समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमिति अभ्यास ने टिप्पणी की

त्रिकोणमिति गणित में एक महत्वपूर्ण विषय है जो अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के अलावा, साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज में भुजाओं और कोणों को जानना संभव बनाता है।

अपनी पढ़ाई में सुधार करने और अपने ज्ञान का विस्तार करने के लिए, 8 अभ्यासों की सूची का पालन करें, साथ ही 4 प्रवेश परीक्षा के प्रश्न, सभी हल किए गए चरण दर चरण।

अभ्यास 1

सुबह एक इमारत की जमीन पर छाया देखकर एक व्यक्ति ने पाया कि जब सूर्य की किरणें सतह से 30° का कोण बनाती हैं तो उसकी माप 63 मीटर होती है। इस जानकारी के आधार पर, भवन की ऊंचाई की गणना करें।

उत्तर देखो

सही उत्तर: लगभग 36.37 मी.

भवन, छाया और सूर्य की किरण एक समकोण त्रिभुज का निर्धारण करती है। 30° के कोण और स्पर्श रेखा का प्रयोग करके हम भवन की ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं।

चूँकि भवन की ऊँचाई h है, हमारे पास है:

व्यायाम २

3 के व्यास वाली परिधि पर, एक खंड AC, जिसे जीवा कहा जाता है, उसी लंबाई की एक अन्य जीवा CB के साथ 90° का कोण बनाता है। तार का माप क्या है?

उत्तर देखो

सही उत्तर: रस्सी की लंबाई 2.12 सेमी है।

चूंकि खंड AC और CB 90° का कोण बनाते हैं और समान लंबाई के होते हैं, इसलिए बनने वाला त्रिभुज समद्विबाहु है और आधार कोण बराबर हैं।

चूँकि एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° के बराबर होता है और हमारे पास पहले से ही 90° का कोण होता है, इसलिए दो आधार कोणों के बीच समान रूप से विभाजित होने के लिए एक और 90° शेष रहता है। इस प्रकार, इनका मान प्रत्येक 45º के बराबर है।

चूंकि व्यास 3 सेमी के बराबर है, त्रिज्या 1.5 सेमी है और हम स्ट्रिंग की लंबाई निर्धारित करने के लिए 45 डिग्री के कोसाइन का उपयोग कर सकते हैं।

व्यायाम 3

चैंपियनशिप में भाग लेने वाला एक साइकिल चालक ढलान के शीर्ष पर फिनिश लाइन के पास पहुंचता है। दौड़ के इस अंतिम भाग की कुल लंबाई 60 मीटर है और रैंप और क्षैतिज के बीच का कोण 30° है। यह जानने के बाद, साइकिल चालक को चढ़ाई करने के लिए आवश्यक ऊर्ध्वाधर ऊंचाई की गणना करें।

उत्तर देखो

सही उत्तर: ऊंचाई 30 मीटर होगी।

ऊँचाई h को कॉल करते हुए, हमारे पास है:

व्यायाम 4

निम्नलिखित आकृति तीन त्रिभुजों से बनी है जहाँ ऊँचाई h दो समकोण निर्धारित करती है। तत्व मान हैं:

α = 30°
β = 60°
एच = 21

a+b का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर देखो

सही उत्तर:

हम दिए गए कोणों की स्पर्शरेखाओं का उपयोग करके खंड a और b की माप निर्धारित कर सकते हैं।

ए की गणना:

बी की गणना:

इस प्रकार,

व्यायाम 5

एक विमान ने शहर A से उड़ान भरी और 50 किमी एक सीधी रेखा में उड़ान भरी जब तक कि वह शहर B में नहीं उतरा। बाद में, इसने एक और 40 किमी की उड़ान भरी, इस बार शहर डी की ओर बढ़ रहा है। ये दोनों मार्ग एक दूसरे से 90° के कोण पर हैं। हालांकि, प्रतिकूल मौसम की स्थिति के कारण, पायलट को नियंत्रण टावर से एक संचार प्राप्त हुआ जिसमें उसे सूचित किया गया कि वह शहर डी में नहीं उतर सकता है और उसे शहर ए में वापस जाना चाहिए।

बिंदु C से U-टर्न लेने के लिए, पायलट को दाहिनी ओर कितने डिग्री का चक्कर लगाना होगा?

