सेकेंट, कोसेकेंट और कोटैंजेंट: वे क्या हैं?

त्रिकोणमितीय अनुपात सेकेंट, कोसेकेंट और कोटैंजेंट कारणों के विपरीत हैं कोज्या, ज्या और स्पर्शरेखा. त्रिकोणमिति का अध्ययन त्रिकोणमितीय चक्र व्युत्क्रम कार्यों के विकास में महान योगदान प्राप्त किया

प्रतिलोम ज्या अनुपात (sin x) कोसेकेंट (cossec x) के रूप में जाना जाता है, प्रतिलोम कोज्या अनुपात (cos x) secant (sec x) के रूप में जाना जाता है, और स्पर्शरेखा (tg x) के व्युत्क्रम अनुपात को cotangent (cotg) के रूप में जाना जाता है एक्स)। उनका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

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त्रिकोणमिति के अध्ययन के लिए प्रयुक्त उपकरण।

cosecant

त्रिकोणमितीय अनुपात के रूप में जाना जाता है साइन उलटा, कोसेकेंट को पर सेट किया गया है कोण जिनकी ज्या शून्येतर है. a. का कोसेकेंट ज्ञात करने के लिए कोण x, हमें बस इसके ज्या मान के व्युत्क्रम की गणना करनी है।

उदाहरण

cossec 60º का मान परिकलित कीजिए।

• त्रिकोणमितीय चक्र में कोसेकेंट

त्रिकोणमिति के अध्ययन में, कोसेकेंट अनुपात को से जोड़ा जाता है त्रिकोणमितीय चक्र, जो त्रिज्या 1 का एक वृत्त है। ज्यामितीय रूप से कोण के कोसेकेंट को खोजने के लिए, कोण x को जानते हुए, आइए बिंदु B, रेखा t पर स्पर्श रेखा खींचते हैं। x का कोसेकेंट होगा

केंद्र को उस बिंदु से जोड़ने वाला खंड जहां रेखा t ऊर्ध्वाधर अक्ष को काटती है, छवि में एसी द्वारा दर्शाया गया है।

ट्रैक AC कोण x का कोसेकेंट है।

• कोसेकेंट के अस्तित्व की स्थिति

जैसा कि हमने देखा कि कोसेकेंट का मान वह खंड है जो वृत्त के केंद्र को उस बिंदु से जोड़ता है जहां स्पर्शरेखा रेखा ऊर्ध्वाधर अक्ष को छूती है, हम महसूस करते हैं कि ऐसे तीन कोण हैं जहां कोई परिभाषित कोसेकेंट नहीं है, क्योंकि स्पर्शरेखा रेखा ऊर्ध्वाधर अक्ष को नहीं छूती है।

के कोणों के लिए कोई कोसेकेंट नहीं है 0º, 180º और 360º. आइए याद रखें कि इन कोणों पर साइन मान शून्य है, बीजगणितीय रूप से, हम 1 के शून्य से विभाजन की गणना करेंगे, जो संभव नहीं है।

0º, 180º और 360º कोणों के लिए कोई कोसेकेंट नहीं है।

• कोसेकेंट चिन्ह

चक्र में निरूपण में यह देखना संभव है कि से अधिक कोणों के लिए 0º और 180º से कम, कोसेकेंट हमेशा धनात्मक रहेगा. कोणों के लिए 180º से ऊपर, कोसेकेंट का चिन्ह ऋणात्मक होगाअर्थात्, पहले और दूसरे चतुर्थांश में कोसेकेंट धनात्मक है और तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक है।

यह भी देखें: त्रिकोणमितीय चक्र में पहले चतुर्थांश में कमी

सुखाने

के रूप में जाना कोज्या प्रतिलोम त्रिकोणमितीय अनुपात, छेदक को उन कोणों के लिए परिभाषित किया जाता है जिनकी कोज्या अशून्य होती है। कोण x का छेदक ज्ञात करने के लिए, हमें बस इसके कोज्या मान के व्युत्क्रम की गणना करने की आवश्यकता है।

उदाहरण:

45° सेकंड की गणना करें।

• त्रिकोणमितीय चक्र में छेदक

किसी कोण का छेदक ज्यामितीय रूप से ज्ञात करने के लिए, कोण x को जानते हुए, आइए बिंदु B की स्पर्शरेखा t रेखा खींचते हैं। x का secant होगा केंद्र को उस बिंदु से जोड़ने वाला खंड जहां रेखा t प्रतिच्छेद करती है क्षैतिज अक्ष, छवि में सीडी द्वारा दर्शाया गया है।

