पहली और दूसरी डिग्री असमानता अभ्यास

पहली और दूसरी डिग्री की असमानताओं के 11 प्रश्नों के साथ अध्ययन करें। हल किए गए अभ्यासों के साथ अपनी शंकाओं को दूर करें और विश्वविद्यालय प्रवेश परीक्षा के साथ खुद को तैयार करें।

प्रश्न 1

एक होमवेयर स्टोर एक मूल्य के लिए कटलरी का एक सेट प्रदान करता है जो खरीदी गई मात्रा पर निर्भर करता है। ये विकल्प हैं:

विकल्प A: R$94.80 प्लस R$2.90 प्रति एकल इकाई।
विकल्प बी: बीआरएल 113.40 प्लस बीआरएल 2.75 प्रति यूनिट।

कितनी एकल कटलरी खरीदी गई, विकल्प A, विकल्प B की तुलना में कम लाभप्रद है।

ए) 112
बी) 84
सी) 124
घ) 135
ई) 142

उत्तर देखो

सही उत्तर: सी) 124।

आइडिया 1: खरीदे गए कटलरी की मात्रा के संबंध में अंतिम मूल्य कार्य लिखें।

विकल्प ए: पीए (एन) = 94.8 + 2.90 एन

जहां, PA विकल्प A का अंतिम मूल्य है और n एकल कटलरी की संख्या है।

विकल्प बी: पीबी (एन) = 113.40 + 2.75 एन

जहां, PB विकल्प B का अंतिम मूल्य है और n एकल कटलरी की संख्या है।

विचार 2: दोनों विकल्पों की तुलना करते हुए असमानता लिखिए।

जैसा कि शर्त यह है कि ए कम फायदेमंद है, आइए "से अधिक" चिह्न का उपयोग करके असमानता लिखें, जो कटलरी की संख्या का प्रतिनिधित्व करेगा जिसके बाद यह विकल्प अधिक महंगा हो जाता है।

असमानता के बाईं ओर से n को अलग करना और दाईं ओर से संख्यात्मक मान।

इस प्रकार, 124 स्थान सेटिंग्स से, विकल्प ए कम लाभप्रद हो जाता है।

प्रश्न 2

कार्लोस एक रियल एस्टेट एजेंट के साथ जमीन पर बातचीत कर रहा है। भूमि ए, एक कोने पर है और इसमें एक त्रिभुज का आकार है। रियल एस्टेट कंपनी द्वारा निर्धारित आयत के आकार में भूमि की एक पट्टी पर भी बातचीत कर रही है निम्नलिखित शर्त: ग्राहक चौड़ाई चुन सकता है, लेकिन लंबाई इससे पांच गुना होनी चाहिए उपाय

भू-भाग B की चौड़ाई का माप ताकि इसका क्षेत्रफल भू-भाग A से अधिक हो, है

1. तक
बी) 2
ग) 3
घ) 4
ई) 5

उत्तर देखो

सही उत्तर: डी) 4

आइडिया 1: त्रिकोणीय इलाके का क्षेत्र।

त्रिभुज का क्षेत्रफल दो से विभाजित ऊंचाई से गुणा आधार के माप के बराबर है।

विचार २: चौड़ाई माप के एक फलन के रूप में आयताकार भूभाग क्षेत्र।

आइडिया 3: इलाके ए और बी के माप की तुलना में असमानता।

भूमि क्षेत्र बी > भूमि क्षेत्र ए

निष्कर्ष
भू-भाग A, आयताकार, का क्षेत्रफल B से बड़ा है, त्रिभुजाकार है, जिसकी चौड़ाई 4 मीटर से अधिक है।

प्रश्न 3

एक कार डीलरशिप ने अपने सेल्सपर्सन की भुगतान नीति को बदलने का फैसला किया। इन्हें प्रति माह एक निश्चित वेतन मिलता था, और अब कंपनी भुगतान के दो रूपों का प्रस्ताव करती है। विकल्प 1 में $1000.00 का एक निश्चित भुगतान और बेची गई प्रति कार $185 का कमीशन प्रदान किया जाता है। विकल्प 2 $ 2,045.00 का वेतन और बेची गई प्रति कार $ 90 का कमीशन प्रदान करता है। कितनी कारें बिक जाने के बाद, विकल्प 1 विकल्प 2 की तुलना में अधिक लाभदायक हो जाता है?

