विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर अभ्यास

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सामान्य पहलुओं के बारे में प्रश्नों के साथ अपने ज्ञान का परीक्षण करें जिसमें दो बिंदुओं के बीच की दूरी, मध्य बिंदु, सीधी रेखा समीकरण, अन्य विषयों के बीच शामिल हैं।

अपने संदेहों को स्पष्ट करने और अधिक ज्ञान प्राप्त करने के लिए प्रस्तावों में टिप्पणियों का लाभ उठाएं।

प्रश्न 1

दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें: ए (-2,3) और बी (1,-3)।

उत्तर देखो

सही उत्तर: डी (ए, बी) = .

इस प्रश्न को हल करने के लिए, दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करें।

हम सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और दूरी की गणना करते हैं।

45 का मूल सटीक नहीं है, इसलिए जब तक आप किसी भी संख्या को जड़ से नहीं हटा सकते, तब तक रूट करना आवश्यक है।

इसलिए, बिंदु A और B के बीच की दूरी है .

प्रश्न 2

कार्तीय तल पर बिंदु D (3.2) और C (6.4) हैं। D और C के बीच की दूरी की गणना करें।

उत्तर देखो

सही उत्तर: .

किया जा रहा है तथा , हम पाइथागोरस प्रमेय को DCP त्रिभुज पर लागू कर सकते हैं।

निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम बिंदुओं के बीच की दूरी इस प्रकार पाते हैं:

इसलिए, D और C के बीच की दूरी है

यह भी देखें: दो बिंदुओं के बीच की दूरी

प्रश्न 3

त्रिभुज ABC का परिमाप ज्ञात कीजिए, जिसके निर्देशांक हैं: A (3,3), B (-5, -6) और C (4,-2)।

उत्तर देखो

सही उत्तर: पी = 26.99।

पहला चरण: अंक ए और बी के बीच की दूरी की गणना करें।

दूसरा चरण: अंक ए और सी के बीच की दूरी की गणना करें।

तीसरा चरण: बिंदु B और C के बीच की दूरी की गणना करें।

चौथा चरण: त्रिभुज की परिधि की गणना करें।

अत: त्रिभुज ABC का परिमाप 26.99 है।

यह भी देखें: त्रिभुज परिधि

प्रश्न 4

निर्देशांक निर्धारित करें जो A (4,3) और B (2,-1) के बीच मध्यबिंदु का पता लगाते हैं।

उत्तर देखो

सही उत्तर: एम (3, 1)।

मध्य बिंदु की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करके, हम x निर्देशांक निर्धारित करते हैं।

Y निर्देशांक की गणना उसी सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

गणना के अनुसार, मध्यबिंदु (3.1) है।

प्रश्न 5

एक त्रिभुज के शीर्ष C के निर्देशांकों की गणना करें, जिनके बिंदु हैं: A (3, 1), B (-1, 2) और बैरीसेंटर G (6, -8)।

उत्तर देखो

सही उत्तर: सी (16, -27)।

बैरीसेंटर जी (x .)_जीआप_जी) वह बिंदु है जहाँ त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ मिलती हैं। इसके निर्देशांक सूत्रों द्वारा दिए गए हैं:

तथा

हमारे पास मौजूद निर्देशांकों के x मानों को प्रतिस्थापित करना:

अब हम y मानों के लिए भी यही प्रक्रिया करते हैं।

इसलिए, शीर्ष C के निर्देशांक (16,-27) हैं।

प्रश्न 6

संरेख बिंदुओं A (-2, y), B (4, 8), और C (1, 7) के निर्देशांकों को देखते हुए निर्धारित करें कि y का मान क्या है।

उत्तर देखो

सही उत्तर: y = 6.

तीन बिंदुओं को संरेखित करने के लिए, नीचे दिए गए मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर होना चाहिए।

पहला चरण: मैट्रिक्स में x और y के मानों को बदलें।

दूसरा चरण: मैट्रिक्स के आगे पहले दो कॉलम के तत्वों को लिखें।

तीसरा चरण: मुख्य विकर्णों के तत्वों को गुणा करें और उन्हें जोड़ें।

परिणाम होगा:

चौथा चरण: द्वितीयक विकर्णों के तत्वों को गुणा करें और उनके सामने चिह्न को उल्टा करें।

परिणाम होगा:

5 वां चरण: शर्तों में शामिल हों और जोड़ और घटाव संचालन को हल करें।

इसलिए, बिंदुओं के संरेख होने के लिए, y का मान 6 होना चाहिए।

यह भी देखें: मैट्रिक्स और निर्धारक

प्रश्न 7

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष हैं: A (2, 2), B (1, 3) और C (4, 6)।

उत्तर देखो

सही उत्तर: क्षेत्रफल = 3.

