ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स: परिभाषा, गुण और अभ्यास

एक मैट्रिक्स ए का स्थानांतरण एक मैट्रिक्स है जिसमें ए के समान तत्व होते हैं, लेकिन एक अलग स्थिति में रखा जाता है। यह तत्वों को ए की पंक्तियों से स्थानांतरित के स्तंभों तक व्यवस्थित रूप से परिवहन करके प्राप्त किया जाता है।

अत: दिया गया आव्यूह A = (a .)_{आईजेयू})_{एमएक्सएन} A का स्थानान्तरण A है^तो = (ए'_जी) _{एन एक्स एम}.

होना,

मैं: रेखा स्थिति
जे: स्तंभ स्थिति
_{आईजेयू}: स्थिति ij. पर सरणी का एक तत्व
मी: मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या
n: मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या
^तो: A. का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स

ध्यान दें कि मैट्रिक्स A, m x n कोटि का है, जबकि इसका स्थानान्तरण A. है^तो क्रम n x m का है।

उदाहरण

मैट्रिक्स बी से स्थानांतरित मैट्रिक्स का पता लगाएं।

जैसा कि दिया गया मैट्रिक्स 3x2 प्रकार (3 लाइन और 2 कॉलम) का है, इसका ट्रांसपोज़र 2x3 टाइप (2 लाइन और 3 कॉलम) का होगा।
ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स बनाने के लिए, हमें B के सभी कॉलम को B. की पंक्तियों के रूप में लिखना होगा^तो. जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है:

इस प्रकार, B का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स होगा:

यह भी देखें: मैट्रिसेस

स्थानांतरित मैट्रिक्स गुण

(द^तो)^तो= ए: यह गुण इंगित करता है कि एक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स का स्थानान्तरण मूल मैट्रिक्स है।

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(ए + बी)^तो = ए^तो + बी^तो: दो आव्यूहों के योग का स्थानान्तरण उनमें से प्रत्येक के स्थानान्तरण के योग के बराबर होता है।
(द. बी)^तो = बी^तो.^तो: दो आव्यूहों के गुणन का स्थानान्तरण प्रतिलोम क्रम में उनमें से प्रत्येक के स्थानान्तरण के गुणनफल के बराबर होता है।
det (M) = det (M .)^तो): स्थानांतरित मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है।

सममित मैट्रिक्स

मैट्रिक्स को सममित कहा जाता है, जब मैट्रिक्स ए के किसी भी तत्व के लिए समानता ए_{आईजेयू} = द_जी यह सच है।

इस प्रकार के आव्यूह वर्गाकार आव्यूह होते हैं, अर्थात् पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है।

प्रत्येक सममित मैट्रिक्स निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करता है:

ए = ए^तो

ऑपोजिट मैट्रिक्स

यह महत्वपूर्ण है कि विपरीत मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़्ड के साथ भ्रमित न करें। विपरीत मैट्रिक्स वह है जिसमें पंक्तियों और स्तंभों में समान तत्व होते हैं, हालांकि, विभिन्न संकेतों के साथ। अत: B का विपरीत –B है।