NS ज्यामितिसमतल अध्ययन का क्षेत्र है जो संबंधित वस्तुओं पर केंद्रित है समतल, अर्थात्, इसके सभी तत्व (बिंदु, रेखा और बहुभुज) तल में "अंदर" हैं। ज्यामिति की शुरुआत प्राचीन ग्रीस में हुई थी और इसे. के रूप में भी जाना जाता है ज्यामितिइयूक्लिडियनसमतल, यूक्लिड नामक क्षेत्र के एक महान विद्वान के सम्मान में। अलेक्जेंड्रिया के गणितज्ञ यूक्लिड को "ज्यामिति के पिता" के रूप में जाना जाता है।
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समतल ज्यामिति अवधारणाएँ
समतल ज्यामिति को समझने के लिए कुछ अवधारणाएँ आवश्यक हैं, लेकिन वे प्रदर्शित करने योग्य नहीं हैं, जिन्हें कहा जा रहा है आदिम अवधारणाएं। क्या वे हैं:
बिंदु
बिंदु कोई आयाम नहीं है और इसे एक बड़े अक्षर से निरूपित करते हैं।
सीधा
रेखा का एक आयाम, लंबाई है, और इसे एक लोअरकेस अक्षर द्वारा दर्शाया गया है। रेखा अनंत है।
सीधी रेखा की अवधारणा से, हम तीन अन्य अवधारणाओं को परिभाषित कर सकते हैं: सीधी रेखा खंड, अर्ध-सीधी रेखा और कोण।
– सीधा खंड
रेखा खंड को दो अलग-अलग बिंदुओं द्वारा परिसीमित रेखा द्वारा परिभाषित किया जाता है, अर्थात एक शुरुआत और अंत वाली रेखा।
– अर्ध-रेक्टल
एक किरण को एक ऐसी सीधी रेखा के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका आरंभ और कोई अंत नहीं है, अर्थात यह किसी एक दिशा में अनंत होगी।
– कोण
हे कोण दो सीधी, किरण या सीधी रेखा खंडों के बीच के स्थान को मापने के लिए उपयोग किया जाता है। जब हम किसी कोण को मापते हैं, तो हम उसके आयाम का निर्धारण कर रहे होते हैं।
समतल
विमान के दो आयाम हैं और इसे ग्रीक अक्षर (α, β, γ,…) द्वारा दर्शाया गया है।
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समतल ज्यामिति के सूत्र और मुख्य आकृतियाँ
अब हम समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना के लिए मुख्य सूत्रों को देखेंगे।
त्रिकोण
a. के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए त्रिकोण, बस आधार माप (बी) को ऊंचाई माप (एच) से गुणा करें और परिणाम को दो से विभाजित करें।
वर्ग
हम के पक्षों को जानते हैं वर्ग सभी समान हैं। इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम आधार माप को ऊँचाई माप से गुणा करते हैं। चूंकि माप समान हैं, इसलिए उन्हें गुणा करना पक्ष को चुकता करने के समान है।
आयत
का क्षेत्रफल आयत आधार को ऊंचाई से गुणा करके दिया जाता है।
हीरा
का क्षेत्रफल हीरा बड़े विकर्ण (D) के गुणनफल और लघु विकर्ण (d) को दो से विभाजित करके दिया जाता है।
ट्रापेज़
का क्षेत्रफल ट्रापेज़ ऊंचाई के गुणनफल और प्रमुख आधार (बी) और लघु आधार (बी) के योग द्वारा दो से विभाजित किया जाता है।
वृत्त
का क्षेत्रफल वृत्त त्रिज्या r का मान अपरिमेय संख्या के साथ वर्ग त्रिज्या के गुणनफल द्वारा दिया जाता है (आमतौर पर हम मान ℼ = 3.14) का उपयोग करते हैं।
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समतल और स्थानिक ज्यामिति
NS समतल ज्यामिति इसकी विशेषता यह है कि इसके सभी तत्व विमान में समाहित हैं। इस प्रकार, समतल ज्यामिति में किसी भी वस्तु का आयतन नहीं होता, बल्कि क्षेत्रफल होता है। लेकिन असली दुनिया के सिर्फ दो आयाम नहीं हैं, है ना? आप, अभी, आगे और पीछे (एक आयाम), दाईं और ओर जा सकते हैं बाएं (एक और आयाम) और, अंत में, एक कार्यालय की कुर्सी (एक और आयाम) में घुमाएं, यानी तीन आयाम।
NS स्थानिक ज्यामिति यह उन वस्तुओं का अध्ययन करने के बारे में है जो तीसरे आयाम में हैं। स्थानिक ज्यामिति में अध्ययन की गई कुछ संरचनाएं हमारे दैनिक जीवन में मौजूद हैं, जैसे कि गोले, शंकु, बेलन और रास्ते का पत्थर.