ए) 25
बी) 7
सी) 9
घ) 13
ई) 11

उत्तर देखो

सही उत्तर: ई) 11

विचार १: विकल्प १ और २ के लिए बेची गई कारों की संख्या के फलन के रूप में वेतन सूत्र लिखें.

विकल्प वेतन 1: 1 000 + 185n
विकल्प वेतन 2: 2 045 + 90n

जहां n बेची गई कारों की संख्या है।

विचार २: असमानता चिह्न "से अधिक" का उपयोग करके विकल्पों की तुलना करते हुए असमानता लिखें।

निष्कर्ष
बिकने वाली 11 कारों में से विकल्प 1 विक्रेता के लिए अधिक लाभदायक हो जाता है।

प्रश्न 4

असमानता समय के एक कार्य के रूप में एक निश्चित दवा की क्रिया के समय अंतराल को घंटों में दर्शाता है, जिस क्षण से रोगी इसे निगलता है। सकारात्मक कार्य मूल्यों के लिए दवा कुशल रहती है।
वह समय अंतराल क्या है जिसमें रोगी के शरीर में दवा प्रतिक्रिया करती है?

उत्तर देखो

समय अंतराल निर्धारित करने के लिए, हम फ़ंक्शन को प्लॉट करते हैं .

यह दूसरी डिग्री का एक फलन है और इसका वक्र एक परवलय है।

गुणांक की पहचान Identify
ए = -1
बी = 3
सी = 0

a ऋणात्मक होने के कारण, अवतलता नीचे की ओर मुड़ जाती है।

समीकरण की जड़ों का निर्धारण:

मूल वे बिंदु हैं जहां फलन शून्य है और इसलिए वे बिंदु हैं जहां वक्र x-अक्ष को काटता है।

फ़ंक्शन 0 और 3 के बीच सकारात्मक मान लेता है।
इसलिए, दवा तीन घंटे तक अपना प्रभाव बनाए रखती है।

प्रश्न 5

एक कपड़ों की दुकान पर, एक प्रचार कहता है कि यदि कोई ग्राहक एक टुकड़ा खरीदता है, तो वह कीमत के एक तिहाई के लिए, पहले की तरह ही दूसरा प्राप्त कर सकता है। यदि किसी ग्राहक के पास बीआरएल 125.00 है और वह प्रचार का लाभ उठाना चाहता है, तो वह पहले टुकड़े की अधिकतम कीमत खरीद सकता है, ताकि वह दूसरा भी ले सके।

ए) बीआरएल 103.00
बी) बीआरएल 93.75
सी) बीआरएल 81.25
घ) बीआरएल 95.35
ई) बीआरएल 112.00

उत्तर देखो

सही उत्तर: बी) बीआरएल 93.75

पहले पीस की कीमत x कहें तो दूसरा x/3 से निकलता है। चूँकि दोनों की एक साथ अधिकतम कीमत R$125.00 होनी चाहिए, हम "इससे कम या इसके बराबर" चिह्न का उपयोग करके एक असमानता लिखते हैं।

इसलिए, वह पहले टुकड़े के लिए अधिकतम कीमत R$93.75 चुका सकती है।

वास्तव में, यदि x अपना अधिकतम मान 93.75 मान लेता है, तो दूसरा टुकड़ा इस मान के एक तिहाई के लिए निकलेगा, अर्थात्:

