शंकु क्या हैं?

चोटीदार एक समतल के साथ क्रांति के दोहरे शंकु के प्रतिच्छेदन से परिभाषित समतल ज्यामितीय आकृतियाँ हैं। इस चौराहे पर जो आंकड़े प्राप्त किए जा सकते हैं, और जिन्हें शांकव कहा जा सकता है, वे हैं: परिधि, अंडाकार, दृष्टांत और अतिशयोक्ति।

हे शंकुदोहरा में क्रांति एक अक्ष के परितः एक रेखा r को घुमाकर प्राप्त किया जाता है, जो बदले में, के साथ समवर्ती एक अन्य रेखा है सीधा ए। निम्न छवि घुमाई गई सीधी रेखा, अक्ष और इस क्रांति से प्राप्त आकृति को दिखाती है।

. की सभी परिभाषाएं चोटीदार पर आधारित है दो बिंदुओं के बीच की दूरी, जो के माध्यम से योजना में पाया जा सकता है पाइथागोरस प्रमेय.

परिधि

एक बिंदु C और एक निश्चित लंबाई r दिया गया है, प्रत्येक बिंदु जो a. के भीतर है दूरी बिंदु C का r वृत्त पर एक बिंदु है। बिंदु C को का केंद्र कहा जाता है परिधि और r इसकी त्रिज्या है। निम्न छवि एक वृत्त का एक उदाहरण दिखाती है और उस आकृति को दिखाती है जो उस पर होती है कार्तीय विमान:

बिंदु C (a, b) के निर्देशांकों को देखते हुए, बिंदु P (x, y) के निर्देशांक और खंड r की लंबाई, का घटा हुआ समीकरण परिधि é:

(एक्स - ए)² + (वाई - बी)² = आर²

अंडाकार

दो अंक दिए गए F₁ और एफ₂ विमान का, कहा जाता है केंद्रित, ए अंडाकार बिंदु P का समुच्चय इस प्रकार है कि P से F तक की दूरी का योग₁ P से F. की दूरी के साथ₂ 2a स्थिरांक है। F बिंदुओं के बीच की दूरी₁ और एफ₂ 2c और 2a> 2c है।

की परिभाषाओं की तुलना करना अंडाकार तथा परिधि, दीर्घवृत्त में, हम दीर्घवृत्त के एक बिंदु से उसके फ़ोकस में जाने वाली दूरियों को जोड़ते हैं और निरंतर परिणाम देखते हैं। परिधि पर, केवल एक दूरी स्थिर है।

निम्न छवि का एक उदाहरण दिखाती है अंडाकार और कार्तीय तल में इस आकृति का आकार:

इस आकृति में, आप खंड a, b और c देख सकते हैं, जिनका उपयोग को निर्धारित करने के लिए किया जाएगा समीकरणकम किया हुआ देता है अंडाकार.

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के घटे हुए समीकरण के दो संस्करण हैं अंडाकार; पहला तब मान्य होता है जब फॉसी एक कार्टेशियन विमान के एक्स-अक्ष पर होता है और अंडाकार का केंद्र मूल के साथ मेल खाता है:

 एक्स² +  आप² = 1
 NS² बी²

दूसरा संस्करण तब के लिए मान्य है जब केंद्रित y अक्ष पर हैं और दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु से मेल खाता है:

 आप² +  एक्स² = 1
 NS² बी²

दृष्टांत

एक रेखा r दी गई है, जिसे दिशानिर्देश कहा जाता है, और एक बिंदु F, जिसे कहा जाता है केंद्र, दोनों एक ही तल से संबंधित हैं, a दृष्टांत बिंदु P का समुच्चय इस प्रकार है कि P और F के बीच की दूरी P और r के बीच की दूरी के बराबर है।

निम्नलिखित आंकड़ा एक दृष्टांत का एक उदाहरण दिखाता है:

ए. का पैरामीटर दृष्टांत और यह दूरी फोकस और दिशानिर्देश के बीच, और यह माप पत्र पी द्वारा दर्शाया गया है। परवलय के कम समीकरण के दो संस्करण भी हैं। पहला तब मान्य होता है जब फ़ोकस x-अक्ष पर होता है:

आप² = 2px

दूसरा तब मान्य होता है जब फ़ोकस y अक्ष पर होता है:

एक्स² = 2py

अतिशयोक्ति

दो अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए F₁ और एफ₂, बुलाया केंद्रित, किसी भी तल का, और इन बिंदुओं के बीच की दूरी 2c, एक बिंदु P का होगा अतिशयोक्ति यदि P से F. की दूरी के बीच का अंतर₁ और P से F. की दूरी₂, मापांक में, एक स्थिर 2a के बराबर है। इस प्रकार:

|पीएफ₁ - संघीय पुलिस₂| = दूसरा

निम्नलिखित छवि एक है अतिशयोक्ति सेगमेंट ए, बी और सी के साथ।

हाइपरबोले में कम किए गए समीकरण के दो संस्करण भी हैं। पहला उन मामलों की चिंता करता है जहां F इंगित करता है₁ और एफ₂ x-अक्ष और के केंद्र पर हैं अतिशयोक्ति यह कार्तीय तल की उत्पत्ति है।

 एक्स² -  आप² = 1
 NS² बी²

दूसरा मामला तब का है जब केंद्रित देता है अतिशयोक्ति वे y अक्ष पर हैं और उनका केंद्र कार्तीय तल की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है।

 आप² -  एक्स² = 1
 NS² बी²

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

क्या आप इस पाठ को किसी स्कूल या शैक्षणिक कार्य में संदर्भित करना चाहेंगे? नज़र:

सिल्वा, लुइज़ पाउलो मोरेरा। "कॉनिक्स क्या हैं?"; ब्राजील स्कूल. में उपलब्ध: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conicas.htm. 27 जुलाई, 2021 को एक्सेस किया गया।