हैं कि इसके दो समान आधार हैं, जो बहुभुजों द्वारा बनते हैं। इसलिए, कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, गणना करना आवश्यक है आधार क्षेत्र प्लस पार्श्व क्षेत्र.
\(एटी=2एबी+अल\)
- उदाहरण:
पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले उसी प्रिज्म के विश्लेषण से, कुल क्षेत्रफल की गणना करें।
संकल्प:
कुल क्षेत्रफल को आधारों के क्षेत्रफल और पार्श्व क्षेत्रफल के योग से ज्ञात किया जाता है। आधार आयत हैं, और क्षेत्रफल आधार के आयामों के गुणनफल के बराबर है। अर्थात्:
\(A_b=4\cdot8=32cm²\)
इसलिए, कुल क्षेत्रफल होगा:
\(A_T=2A_b+A_l\)
\(A_T=2\cdot32+240\)
\(A_T=64+240\)
\(A_T=304\ सेमी^2\)
प्रिज्म क्षेत्र पर वीडियो सबक
आयतन प्रिज्म से
प्रिज्म का आयतन के बराबर होता है आधार और ऊंचाई के क्षेत्रफल का गुणनफलचाहे वह तिरछा हो या सीधा।
\(V=A_b·h\)
- उदाहरण:
पार्श्व क्षेत्र और कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले एक ही प्रिज्म के विश्लेषण से, मात्रा की गणना करें।
संकल्प:
हम जानते हैं कि इसका आधार 32 सेमी² है। वॉल्यूम की गणना करने के लिए, बस आधार के क्षेत्र को ऊंचाई से गुणा करें, जो कि 10 सेमी है। तो, हमें करना होगा:
\(V=A_b\cdot h\)
\(वी=32\cdot10\)
\(वी=320\ सेमी^3\)
प्रिज्म वॉल्यूम पर वीडियो सबक
प्रिज्म पर हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1
(एनेम 2017) एक होटल श्रृंखला में स्वीडन के गोटलैंड द्वीप पर साधारण केबिन हैं, जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। इनमें से प्रत्येक झोंपड़ी की सहायक संरचना चित्र 2 में दर्शाई गई है। विचार यह है कि अतिथि को तकनीक से मुक्त रहने दिया जाए, लेकिन प्रकृति से जुड़ा हो।
सतह का ज्यामितीय आकार जिसके किनारों को चित्र 2 में दिखाया गया है, है
- चतुष्फलक
- आयताकार पिरामिड।
- आयताकार पिरामिड ट्रंक।
- सही चतुर्भुज प्रिज्म।
- सीधे त्रिकोणीय प्रिज्म।
संकल्प:
वैकल्पिक डी
विश्लेषण करना ज्यामितीय रूप, आप देख सकते हैं कि यह दो त्रिभुजाकार फलकों से बना है और अन्य फलक आयताकार हैं। तो यह एक सही चतुर्भुज प्रिज्म है।
प्रश्न 2
निम्नलिखित कथनों का विश्लेषण करें और उन्हें सही या गलत के रूप में आंकें:
I - पिरामिड को प्रिज्म नहीं माना जाता है।
II - वृत्ताकार आधार वाला एक प्रिज्म होता है, जिसे बेलन भी कहते हैं।
III - प्रत्येक प्रिज्म में आयताकार पार्श्व फलक होते हैं।
सही है/हैं:
ए) केवल कथन I।
बी) केवल कथन II।
सी) केवल कथन III।
D) केवल कथन I और III।
ई) सभी बयान।
संकल्प:
वैकल्पिक ए
मैं - सच
हम जानते हैं कि पिरामिड इसमें त्रिकोणीय पार्श्व फलक और केवल एक आधार है, इसलिए यह प्रिज्म नहीं है।
द्वितीय - असत्य
सिलेंडर को प्रिज्म नहीं माना जा सकता है। किसी आकृति के प्रिज्म होने के लिए, उसका आधार बहुभुज होना चाहिए। वृत्त एक बहुभुज नहीं है।
तृतीय - असत्य
जब प्रिज्म तिरछा होता है, तो इसका पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुजों से बनता है, आयतों से नहीं।