93,75 / 3 = 31,25

इस प्रकार, दूसरे टुकड़े की कीमत R$31.25 होगी।

गणनाओं की जांच करने के लिए, आइए पहले और दूसरे भाग की कीमतों को जोड़ दें।

93,75 + 31,25 = 125,00

प्रश्न 6

(ENEM 2020 डिजिटल). एक क्लब के अध्यक्ष पद के लिए पिछले चुनाव में, दो स्लेटों पर हस्ताक्षर किए गए (I और II)। साझेदार दो प्रकार के होते हैं: इक्विटी और करदाता। इक्विटी पार्टनर्स के वोटों का वजन 0.6 है और योगदान देने वाले पार्टनर्स का वजन 0.4 है। स्लेट I को इक्विटी पार्टनर्स से 850 वोट मिले और योगदान देने वाले पार्टनर्स से 4,300 वोट मिले; स्लेट II को इक्विटी पार्टनर्स से 1,300 वोट और योगदान करने वाले पार्टनर्स से 2,120 वोट मिले। कोई परहेज, रिक्त या शून्य वोट नहीं थे, और टिकट मैं विजेता था। क्लब प्रेसीडेंसी के लिए एक नया चुनाव होगा, जिसमें समान संख्या और प्रकार के सदस्य होंगे, और पिछले चुनाव के समान स्लेट होंगे। स्लेट II द्वारा किए गए एक परामर्श से पता चला है कि इक्विटी पार्टनर अपने वोट नहीं बदलेंगे, और यह कि वे पिछले चुनाव से योगदान देने वाले भागीदारों के वोटों पर भरोसा कर सकते हैं। इस प्रकार, इसे जीतने के लिए, अपने वोटों को स्लेट II में बदलने के उद्देश्य से योगदान करने वाले भागीदारों के साथ एक अभियान की आवश्यकता होगी।

योगदान करने वाले सदस्यों की सबसे छोटी संख्या जिन्हें विजेता बनने के लिए अपना वोट स्लेट I से स्लेट II में बदलने की आवश्यकता है, वह है

क) 449
बी) 753
सी) 866
घ) ९४१
ई) 1 091

उत्तर देखो

सही उत्तर: बी) 753

विचार १: प्लेट १ को एक निश्चित x मात्रा में मतों की हानि होती है और स्लेट २ को उतने ही x मत प्राप्त होते हैं।

आइडिया 2: असमानता को इकट्ठा करें

चूंकि इक्विटी भागीदारों के वोट समान रहेंगे, चुनाव जीतने के लिए स्लेट 2 के लिए, उसे योगदान देने वाले भागीदारों से x वोट प्राप्त करने होंगे। उसी समय, स्लेट 1 को उन्हीं x वोटों को खोना होगा।

वोट प्लेट 2 > वोट प्लेट 1

1300. 0.6+ (2120+x)। 0,4 > 850. 0.6 + (4300 - x)। 0,4

780 + 848 + 0.4x > 510 + 1720 - 0.4x

१६२८ + ०.४x > २२३० - ०.४x

0.4x + 0.4x> 2230 - 1628

0.8x> 602

एक्स> 602 / 0.8

एक्स > 752.5

इसलिए, 753 योगदान देने वाले भागीदारों की सबसे छोटी संख्या है, जिन्हें विजेता बनने के लिए अपने वोट को स्लेट I से स्लेट II में बदलने की आवश्यकता है।

प्रश्न 7

(यूईआरजे 2020). एक धनात्मक पूर्णांक N, जो असमानता को संतुष्ट करता है é:

ए) 2
बी) 7
सी) 16
घ) 17

उत्तर देखो

सही उत्तर: डी) 17

आइडिया 1: जड़ों का निर्धारण करें

आइए भास्कर के सूत्र का उपयोग करके इस द्वितीय डिग्री समीकरण की जड़ों को खोजें।

गुणांक की पहचान Identify

ए = 1
बी = -17
सी = 16

विभेदक का निर्धारण, डेल्टा।

जड़ों का निर्धारण

आइडिया 2: ग्राफ को स्केच करें

चूंकि गुणांक a धनात्मक है, फलन के वक्र में ऊपर की ओर खुली अवतलता है और x अक्ष को बिंदुओं N1 और N2 पर काटता है।

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन N के लिए 1 से कम और 16 से अधिक के लिए शून्य से अधिक मान लेता है।

समाधान सेट है: एस = {एन <1 और एन> 16}।

चूंकि असमानता का चिन्ह (>) से बड़ा है, N = 1 और N = 16 के मान शून्य के बराबर हैं, और हम उन पर विचार नहीं कर सकते।

