सम्मिश्र संख्याओं के योग का ज्यामितीय निरूपण

का समूह जटिल आंकड़े सभी z संख्याओं से बनता है जिन्हें निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

जेड = ए + द्वि

इस रूप में, i = (-1) । इन संख्याओं में a को कहा जाता है असली हिस्सा और बी कहा जाता है काल्पनिक हिस्सा. का प्रतिनिधित्व करने के लिए नंबरपरिसर ज्यामितीय रूप से, हम उपयोग करेंगे वैक्टर योजना पर।

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण

आप नंबरपरिसर ज्यामितीय रूप से a. में दर्शाया जा सकता है समतल के समान बनाया गया कार्तीय विमान: दो लंबवत अक्ष जो बदले में हैं संख्या रेखा. इसके अलावा, ये दो पंक्तियाँ इसके मूल में पाई जाती हैं।

इस योजना और योजना के बीच का अंतर समतलकाटीज़ियन यह सिर्फ व्याख्या है: इस विमान के एक्स-अक्ष को कहा जाता है वास्तविक धुरी, और y अक्ष को कहा जाता है काल्पनिक धुरी. अतः, इस तल में एक सम्मिश्र संख्या को निरूपित करने के लिए, जिसे के रूप में जाना जाता है की योजना अरगंड-गौस, हमें इस संख्या को एक क्रमबद्ध जोड़ी में बदलना होगा, जहां x निर्देशांक है अंशअसली सम्मिश्र संख्या का और y निर्देशांक आपका है। अंशकाल्पनिक.

उसके बाद, वेक्टर जो a. का प्रतिनिधित्व करता है संख्याजटिल हमेशा है सीधा खंड

उन्मुख जो योजना के मूल से शुरू होता है अरगंड-गौस और बिंदु (a, b) पर समाप्त होता है, जहां a, a है अंशअसली सम्मिश्र संख्या का और b इसका काल्पनिक भाग है।

दूसरे शब्दों में, इन योजनाओं में सबसे बड़ा अंतर यह है कि, समतलकाटीज़ियन, हम अंक प्राप्त करते हैं और, की योजना में अरगंड-गौस, हम सदिशों को चिह्नित करने के लिए सम्मिश्र संख्याओं के वास्तविक और काल्पनिक भाग का उपयोग करते हैं।

निम्न छवि दिखाती है प्रतिनिधित्वज्यामितिक का संख्याजटिल जेड = 2 + 3i।

सम्मिश्र संख्या जोड़ का ज्यामितीय निरूपण

परिसरों z = a + bi और u = c + di को देखते हुए, हमारे पास निम्नलिखित बीजीय योग है:

a + u = a + bi + c + di

ए + यू = ए + सी + (बी + डी) मैं

ध्यान दें कि दृष्टिकोण से ज्यामितिक, जोड़ते समय क्या किया जाता है नंबरपरिसर एक ही अक्ष पर उनके निर्देशांकों का योग है।

ज्यामितीय रूप से, के बीच का योग परिसर z = a + bi और u = c + di निम्नानुसार किया जा सकता है:

1 - के तल में सदिश z और u खींचिए अरगंड-गौस;

2 - की एक प्रति डाउनलोड करें वेक्टर u सदिश z के अंतिम बिंदु के लिए। दूसरे शब्दों में, सदिश u के समान लंबाई का एक सदिश खींचिए और बिंदु (a, b) से उसके समांतर खींचिए।

3 - की एक z' कॉपी डाउनलोड करें वेक्टर सदिश u के अंतिम बिंदु के लिए z;

4 - ध्यान दें कि सदिश u, u', z और z' a. बनाते हैं समानांतर चतुर्भुज, और एक सदिश v का निर्माण करें जो मूल बिंदु से शुरू होता है और सदिश u' और z' के बीच मिलन पर समाप्त होता है।

5 - वी = जेड + यू

नीचे दी गई छवि में इस निर्माण पर ध्यान दें:

हे वेक्टर v इसका केवल विकर्ण है समानांतर चतुर्भुज सदिश u, u', z और z' द्वारा निर्मित।

उदाहरण

सदिश a = 1 + 7i और सदिश b = 3 - 2i पर विचार करें। इन दोनों से समांतर चतुर्भुज की रचना देखिए वैक्टर:

इस प्रकार, सदिश v = (4, 5) के निर्देशांकों को देखते हुए इन दोनों सदिशों के बीच के योग का परिणाम निर्धारित करना संभव है। इसलिए जटिल संख्या वी = 4 + 5i।

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/representacao-geometrica-soma-numeros-complexos.htm