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सारणिक से इस प्रकार की जा सकती है:

पहला चरण: मैट्रिक्स में समन्वय मानों को बदलें।

दूसरा चरण: मैट्रिक्स के आगे पहले दो कॉलम के तत्वों को लिखें।

तीसरा चरण: मुख्य विकर्णों के तत्वों को गुणा करें और उन्हें जोड़ें।

परिणाम होगा:

चौथा चरण: द्वितीयक विकर्णों के तत्वों को गुणा करें और उनके सामने चिह्न को उल्टा करें।

परिणाम होगा:

5 वां चरण: शर्तों में शामिल हों और जोड़ और घटाव संचालन को हल करें।

छठा चरण: त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें।

यह भी देखें: त्रिभुज क्षेत्र

प्रश्न 8

(PUC-RJ) बिंदु B = (3, b) बिंदु A = (6, 0) और C = (0, 6) से समान दूरी पर है। इसलिए, बिंदु B है:

ए) (3, 1)
बी) (3, 6)
ग) (3, 3)
घ) (3, 2)
ई) (3, 0)

उत्तर देखो

सही विकल्प: c) (3, 3)।

यदि बिंदु A और C बिंदु B से समान दूरी पर हैं, तो इसका अर्थ है कि बिंदु समान दूरी पर स्थित हैं। तो, दो_अब = डी_सीबी और गणना करने का सूत्र है:

पहला चरण: समन्वय मानों को बदलें।

दूसरा चरण: मूलों को हल करें और b का मान ज्ञात करें।

अत: बिंदु B (3, 3) है।

यह भी देखें: दो बिंदुओं के बीच की दूरी पर व्यायाम

प्रश्न 9

(Unesp) त्रिभुज PQR, कार्तीय तल में, शीर्षों P = (0, 0), Q = (6, 0) और R = (3, 5) के साथ, है
ए) समबाहु।
b) समद्विबाहु लेकिन समबाहु नहीं।
ग) स्केलीन।
डी) आयताकार।
ई) अधिक कोण।

उत्तर देखो

सही विकल्प: b) समद्विबाहु लेकिन समबाहु नहीं।

पहला चरण: बिंदु P और Q के बीच की दूरी की गणना करें।

दूसरा चरण: बिंदु P और R के बीच की दूरी की गणना करें।

तीसरा चरण: बिंदु Q और R के बीच की दूरी की गणना करें।

चौथा चरण: विकल्पों का न्याय करें।

गलती। समबाहु त्रिभुज में समान त्रि-पक्षीय माप होते हैं।

बी) सही। त्रिभुज समद्विबाहु है, क्योंकि दो भुजाओं का माप समान है।

ग) गलत। स्केलीन त्रिभुज में तीन अलग-अलग पक्षों की माप होती है।

घ) गलत। समकोण त्रिभुज में एक समकोण होता है, अर्थात 90º।

ई) गलत। अधिक कोण वाले त्रिभुज का एक कोण 90º से बड़ा होता है।

यह भी देखें: त्रिभुज वर्गीकरण

प्रश्न 10

(यूनिटौ) बिंदुओं (3.3) और (6.6) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण है:

ए) वाई = एक्स।
बी) वाई = 3x।
सी) वाई = 6x।
डी) 2y = एक्स।
ई) 6y = एक्स।

उत्तर देखो

सही विकल्प: a) y = x।

इसे समझना आसान बनाने के लिए, हम बिंदु (3,3) A और बिंदु (6,6) B को कॉल करेंगे।

पी लेना (एक्स_पीआप_पी) एक बिंदु के रूप में जो रेखा AB से संबंधित है, तो A, B और P संरेख हैं और रेखा का समीकरण निम्न द्वारा निर्धारित किया जाता है:

A और B से गुजरने वाली रेखा का सामान्य समीकरण ax + by + c = 0 है।

मैट्रिक्स में मानों को प्रतिस्थापित करना और निर्धारक की गणना करना, हमारे पास है:

इसलिए, x = y बिंदुओं (3,3) और (6,6) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है।

यह भी देखें: रेखा समीकरण