घातीय कार्य: 5 टिप्पणी अभ्यास comment

घातांक प्रकार्य में every का प्रत्येक कार्य है^*_+, f(x) = a. द्वारा परिभाषित^एक्स, जहाँ a एक वास्तविक संख्या है, शून्य से बड़ी है और 1 के बराबर नहीं है।

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टिप्पणी की गई एक्सरसाइज

अभ्यास 1

जीवविज्ञानियों का एक समूह बैक्टीरिया की एक विशेष कॉलोनी के विकास का अध्ययन कर रहा है और पाया गया कि आदर्श परिस्थितियों में, जीवाणुओं की संख्या N(t) व्यंजक द्वारा ज्ञात की जा सकती है। = 2000. 2^0.5t, घंटे में t होना।

इन स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, अवलोकन शुरू होने के कितने समय बाद बैक्टीरिया की संख्या 8192000 के बराबर होगी?

समाधान

प्रस्तावित स्थिति में, हम जीवाणुओं की संख्या जानते हैं, अर्थात हम जानते हैं कि N(t) = 8192000 और हम t का मान ज्ञात करना चाहते हैं। तो, बस इस मान को दिए गए व्यंजक में बदलें:

इस समीकरण को हल करने के लिए, हम संख्या 4096 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखते हैं, क्योंकि यदि हमारे पास समान आधार है, तो हम घातांकों की बराबरी कर सकते हैं। इसलिए, संख्या का गुणनखंड, हमारे पास है:

इस प्रकार, अवलोकन की शुरुआत से 1 दिन (24 घंटे) के बाद संस्कृति में 8 192 000 बैक्टीरिया होंगे।

व्यायाम २

रेडियोधर्मी पदार्थों में समय के साथ अपने रेडियोधर्मी द्रव्यमान को विघटित करने की स्वाभाविक प्रवृत्ति होती है। अपने रेडियोधर्मी द्रव्यमान के आधे भाग को विघटित होने में लगने वाले समय को इसकी अर्ध-आयु कहते हैं।

किसी दिए गए तत्व के रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा निम्न द्वारा दी गई है:

होना,

एन(टी): एक निश्चित समय में रेडियोधर्मी सामग्री (ग्राम में) की मात्रा।
नहीं₀: सामग्री की प्रारंभिक मात्रा (ग्राम में)
टी: आधा जीवन काल (वर्षों में)
टी: समय (वर्षों में)

यह मानते हुए कि इस तत्व का आधा जीवन 28 वर्ष के बराबर है, रेडियोधर्मी सामग्री को इसकी प्रारंभिक मात्रा के 25% तक कम करने के लिए आवश्यक समय निर्धारित करें।

समाधान

प्रस्तावित स्थिति के लिए A(t) = 0.25 A₀ = 1/4 ए₀, इसलिए हम दिए गए व्यंजक को T को 28 वर्ष से प्रतिस्थापित करते हुए लिख सकते हैं, फिर:

इसलिए, रेडियोधर्मी सामग्री की मात्रा को 25% कम करने में 56 वर्ष लगेंगे.

प्रतियोगिता प्रश्न

1) यूनिस्प - 2018

लगभग 2 घंटे के आधे जीवन के साथ, इबुप्रोफेन दर्द और बुखार के लिए एक निर्धारित दवा है। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, 200 मिलीग्राम इबुप्रोफेन लेने के 2 घंटे बाद, रोगी के रक्तप्रवाह में केवल 100 मिलीग्राम दवा ही रहेगी। एक और 2 घंटे (कुल 4 घंटे) के बाद, केवल 50 मिलीग्राम रक्तप्रवाह में रहेगा और इसी तरह। यदि एक रोगी को हर 6 घंटे में 800 मिलीग्राम इबुप्रोफेन मिलता है, तो इस दवा की मात्रा जो पहली खुराक लेने के बाद 14 घंटे तक रक्तप्रवाह में रहेगी

ए) 12.50 मिलीग्राम
बी) 456.25 मिलीग्राम
सी) 114.28 मिलीग्राम
घ) 6.25 मिलीग्राम
ई) 537.50 मिलीग्राम

