हे एक ज्यामितीय ठोस का आयतन एक परिमाण है जो का प्रतिनिधित्व करता है वह स्थान जो यह ज्यामितीय ठोस घेरता है. सबसे आम आयतन माप घन इकाइयाँ हैं, जैसे कि घन मीटर m³, उनके गुणक और उनके उप-गुणक। मुख्य ज्यामितीय ठोस प्रिज्म, पिरामिड, शंकु, सिलेंडर और गोले हैं, और उनमें से प्रत्येक में मात्रा की गणना के लिए विशिष्ट सूत्र हैं।
यह भी पढ़ें: फ्लैट और स्थानिक आंकड़ों के बीच अंतर क्या हैं?
ज्यामितीय ठोस के आयतन पर सारांश
प्रत्येक ज्यामितीय ठोस के आयतन की गणना के लिए एक अलग सूत्र होता है।
एक ठोस का आयतन घन इकाइयों में मापा जाता है, जैसे कि घन मीटर, घन सेंटीमीटर, और इसी तरह।
प्रिज्म आयतन की गणना करने का सूत्र:
वी = एबी · एच
पिरामिड के आयतन की गणना करने का सूत्र:
सिलेंडर के आयतन की गणना के लिए सूत्र:
वी = r² · एच
शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र:
गोले के आयतन की गणना करने का सूत्र:
मात्रा माप
हम आयतन को वह स्थान कहते हैं जो दिया गया है ज्यामितीय ठोस कब्जा, जल्द ही, यह केवल त्रि-आयामी वस्तुओं की मात्रा की गणना करने के लिए समझ में आता है. आयतन को मापने के लिए, हम माप की एक इकाई के रूप में उपयोग करते हैं घन मीटर (m³) और इसके गुणज, वे हैं:
घन डेसीमीटर (dam³)
घन हेक्टेयर (hm³)
घन किलोमीटर (किमी³)
वहाँ भी हैं घन मीटर के उप गुणक, वे हैं:
घन डेसीमीटर (dm³)
घन सेंटीमीटर (सेमी³)
घन मिलीमीटर (मिमी³)
यह भी देखें: लंबाई माप क्या हैं?
ज्यामितीय ठोस की मात्रा की गणना कैसे करें?
एक ज्यामितीय ठोस का आयतन ज्ञात करना कई दैनिक गतिविधियों के लिए मौलिक है, क्योंकि उदाहरण के लिए, एक शेड की क्षमता जानने के लिए, हमारे फर्नीचर के एक निश्चित टुकड़े द्वारा कब्जा किए गए स्थान को जानने के लिए मकान।हम विशिष्ट सूत्रों का उपयोग करके मात्रा की गणना करते हैं प्रत्येक ज्यामितीय ठोस के लिए। अब आइए मुख्य ज्यामितीय ठोसों के आयतन सूत्रों को देखें स्थानिक ज्यामिति.
प्रिज्म वॉल्यूम
प्रारंभ स्थल चश्मे, रोजमर्रा की जिंदगी में सबसे आम ठोस पदार्थों में से एक। प्रिज्म सभी ज्यामितीय ठोस है कि इसके दो समान आधार और पार्श्व फलक हैं जो समांतर चतुर्भुज द्वारा बनते हैं, उदाहरण के लिए, जूते के बक्से, भवन, अन्य वस्तुओं के बीच।
प्रिज्म आयतन की गणना करने के लिए, आधार क्षेत्र को जानना आवश्यक है, जिसे किसी भी बहुभुज द्वारा बनाया जा सकता है। हे प्रिज्म वॉल्यूम आधार क्षेत्र और प्रिज्म ऊंचाई के उत्पाद द्वारा गणना की जाती है.