निष्कर्ष
असमानता को संतुष्ट करने वाले विकल्पों में से पूर्णांक 17 है।

प्रश्न 8

(यूएनईएसपी). कार्लोस एक डिस्क जॉकी (डीजे) के रूप में काम करता है और एक पार्टी को जीवंत बनाने के लिए R$100.00, प्लस R$20.00 प्रति घंटे का एक फ्लैट शुल्क लेता है। डैनियल, उसी भूमिका में, R$55.00 का एक समान शुल्क, साथ ही R$35.00 प्रति घंटे का शुल्क लेता है। एक पार्टी की अधिकतम लंबाई, ताकि डेनियल की नियुक्ति कार्लोस की तुलना में अधिक महंगी न हो, है:

ए) 6 घंटे
बी) 5 घंटे
ग) 4 घंटे
घ) 3 घंटे
ई) 2 घंटे

उत्तर देखो

सही उत्तर: डी) 3 घंटे

कार्लोस की सेवा मूल्य का कार्य

100 + 20h

डैनियल सेवा मूल्य समारोह

55 + 35h

अगर हम जानना चाहते हैं कि उनकी सेवा की कीमत कितने घंटों में बराबर होती है, तो हमें समीकरणों को बराबर करना होगा।

डेनियल प्राइस = कार्लोस प्राइस

हम डेनियल की सेवा की कीमत कैसे चाहते हैं अधिक महंगा मत बनो कार्लोस की तुलना में, हम बराबर चिह्न को से कम या उसके बराबर में बदलते हैं .

(पहली डिग्री की असमानता)

असमानता के एक तरफ h के साथ पद को अलग करना:

एच = 3 के मूल्यों के लिए, सेवा मूल्य मूल्य दोनों के बराबर है।

3 घंटे की पार्टी के लिए डेनियल की कीमत
55 + 35h = 55 + 35x3 = 55 + 105 = 160

पार्टी के 3 घंटे के लिए कार्लोस की कीमत
१०० + २० घंटे = १०० + २०x३ = १०० + ६० = १६०

बयान में कहा गया है: "ताकि डेनियल को काम पर रखना कार्लोस की तुलना में अधिक महंगा न हो जाए"। इसलिए हम इससे कम या उसके बराबर के चिह्न का उपयोग करते हैं।

एक पार्टी की अधिकतम अवधि, ताकि डेनियल को काम पर रखना कार्लोस से अधिक महंगा न हो, 3 घंटे है। 3 बजे के बाद से इसकी हायरिंग और महंगी हो जाती है।

प्रश्न 9

(एनईएम 2011). एक उद्योग एक ही प्रकार के उत्पाद का निर्माण करता है और हमेशा वह सब कुछ बेचता है जो वह पैदा करता है। उत्पादों की मात्रा q के निर्माण की कुल लागत एक फ़ंक्शन द्वारा दी जाती है, जिसे CT द्वारा दर्शाया जाता है, जबकि कंपनी को मात्रा q की बिक्री से जो राजस्व प्राप्त होता है, वह भी एक फ़ंक्शन है, जो प्रतीक है एफटी द्वारा। उत्पादों की मात्रा q को बेचकर प्राप्त कुल लाभ (LT) अभिव्यक्ति LT(q) = FT(q) – CT(q) द्वारा दिया जाता है।

एफटी (क्यू) = 5 क्यू और सीटी (क्यू) = 2 क्यू + 12 को राजस्व और लागत के रूप में देखते हुए, उत्पादों की न्यूनतम मात्रा क्या है जो उद्योग को नुकसान न होने के लिए निर्माण करना होगा?