ट्रैक सीडी कोण x का छेदक है।

• secant. के अस्तित्व की स्थिति

ज्यामितीय रूप से 90º और 270º के कोणों के लिए कोई छेदक नहीं है, क्योंकि इन बिंदुओं पर रेखा t अक्ष को नहीं छूती है क्षैतिज और बीजगणितीय रूप से, क्योंकि 90° और 270° का कोज्या मान शून्य है, और 1 से शून्य का विभाजन है असंभव।

• छेदक चिन्ह

0º से बड़े और 90º से छोटे कोणों के लिए और 270º से बड़े और 360º से छोटे कोणों के लिए, छेदक हमेशा धनात्मक रहेगा। 90º से ऊपर और 270º से छोटे कोणों के लिए, छेदक का चिह्न ऋणात्मक होगा, अर्थात, पहले और चौथे चतुर्थांश में सेकेंट धनात्मक है और दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक है.

यह भी देखें: त्रिभुज के त्रिकोणमितीय नियमों के अनुप्रयोग: साइन और कोसाइन

कोटैंजेंट

के रूप में जाना प्रतिलोम त्रिकोणमितीय अनुपात स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट को उन कोणों के लिए परिभाषित किया जाता है जिनकी स्पर्शरेखा शून्य नहीं होती है। किसी कोण x की कोटैंजेंट निकालने के लिए, हमें बस इसके स्पर्शरेखा मान के व्युत्क्रम की गणना करने की आवश्यकता है।

उदाहरण:

30º खाट की गणना करें।

• त्रिकोणमितीय चक्र में कोटैंजेंट

कोटैंजेंट को निरूपित करने के लिए, हम बिंदु A पर क्षैतिज अक्ष के समानांतर एक रेखा p खींचते हैं। फिर, कोण x की रचना करते समय, हम बिंदु E को खोजने के लिए रेखा r खींचते हैं, जो केंद्र C और बिंदु B से होकर गुजरती है, जो कि रेखाओं p और r के बीच का मिलन बिंदु है। ट्रैक AE कोण x का कोटैंजेंट होगा।

खंड AE, x का कोटैंजेंट है।

• कोटैंजेंट अस्तित्व की स्थिति

कोटैंजेंट उन कोणों के लिए मौजूद नहीं है जिनकी स्पर्शरेखा शून्य के बराबर है, जो 0º, 180º और 360º के कोण हैं। ज्यामितीय रूप से, इन कोणों पर रेखा r होगी समानांतर एपी, इसलिए उनके पास कोई सामान्य बिंदु नहीं है, जिससे खंड एई का पता लगाना असंभव हो जाता है।

• स्पर्शरेखा चिह्न

कोटैंजेंट का चिह्न 0º से बड़े और 90º से छोटे कोणों के लिए और 180º से बड़े और छोटे कोणों के लिए भी धनात्मक होता है 270º से अधिक है, और 90º से अधिक और 180º से छोटे कोणों के लिए ऋणात्मक है और 270º से अधिक और इससे छोटे कोणों के लिए भी ऋणात्मक है 360º. तो कोटैंजेंट यह पहले और तीसरे चतुर्थांश (विषम) के लिए धनात्मक है और दूसरे और चौथे चतुर्थांश (सम) के लिए ऋणात्मक है।.

हल किए गए निष्पादन

प्रश्न 1 - दूसरे चतुर्थांश में त्रिकोणमितीय फलन cotg x और sec x में क्रमशः चित्र होते हैं:

ए) सकारात्मक और सकारात्मक

बी) नकारात्मक और नकारात्मक

सी) सकारात्मक और नकारात्मक

डी) नकारात्मक और सकारात्मक

संकल्प

वैकल्पिक बी.

प्रत्येक फलन के व्यवहार का विश्लेषण करते हुए, यह देखा जा सकता है कि विषम चतुर्भुज में कोटैंजेंट सकारात्मक है और सम चतुर्भुज में नकारात्मक है, इसलिए यह दूसरे चतुर्थांश में नकारात्मक होगा। पहले और चौथे चतुर्थांश में सेकेंट फ़ंक्शन सकारात्मक है और दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में नकारात्मक है, इसलिए यह भी नकारात्मक होगा।

प्रश्न 2 - यह जानते हुए कि x = 90º, व्यंजक का मान है:

संकल्प

वैकल्पिक सी.

x = 90º को प्रतिस्थापित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है:

अब आइए प्रत्येक त्रिकोणमितीय अनुपात की अलग से गणना करें:

उनमें से प्रत्येक की गणना करके, व्यंजक में स्थानापन्न करना संभव है:

राउल रॉड्रिक्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/secante-cosecante-cotangente.htm