विचार करें:

पाप 51° = 0.77
cos 51° = 0.63
तन 51° = 1.25

उत्तर देखो

सही उत्तर: पायलट को दाईं ओर 129° मुड़ना चाहिए।

आकृति का विश्लेषण करने पर, हम देखते हैं कि पथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है।

आइए उस कोण को कॉल करें जिसे हम W ढूंढ रहे हैं। कोण W और Z संपूरक हैं, अर्थात वे 180° का छिछला कोण बनाते हैं।

अत: W + Z = 180°।

डब्ल्यू = 180 - जेड (समीकरण 1)

हमारा काम अब Z कोण निर्धारित करना है और इसके लिए हम इसकी स्पर्शरेखा का उपयोग करने जा रहे हैं।

हमें स्वयं से पूछना चाहिए: वह कोण क्या है जिसकी स्पर्श रेखा 1.25 है?

समस्या हमें यह डेटा देती है, tan 51° = 1.25।

यह मान एक त्रिकोणमितीय तालिका में या फ़ंक्शन का उपयोग करके वैज्ञानिक कैलकुलेटर के साथ भी पाया जा सकता है:

समीकरण 1 में Z के मान को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

डब्ल्यू = 180° - 51° = 129°

व्यायाम 6

एकवर्णी प्रकाश की किरण जब एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है तो उसकी ओर विचलन होता है। इसके प्रसार में यह परिवर्तन मीडिया के अपवर्तन सूचकांकों से संबंधित है, जैसा कि निम्नलिखित संबंध में दिखाया गया है:

स्नेल का नियम - डेसकार्टेस

जहाँ i और r आपतन और अपवर्तन कोण हैं और, n1 और n2, माध्य 1 और 2 के अपवर्तनांक हैं।

हवा और कांच के बीच अलगाव की सतह से टकराने पर, प्रकाश की किरण अपनी दिशा बदल देती है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। कांच का अपवर्तनांक कितना होता है?

डेटा: वायु अपवर्तन सूचकांक 1 के बराबर।

उत्तर देखो

सही उत्तर: कांच का अपवर्तनांक बराबर होता है .

हमारे पास मौजूद मूल्यों को बदलना:

व्यायाम 7

एक लकड़ी के लट्ठे को अपनी वर्कशॉप में खींचने के लिए, एक ताला बनाने वाले ने लट्ठे से एक रस्सी बाँधी और उसे एक क्षैतिज सतह पर दस फीट की दूरी पर खींच लिया। स्ट्रिंग के माध्यम से 40 N के बल ने यात्रा की दिशा के साथ 45° का कोण बनाया। लागू बल के कार्य की गणना करें।

उत्तर देखो

सही उत्तर: किया गया कार्य लगभग 84.85 J है।

कार्य बल और विस्थापन के गुणनफल द्वारा प्राप्त एक अदिश राशि है। यदि बल की दिशा विस्थापन के समान नहीं है, तो हमें इस बल को विघटित करना चाहिए और इस दिशा में केवल घटक पर विचार करना चाहिए।

इस मामले में, हमें बल के परिमाण को कोण की कोज्या से गुणा करना चाहिए।

तो हमारे पास:

व्यायाम 8

दो पहाड़ों के बीच, दो गांवों के निवासियों को ऊपर और नीचे कठिन रास्ता तय करना पड़ता था। स्थिति को हल करने के लिए, यह निर्णय लिया गया कि गांवों ए और बी के बीच एक केबल-स्टे ब्रिज बनाया जाएगा।

दो गांवों के बीच की दूरी की गणना उस सीधी रेखा से करना आवश्यक होगा जिस पर पुल फैलाया जाएगा। जैसा कि निवासियों को पहले से ही शहरों की ऊंचाई और चढ़ाई के कोणों का पता था, इस दूरी की गणना की जा सकती है।

नीचे दिए गए आरेख के आधार पर और यह जानकर कि शहरों की ऊंचाई 100 मीटर थी, पुल की लंबाई की गणना करें।

उत्तर देखो

सही उत्तर: पुल की लंबाई लगभग 157.73 मीटर होनी चाहिए।

पुल की लंबाई दिए गए कोणों से सटे पक्षों का योग है। ऊँचाई h को कॉल करते हुए, हमारे पास है:

45° के कोण से परिकलन

60°. के कोण से परिकलन

पुल की लंबाई निर्धारित करने के लिए, हम प्राप्त मूल्यों को जोड़ते हैं।

प्रश्न 1

Cefet - SP

नीचे दिए गए त्रिभुज ABC में, CF = 20 सेमी और BC = 60 सेमी। क्रमशः AF और BE खंडों के मापों को चिह्नित करें।

ए) 5, 15
बी) 10, 20
सी) 15, 25
घ) 20, 10
ई) 10, 5

उत्तर देखो

उत्तर: बी) 10, 20

AF. निर्धारित करने के लिए

हम ध्यान दें कि AC = AF + CF, इसलिए हमें यह करना होगा:

एएफ = एसी - सीएफ (समीकरण 1)