एनीमे में प्लेन ज्योमेट्री
हमारे दैनिक जीवन में समतल ज्यामिति के अनेक अनुप्रयोग हैं। इसकी व्यापक प्रयोज्यता के कारण, कई प्रकार की समस्याएं हैं जिनका पता लगाया जा सकता है और, परिणामस्वरूप, यह विषय अक्सर प्रवेश परीक्षा और एनीम से संबंधित प्रश्नों में प्रकट होता है।
समतल ज्यामिति के प्रश्न छात्र से रचनात्मक और तार्किक तर्क की माँग करते हैं। प्रश्नों की बड़ी कठिनाई स्वयं ज्यामितीय अवधारणाओं के साथ नहीं है, बल्कि विषयों की भागीदारी के साथ है जैसे कि पहली डिग्री समीकरण, दूसरी डिग्री समीकरण, भिन्नों के साथ संचालन, प्रतिशत तथा अनुपात. आइए कुछ उदाहरण देखें।
→ उदाहरण 1
(एनेम/2012) 20 फरवरी 2011 को फिलीपींस में बुलुसन ज्वालामुखी फट गया। ग्लोब पर इसकी भौगोलिक स्थिति जीपीएस द्वारा ग्रीनविच मेरिडियन के पूर्व में 124° 3' 0'' देशांतर के साथ दी गई है। (दिया गया है: पहला बराबर 60' और 1 बराबर 60″ है।)
पवरिन, जी. गैलीलियो, फरवरी। 2012 (अनुकूलित)
दशमलव रूप में ज्वालामुखी के देशांतर के संबंध में उसके स्थान का कोणीय निरूपण है:
ए) 124.02 डिग्री
बी) 124.05 डिग्री
सी) 124.20 डिग्री
घ) 124.30°
ई) 124.50 डिग्री
समाधान
अभ्यास को हल करने के लिए, हमें 124° 3' और 0″ (पढ़ें: एक सौ चौबीस डिग्री, तीन मिनट और शून्य सेकंड) को डिग्री में बदलना होगा। इसके लिए, हम केवल 3 मिनट को डिग्री में लिखते हैं और चूंकि स्थान 0″ है, इसलिए कुछ भी नहीं करना है।
यह अभ्यास द्वारा प्रदान किया गया था कि 1° 60 के बराबर है। आइए एक का उपयोग करें तीन का सरल नियम यह निर्धारित करने के लिए कि हमारे पास 3 मिनट में कितनी डिग्री है।
1° – – – 60’
xx - - - 3'
60x = 3
एक्स = 3 60
एक्स = 0.05°
इस प्रकार, 124° 3' और 0″ लिखने के तुल्य है:
124° + 0,05° + 0°
124,05°
प्रतिक्रिया: वैकल्पिक बी.
→ उदाहरण 2
(एनेम/2011) एक स्कूल में 40 मीटर की परिधि के साथ आयताकार प्रारूप में एक खाली भूभाग होता है, जहां एक एकल निर्माण करने का इरादा होता है जो जितना संभव हो उतना क्षेत्र का लाभ उठाता है। एक इंजीनियर द्वारा किए गए विश्लेषण के बाद, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि, एक ही निर्माण के साथ भूमि के अधिकतम क्षेत्र तक पहुंचने के लिए, आदर्श कार्य होगा:
ए) एक 8 मीटर बाथरूम2.
बी) एक 16 मीटर कक्षा2.
ग) 36 वर्ग मीटर वाला एक सभागार2.
d) 100 वर्ग मीटर वाला एक यार्ड2.
ई) 160 वर्ग मीटर वाला एक ब्लॉक2.
समाधान
चूँकि हम आयताकार भूभाग के आयामों को नहीं जानते हैं, आइए उन्हें x और y नाम दें।
कथन के अनुसार, परिमाप 40 मीटर के बराबर है, अर्थात सभी भुजाओं का योग 40 मीटर के बराबर है, इसलिए:
एक्स + एक्स + वाई + वाई = 40
2x + 2y = 40
2(x +y) = 40
एक्स + वाई = 20
वाई = 20 - एक्स
हम यह भी जानते हैं कि एक आयत का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल द्वारा दिया जाता है, जैसे:
ए = एक्स · वाई
पहले विलगित y के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
ए = एक्स · (20 - एक्स)
ए = - एक्स2 + 20x
अब, यह जानने के लिए कि अधिकतम क्षेत्रफल क्या है, बस मान ज्ञात करें फ़ंक्शन अधिकतम ए, अर्थात्, परवलय के शीर्ष का निर्धारण करें। x. का मानवी इसके द्वारा दिया जाता है:
y मान ज्ञात करने के लिएवी, आइए x. का मान बदलेंवी समारोह में ए.
ए = - एक्स2 + 20x
ए = - (10)2 + 20(10)
ए = - 100 + 200
ए = 100 एम2
इसलिए, अधिकतम क्षेत्रफल 100 वर्ग मीटर है2.
प्रतिक्रिया: वैकल्पिक डी.
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - यह जानते हुए कि नीचे ट्रेपेज़ का क्षेत्रफल 18 वर्ग मीटर है2, x का मान ज्ञात कीजिए।
संकल्प
चूंकि क्षेत्रफल 18 वर्ग मीटर के बराबर है2, हम इसे समलम्ब क्षेत्र के सूत्र में, साथ ही समस्या द्वारा दिए गए उपायों के मूल्यों में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। नज़र:
अब दूसरी डिग्री के समीकरण को हल करते हुए, हमारे पास है:
ध्यान दें कि समस्या में x का मान लंबाई के माप को दर्शाता है, इसलिए यह केवल एक सकारात्मक मान मान सकता है, इसलिए:
एक्स = 3
प्रश्न 2 - हीरे के क्षेत्रफल की गणना करें जिसमें सबसे बड़ा विकर्ण है जो कि दो बार सबसे छोटा है।
संकल्प
चूँकि हम विकर्णों के मान नहीं जानते हैं, तो आइए उन्हें x से नाम दें।
लघु विकर्ण (d) → x
बड़ा विकर्ण (D) → 2x
और इस जानकारी को सूत्र में बदलकर, हमारे पास है:
रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित शिक्षक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geometria-plana.htm