वीप्रिज्म = एबी · एच
NSबी → आधार क्षेत्र
एच → प्रिज्म ऊंचाई
बहुत आवर्तक प्रिज्मों के दो विशेष मामले हैं, अर्थात् घन और आयताकार समानांतर चतुर्भुज।
→ घन मात्रा
घन से शुरू करके, हम जानते हैं कि यह सभी किनारों के अनुरूप है। तो, घन की मात्रा की गणना करने के लिए, हम जानते हैं कि का क्षेत्रफल वर्ग किनारे के वर्ग के बराबर है। आयतन की गणना करने के लिए, हम ऊँचाई से गुणा करते हैं, जो कि घन के मामले में, किनारे के माप के बराबर है। इस प्रकार, घन का आयतन निम्न द्वारा दिया जाता है:
→ आयत समानांतर चतुर्भुज आयतन
की मात्रा रास्ते का पत्थर जब हम इसके तीन आयामों को गुणा करते हैं तो आयत पाया जा सकता है:
उदाहरण 1:
एक घन के आकार के प्रिज्म के आयतन की गणना करें जिसके किनारों का माप 5 सेमी प्रत्येक है:
वी = ए³
वी = 5³
वी = 125 सेमी³
उदाहरण 2:
नीचे प्रिज्म आयतन की गणना करें:
जैसा कि आपका आधार a. है आयत, आधार क्षेत्र 12 और 5 के बीच का गुणनफल है। आयतन ज्ञात करने के लिए, हम आधार क्षेत्र को ऊँचाई से गुणा करेंगे, इसलिए हमें यह करना होगा:
वी = एबी · एच
वी = 12 · 5 · 15
वी = 60 · 15
वी = 900 सेमी³
→ प्रिज्म वॉल्यूम पर वीडियो सबक
पिरामिड का आयतन
NS पिरामिड ज्यामितीय ठोस है कि एक बहुभुज द्वारा गठित आधार है और पार्श्व फलक a. द्वारा बनते हैं त्रिकोण, आधार के शीर्ष को आधार के बाहर एक बिंदु से जोड़ना जिसे पिरामिड शीर्ष के रूप में जाना जाता है। प्रिज्म की तरह, पिरामिड के भी अलग-अलग आधार हो सकते हैं।
गणना करने के लिए पिरामिड मात्रा, आधार के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है। पिरामिड का आयतन सूत्र द्वारा दिया गया है:
उदाहरण:
एक पिरामिड के आयतन की गणना करें जिसमें एक वर्गाकार आधार है जिसकी भुजाएँ 6 मीटर और ऊँचाई 10 मीटर है।
चूंकि पिरामिड का आधार एक वर्ग है, इसका क्षेत्रफल वर्ग भुजा होगा, इसलिए हमें यह करना होगा:
यह भी पढ़ें: पिरामिड ट्रंक - एक पिरामिड में एक क्रॉस सेक्शन से प्राप्त आकृति
सिलेंडर मात्रा
हे सिलेंडर ज्यामितीय ठोस है कि एक ही त्रिज्या के दो गोलाकार आधार हैं. रेटेड एक गोल शरीर अपने गोल आकार के कारण, यह ज्यामितीय ठोस चॉकलेट और अन्य उत्पादों जैसे पैकेजिंग में काफी बार-बार आता है।
गणना करने के लिए एक सिलेंडर की मात्रा, हमें केवल इसकी त्रिज्या और इसकी ऊंचाई की माप की आवश्यकता है:
उदाहरण:
निम्नलिखित बेलन का आयतन परिकलित करें (use = 3.1 का प्रयोग करें):
वी = r² एच
वी = 3.1 · 3² · 8
वी = 3.1 · 9 · 8
वी = 3.1 · 72
वी = 223.2 सेमी³
→ सिलेंडर वॉल्यूम पर वीडियो सबक
शंकु मात्रा
हे शंकु इसे एक गोल शरीर के रूप में भी वर्गीकृत किया गया है। वह एक वृत्त और एक शीर्ष द्वारा गठित एक आधार है। गणना करने के लिए शंकु मात्रा, इसकी ऊंचाई और इसके आधार की त्रिज्या जानना भी आवश्यक है:
उदाहरण:
शंकु की मात्रा की गणना करें:
गोले का आयतन
NS गेंद यह रोजमर्रा की जिंदगी में भी एक सामान्य प्रारूप है, जैसे गेंदों का उपयोग हम कुछ खेल खेलने के लिए करते हैं, प्रकृति में एक सामान्य प्रारूप होने के अलावा। गोले का आयतन ज्ञात करने के लिए केवल उसकी त्रिज्या जानना आवश्यक है।:
उदाहरण:
2 मीटर के बराबर त्रिज्या वाले गोले के आयतन की गणना करें (use = 3.1 का उपयोग करें):
यह भी देखें: एक गोले के तत्व क्या हैं?
ज्यामितीय ठोसों के आयतन पर हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - (Fei) एक लकड़ी के बीम से जिसकी भुजा L = 10 सेमी है, के वर्गाकार खंड से, h = 15 सेमी की ऊँचाई का एक पच्चर निकालें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। कील की मात्रा है:
ए) 250 सेमी³
बी) 500 सेमी³
सी) 750 सेमी³
डी) 1000 सेमी³
ई) 1250 सेमी³
संकल्प
वैकल्पिक सी
चूँकि आधार एक त्रिभुज है, हम जानते हैं कि:
अब हम प्रिज्म के आयतन की गणना करेंगे:
वी = एबी · एच
वी = 75 · 10
वी = 750 सेमी³
प्रश्न 2 - (FGV) त्रिज्या r के एक गोले का आयतन V = 4/3 π r³ द्वारा दिया जाता है। एक गोलाकार आकार के जलाशय का आयतन 36 घन मीटर है। मान लीजिए कि A और B जलाशय की गोलाकार सतह पर दो बिंदु हैं और m उनके बीच की दूरी है। मीटर में मीटर का अधिकतम मान है:
ए) 5.5
बी) 5
सी) 6
डी) 4.5
ई 4
संकल्प
वैकल्पिक सी
एक गोले पर दो बिंदुओं के बीच की सबसे बड़ी दूरी उस गोले का व्यास है। चूँकि हम गोले का आयतन जानते हैं, इसलिए इसकी त्रिज्या की गणना करना संभव है:
चूँकि अधिकतम संभव दूरी व्यास के बराबर होती है, अर्थात यह त्रिज्या की दुगुनी मापती है, इसलिए d = 6.
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित शिक्षक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-de-solidos-geometricos.htm