उत्तर देखो

चूंकि हर 2 घंटे में रक्तप्रवाह में दवा की प्रारंभिक मात्रा आधे में विभाजित होती है, हम निम्नलिखित योजना का उपयोग करके इस स्थिति का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

ध्यान दें कि घातांक, प्रत्येक स्थिति में, 2 से विभाजित समय के बराबर होता है। इस प्रकार, हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति का उपयोग करके, समय के एक कार्य के रूप में रक्तप्रवाह में दवा की मात्रा को परिभाषित कर सकते हैं:

किया जा रहा है

Q(t): दिए गए घंटे में मात्रा
क्यू₀: अंतर्ग्रहण की गई प्रारंभिक राशि amount
टी: घंटों में समय

यह देखते हुए कि हर 6 घंटे में 800 मिलीग्राम इबुप्रोफेन लिया जाता है, तो हमारे पास है:

पहली खुराक लेने के 14 घंटे बाद रक्तप्रवाह में दवा की मात्रा का पता लगाने के लिए, हमें पहली, दूसरी और तीसरी खुराक की मात्रा को जोड़ना होगा। इन मात्राओं की गणना करते हुए, हमारे पास है:

पहली खुराक की मात्रा १४ घंटे के बराबर समय को देखते हुए मिलेगी, इसलिए हमारे पास है:

दूसरी खुराक के लिए, जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है, समय 8 घंटे था। इस मान को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

तीसरी खुराक का समय केवल 2 घंटे होगा। तीसरी खुराक से संबंधित राशि तब होगी:

अब जब हम प्रत्येक खुराक के लिए मात्रा जानते हैं, तो हम प्रत्येक मात्रा को जोड़कर कुल राशि का पता लगा सकते हैं:

क्यू_{संपूर्ण}= 6.25 + 50 + 400 = 456.25 मिलीग्राम

वैकल्पिक ख) ४५६.२५ मिलीग्राम

2) यूईआरजे - 2013

एक शहर को आपूर्ति करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली एक झील एक औद्योगिक दुर्घटना के बाद दूषित हो गई, जो विषाक्तता के स्तर तक पहुंच गई₀, प्रारंभिक स्तर के दस गुना के अनुरूप।
नीचे दी गई जानकारी को पढ़ें।

• झील का प्राकृतिक प्रवाह इसकी मात्रा का 50% हर दस दिनों में नवीनीकृत करने की अनुमति देता है।
• दुर्घटना के x दिनों के बाद विषाक्तता स्तर T(x) की गणना निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करके की जा सकती है:

विषाक्तता के प्रारंभिक स्तर पर लौटने के लिए आवश्यक पानी की आपूर्ति के निलंबन के दिनों की सबसे छोटी संख्या डी पर विचार करें।
अगर लॉग 2 = 0.3, डी का मान बराबर है:

ए) 30
बी) 32
सी) 34
घ) 36

उत्तर देखो

विषाक्तता के प्रारंभिक स्तर पर लौटने के लिए यह आवश्यक है कि:

दिए गए फ़ंक्शन में इस मान को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

"क्रॉस" में गुणा करने पर, समीकरण बन जाता है:

2 ^0.1x= 10

आइए आधार 10 लघुगणक को दोनों पक्षों पर लागू करें ताकि इसे पहली डिग्री समीकरण में बदल दिया जा सके:

लॉग (2^0.1x) = लॉग 10

यह याद रखना कि आधार १० में १० का लॉग 1 के बराबर है, हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा:

0.1x। लॉग 2 = 1

उस लॉग 2 = 0.3 को ध्यान में रखते हुए और इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए:

इस प्रकार, कम से कम दिनों की संख्या, लगभग, उस आपूर्ति को निलंबित किया जाना चाहिए, 34 दिन है।

वैकल्पिक ग) 34

3) फुवेस्प - 2018

मान लीजिए f: → ℝ और g:₊ →ℝ द्वारा परिभाषित

क्रमशः।

समग्र फलन का ग्राफ g_ºआस्था:

उत्तर देखो

आप जिस ग्राफ की तलाश कर रहे हैं वह समग्र कार्य है g_ºf, इसलिए, इस फ़ंक्शन को निर्धारित करने के लिए पहला कदम है। इसके लिए हमें फंक्शन g (x) के x में फंक्शन f (x) को बदलना होगा। यह प्रतिस्थापन करके, हम पाएंगे:

भागफल और एक घात के लघुगणक गुण का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

ध्यान दें कि ऊपर पाया गया फ़ंक्शन ax+b प्रकार का है, जो एक affine फ़ंक्शन है। तो आपका ग्राफ एक सीधी रेखा होगा।

साथ ही, ढलान a, log. के बराबर है₁₀ 5, जो एक धनात्मक संख्या है, इसलिए ग्राफ बढ़ता जाएगा। इस तरह, हम विकल्प b, c और e को समाप्त कर सकते हैं।

हमारे पास विकल्प a और d बचे हैं, हालांकि, जब x=0 हमारे पास gof = - log. है₁₀ 2 जो एक ऋणात्मक मान है जैसा कि ग्राफ a में दर्शाया गया है।

वैकल्पिक ए)

4) यूनिकैंप - 2014

नीचे दिया गया ग्राफ समय के साथ सूक्ष्मजीवों की आबादी के लिए जैविक संभावित वक्र q (t) दिखाता है।

चूँकि a और b वास्तविक स्थिरांक हैं, इस विभव का प्रतिनिधित्व करने वाला फलन है

ए) क्यू (टी) = + बी. पर
बी) क्यू (टी) = अब^तो
सी) क्यू (टी) = at² + बीटी
डी) क्यू (टी) = ए + लॉग _ख तो

उत्तर देखो

दिखाए गए ग्राफ से, हम यह पहचान सकते हैं कि जब t=0, फ़ंक्शन 1000 के बराबर होता है। इसके अलावा, यह भी देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन एफ़िन नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ एक सीधी रेखा नहीं है।

यदि फलन प्रकार q (t) = at. के थे²+bt, जब t = 0, परिणाम शून्य के बराबर होगा न कि 1000। तो यह द्विघात फलन भी नहीं है।

लॉग कैसे करें_ख0 परिभाषित नहीं है, इसका फलन q (t) = a + log. भी नहीं हो सकता है_खटी

अत: एकमात्र विकल्प फलन q(t) = ab. होगा^तो. t=0 को ध्यान में रखते हुए, फ़ंक्शन q (t) = a होगा, क्योंकि a एक स्थिर मान है, यह पर्याप्त है कि दिए गए ग्राफ में फ़ंक्शन के लिए यह 1000 के बराबर है।

वैकल्पिक बी) क्यू (टी) = ab^तो

5) एनीम (पीपीएल) - २०१५

एक कंपनी के श्रमिक संघ का सुझाव है कि काम के लिए समर्पित प्रत्येक वर्ष के लिए एक निश्चित प्रतिशत वृद्धि का प्रस्ताव करते हुए, वर्ग की वेतन मंजिल R $ 1,800.00 होनी चाहिए। वर्षों में सेवा की लंबाई (टी) के एक समारोह के रूप में वेतन प्रस्ताव (एस) से मेल खाने वाली अभिव्यक्ति एस (टी) = 1800 है। (1,03)^तो .

संघ के प्रस्ताव के अनुसार, इस कंपनी के 2 वर्ष की सेवा वाले पेशेवर का वेतन रियास में होगा,

क) 7 416.00
बी) 3,819.24
ग) 3,709.62
घ) 3,708.00
ई) 1,909.62।

उत्तर देखो

संघ द्वारा प्रस्तावित समय के कार्य के रूप में मजदूरी की गणना के लिए अभिव्यक्ति एक घातीय कार्य से मेल खाती है।

संकेतित स्थिति में वेतन मान ज्ञात करने के लिए, आइए s के मान की गणना करें, जब t=2, जैसा कि नीचे दर्शाया गया है:

एस (2) = 1800। (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

वैकल्पिक ई) 1 909.62

यह भी पढ़ें:

• घातांक प्रकार्य
• लोगारित्म
• लघुगणक - व्यायाम
• लघुगणक गुण
• क्षमता
• शक्ति अभ्यास
• एफ़िन फंक्शन
• रैखिक प्रकार्य
• संबंधित कार्य अभ्यास
• द्विघात फंक्शन
• द्विघात फलन - व्यायाम
• गणित के सूत्र