ए) 0
बी) 1
ग) 3
घ) 4
ई) 5

उत्तर देखो

सही उत्तर: डी) 4

विचार १: हानि न होना उच्च टर्नओवर या, कम से कम, शून्य के बराबर होने के समान है।

विचार 2: असमानता लिखें और गणना करें।

कथन के अनुसार LT(q) = FT(q) - CT(q)। कार्यों को प्रतिस्थापित करना और शून्य से अधिक या उसके बराबर बनाना।

इसलिए, उत्पादों की न्यूनतम मात्रा जो उद्योग को खोने के लिए नहीं बनाने के लिए निर्माण करना होगा, 4 है।

प्रश्न 10

(एनईएम 2015). ग्लाइसेमिक नियंत्रण के लिए मधुमेह के रोगियों के उपचार में इंसुलिन का उपयोग किया जाता है। इसके अनुप्रयोग को सुविधाजनक बनाने के लिए, एक "पेन" विकसित किया गया जिसमें 3mL इंसुलिन युक्त एक रिफिल डाला जा सकता है। अनुप्रयोगों को नियंत्रित करने के लिए, इंसुलिन इकाई को 0.01 एमएल के रूप में परिभाषित किया गया था। प्रत्येक आवेदन से पहले, संभावित हवाई बुलबुले को हटाने के लिए, इंसुलिन की 2 इकाइयों को त्यागना आवश्यक है। एक रोगी को दो दैनिक आवेदन निर्धारित किए गए थे: सुबह में 10 यूनिट इंसुलिन और शाम को 10 यूनिट। निर्धारित खुराक के साथ रोगी द्वारा उपयोग किए जाने वाले प्रति रिफिल में आवेदनों की अधिकतम संख्या क्या है?

ए) 25
बी) 15
ग) 13
घ) 12
ई) 8

उत्तर देखो

सही उत्तर: ए) 25

डेटा

पेन क्षमता = 3ml
1 यूनिट इंसुलिन = 0.01 mL
प्रत्येक आवेदन में छोड़ी गई मात्रा = 2 इकाइयाँ
प्रति आवेदन मात्रा = १० इकाइयाँ
प्रति आवेदन उपयोग की गई कुल राशि = 10u + 2u = 12u

उद्देश्य: निर्धारित खुराक के साथ संभव अनुप्रयोगों की अधिकतम संख्या निर्धारित करना।

विचार 1: असमानता को "शून्य से अधिक" लिखें।

एमएल माइनस में कुल, इकाइयों में प्रति आवेदन कुल राशि, 0.01 एमएल से गुणा, अनुप्रयोगों की संख्या से गुणा किया जाता है।

3mL - (12u x 0.01mL)p > 0

3 - (12 x 0.01) पी > 0
३ - ०.१२पी > ०
3 > 0.12p
3 / 0.12> पी
25 > पी

निष्कर्ष
रोगी द्वारा निर्धारित खुराक के साथ उपयोग कर सकने वाले प्रति रिफिल में आवेदनों की अधिकतम संख्या 25 है।

प्रश्न 11

(यूईसीई 2010). पॉल की उम्र, वर्षों में, एक सम पूर्णांक है जो असमानता को संतुष्ट करता है . पॉल की उम्र का प्रतिनिधित्व करने वाला नंबर सेट से संबंधित है

ए) {12, 13, 14}।
बी) {15, 16, 17}।
ग) {18, 19, 20}।
घ) {21, 22, 23}।

उत्तर देखो

सही उत्तर: बी) {15, 16, 17}।

विचार 1: फलन f (x) =. का आलेख वक्र आरेखित करें .

इसके लिए, आइए भास्कर सूत्र का उपयोग करके फलन के मूल ज्ञात करें।

गुणांक हैं:
ए = 1
बी = -32
सी = 252

विवेचक की गणना

रूट गणना

द्वितीय डिग्री फलन का ग्राफ एक परवलय है, क्योंकि a धनात्मक है, अवतल ऊपर की ओर है और वक्र x-अक्ष को 14 और 18 बिंदुओं पर काटता है।

विचार २: चार्ट पर मूल्यों की पहचान करें।

चूंकि प्रश्न की असमानता "से कम" चिह्न के साथ असमानता है, दाईं ओर मान शून्य के साथ, हम x अक्ष के मानों में रुचि रखते हैं ताकि फ़ंक्शन नकारात्मक हो।

निष्कर्ष
इसलिए, पॉल की उम्र का प्रतिनिधित्व करने वाली संख्या समुच्चय {15, 16, 17} से संबंधित है।

के बारे में अधिक जानने असमानताओं.

यह भी देखें
दूसरी डिग्री समीकरण
पहली डिग्री समीकरण