द्विघात कार्य गणना

द्विघात फंक्शन, यह भी कहा जाता है दूसरी डिग्री बहुपद समारोह, निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया गया एक फ़ंक्शन है:

एफ (एक्स) = कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी

कहा पे , ख तथा सी वास्तविक संख्याएं हैं और ≠ 0.

उदाहरण:

एफ (एक्स) = 2x² + 3x + 5,

होना,

ए = 2
बी = 3
सी = 5

इस स्थिति में, द्विघात फलन बहुपद घात 2 का है, क्योंकि यह चर का सबसे बड़ा घातांक है।

द्विघात फलन को कैसे हल करें?

इसकी जाँच पड़ताल करो क्रमशः द्विघात फ़ंक्शन को हल करने के उदाहरण के माध्यम से:

उदाहरण

द्वारा दिए गए द्विघात फलन में a, b और c ज्ञात कीजिए: f (x) = ax² + बीएक्स + सी, जा रहा है:

च (-1) = 8
च (0) = 4
च(2) = 2

सबसे पहले, आइए प्रतिस्थापित करें एक्स प्रत्येक फ़ंक्शन के मूल्यों से और इस प्रकार हमारे पास होगा:

च (-1) = 8
से १)² + बी (-1) + सी = 8
ए - बी + सी = 8 (समीकरण I)

च (0) = 4
द. 0² + ख. 0 + सी = 4
सी = 4 (समीकरण II)

च(2) = 2
द. 2² + ख. 2 + सी = 2
4a + 2b + c = 2 (समीकरण III)

दूसरे फलन f (0) = 4 से, हमारे पास पहले से ही c = 4 का मान है।

तो, आइए प्राप्त मान को के लिए प्रतिस्थापित करें सी अन्य अज्ञातों को निर्धारित करने के लिए समीकरण I और III में ( तथा ख):

(समीकरण I)

ए - बी + 4 = 8
ए - बी = 4
ए = बी + 4

चूँकि हमारे पास. का समीकरण है समीकरण I द्वारा, आइए in का मान निर्धारित करने के लिए III में स्थानापन्न करें ख:

(समीकरण III)

4a + 2b + 4 = 2
4ए + 2बी = - 2
4 (बी + 4) + 2 बी = - 2
4बी + 16 + 2बी = - 2
6बी = - 18
बी = - 3

अंत में का मान ज्ञात करने के लिए हम के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं ख तथा सी जो पहले ही मिल चुके हैं। जल्द ही:

(समीकरण I)

ए - बी + सी = 8
ए - (- 3) + 4 = 8
ए = - 3 + 4
ए = 1

इसलिए, दिए गए द्विघात फलन के गुणांक हैं:

ए = 1
बी = - 3
सी = 4

समारोह की जड़ें

सेकेंड डिग्री फंक्शन के मूल या शून्य x के मानों को इस प्रकार दर्शाते हैं कि f(x) = 0. फ़ंक्शन की जड़ें दूसरी डिग्री समीकरण को हल करके निर्धारित की जाती हैं:

एफ (एक्स) = कुल्हाड़ी² +बीएक्स + सी = 0

द्वितीय डिग्री समीकरण को हल करने के लिए हम कई विधियों का उपयोग कर सकते हैं, जिनमें से एक सबसे अधिक उपयोग किया जाता है भास्कर सूत्र, अर्थात:

उदाहरण

फलन f (x) = x. के शून्यक ज्ञात कीजिए² - 5x + 6.

समाधान:

किया जा रहा है
ए = 1
बी = - 5
सी = 6

इन मूल्यों को भास्कर के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

तो जड़ें 2 और 3 हैं।

ध्यान दें कि द्विघात फलन के मूलों की संख्या व्यंजक द्वारा प्राप्त मान पर निर्भर करेगी: = बी² – 4. ई.पू., जिसे भेदक कहा जाता है।

इस प्रकार,

• अगर Δ > 0, फलन के दो वास्तविक और भिन्न मूल होंगे (x₁ एक्स₂);
• अगर , फलन का वास्तविक मूल नहीं होगा;
• अगर Δ = 0, फलन के दो वास्तविक और समान मूल होंगे (x₁ = एक्स₂).

द्विघात फलन ग्राफ

द्वितीय डिग्री फलन का ग्राफ वक्र होते हैं जिन्हें परवलय कहा जाता है। से अलग पहली डिग्री के कार्यजहाँ दो बिन्दुओं को जानने से आलेख खींचना संभव होता है, द्विघात फलनों में कई बिन्दुओं को जानना आवश्यक होता है।

द्विघात फलन का वक्र x-अक्ष को फलन के मूल या शून्य पर, विवेचक के मान के आधार पर अधिकतम दो बिंदुओं पर काटता है (Δ). तो हमारे पास:

• यदि Δ > 0, तो ग्राफ x अक्ष को दो बिंदुओं पर काटेगा;
• अगर
• यदि = 0, परवलय केवल एक बिंदु पर x अक्ष को स्पर्श करेगा।

एक और बिंदु है, जिसे कहा जाता है परवलय का शीर्ष, जो फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान है। यह बिंदु निम्न सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:

जब परवलय नीचे की ओर और न्यूनतम मान ऊपर की ओर हो तो शीर्ष फलन के अधिकतम मान बिंदु का प्रतिनिधित्व करेगा।

केवल गुणांक के चिह्न का विश्लेषण करके वक्र की अवतलता की स्थिति की पहचान करना संभव है . यदि गुणांक धनात्मक है, तो अवतलता ऊपर की ओर होगी और यदि यह ऋणात्मक है, तो यह नीचे की ओर होगी, अर्थात्:

इसलिए, द्वितीय डिग्री फलन के ग्राफ को स्केच करने के लिए, हम value के मान का विश्लेषण कर सकते हैं , फ़ंक्शन के शून्य, उसके शीर्ष और उस बिंदु की भी गणना करें जहां वक्र y अक्ष को काटता है, अर्थात, जब x = 0।

दिए गए क्रमित युग्मों (x, y) से हम परवलय संख्या की रचना कर सकते हैं कार्तीय विमान, पाए गए बिंदुओं के बीच संबंध के माध्यम से।

फीडबैक के साथ प्रवेश परीक्षा अभ्यास

1. (Vunesp-SP) के सभी संभावित मूल्य म जो 2x असमानता को संतुष्ट करता है² – 20x – 2m > 0, सभी के लिए एक्स रियास के समुच्चय से संबंधित हैं, द्वारा दिए गए हैं:

ए) एम> 10
बी) एम> 25
सी) एम> 30
डी) एम ई) एम

उत्तर देखो

वैकल्पिक बी) एम> 25

2. (ईयू-सीई) द्विघात फलन का ग्राफ f (x) = ax² + bx एक परवलय है जिसका शीर्ष बिंदु (1, - 2) है। सेट x = {(-2, 12), (-1,6), (3,8), (4, 16)} के तत्वों की संख्या जो इस फ़ंक्शन के ग्राफ से संबंधित हैं:

1. तक
बी) 2
ग) 3
घ) 4

उत्तर देखो

वैकल्पिक बी) 2

3. (सीफेट-एसपी) यह जानते हुए कि किसी सिस्टम के समीकरण x हैं। y = ५० और x + y = १५, के लिए संभावित मान एक्स तथा आप वो हैं:

क) {(५.१५), (१०.५)}
बी) {(१०.५), (१०.५)}
ग) {(५.१०), (१५.५)}
घ) {(5.10), (5.10)}
ई) {(5.10), (10.5)}

उत्तर देखो

वैकल्पिक ई) {(5.10), (10.5)}

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