CF, 20 cm के बराबर होने वाले प्रश्न द्वारा दिया जाता है।

एसी को 30 डिग्री साइन का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

बीसी 60 सेमी के बराबर होने के कारण समस्या द्वारा प्रदान किया जाता है।

समीकरण 1 में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

बीई determine निर्धारित करने के लिए

पहला अवलोकन:

आकृति में निर्धारित समकोण के कारण हम सत्यापित करते हैं कि त्रिभुज के अंदर की आकृति एक आयत है।

इसलिए, उनके पक्ष समानांतर हैं।

दूसरा अवलोकन:

BE खंड 30° के कोण के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ: ऊँचाई AF के बराबर होती है, जिसे हमने अभी-अभी निर्धारित किया है, और BE कर्ण है।

गणना करना:

हम BE. ज्ञात करने के लिए 30° ज्या का प्रयोग करते हैं

प्रश्न 2

ईपीसीएआर-एमजी

एक हवाई जहाज बिंदु B से क्षैतिज रूप से 15° के निरंतर झुकाव के तहत उड़ान भरता है। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, B से 2 किमी, 600 मीटर ऊंची पर्वत श्रृंखला के उच्चतम बिंदु D का ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण C है।

डेटा: cos 15° = 0.97; पाप १५° = ०.२६; टीजी 15° = 0.27

यह कहना सही है कि:

a) ५४० मीटर ऊंचाई तक पहुंचने से पहले विमान आरी से नहीं टकराएगा।
b) ५४० मीटर की ऊंचाई पर विमान और आरी के बीच टक्कर होगी।
ग) विमान डी में आरी से टकराएगा।
d) यदि विमान समान झुकाव को बनाए रखते हुए B से 220 मीटर पहले उड़ान भरता है, तो विमान की आरी से कोई टक्कर नहीं होगी।

उत्तर देखो

उत्तर: ख) ५४० मीटर की ऊंचाई पर विमान और आरी के बीच टक्कर होगी।

सबसे पहले, लंबाई माप इकाई के समान गुणक का उपयोग करना आवश्यक है। इसलिए, हम 2 किमी से 2000 मीटर तक जाएंगे।

उसी प्रारंभिक उड़ान स्थितियों के बाद, हम उस ऊंचाई की भविष्यवाणी कर सकते हैं जिस पर विमान बिंदु सी के लंबवत प्रक्षेपण में होगा।

15° स्पर्शरेखा का उपयोग करते हुए और ऊँचाई को h के रूप में परिभाषित करते हुए, हमारे पास है:

प्रश्न 3

ENEM 2018

एक सीधे गोलाकार बेलन को सजाने के लिए, पारदर्शी कागज की एक आयताकार पट्टी का उपयोग किया जाएगा, जिस पर एक विकर्ण जो निचले किनारे से 30° बनता है, बोल्ड में खींचा जाता है। सिलेंडर के आधार की त्रिज्या 6/π सेमी मापती है, और पट्टी को घुमाते समय, एक हेलिक्स के आकार की एक रेखा प्राप्त होती है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

बेलन की ऊँचाई मापने का मान सेंटीमीटर में है:

क) 36√3
बी) 24√3
ग) 4√3
घ) 36
ई) 72

उत्तर देखो

उत्तर: बी) 24√3

आकृति को देखने पर हम देखते हैं कि सिलेंडर के चारों ओर 6 मोड़ बने थे। चूँकि यह एक सीधा बेलन है, इसकी ऊँचाई में कहीं भी आधार के रूप में एक वृत्त होगा।

त्रिभुज के आधार के माप की गणना करने के लिए।

एक वृत्त की लंबाई सूत्र द्वारा प्राप्त की जा सकती है:

जहाँ r त्रिज्या e है, बराबर ,अपने पास:

6 गोद कैसे हैं:

हम ऊंचाई की गणना के लिए 30° टैन का उपयोग कर सकते हैं।

प्रश्न 4

ENEM 2017

सूर्य के प्रकाश की किरणें झील की सतह के साथ X कोण पर एक झील की सतह तक पहुँच रही हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

कुछ शर्तों के तहत, यह माना जा सकता है कि झील की सतह पर इन किरणों की चमकदार तीव्रता लगभग I(x) = k द्वारा दी गई है। sin (x), k एक नियतांक है, और यह मानते हुए कि X 0° और 90° के बीच है।

जब x = 30º, दीप्त तीव्रता उसके अधिकतम मान के कितने प्रतिशत तक कम हो जाती है?

ए) ३३%
बी) 50%
सी) 57%
डी) 70%
ई) ८६%

उत्तर देखो

उत्तर: बी) 50%

फ़ंक्शन में 30° साइन मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

k के मान को आधे से कम करने पर तीव्रता 50% हो जाती है।

इसमें और अभ्यास करें:

त्रिकोणमिति व्यायाम

इसके साथ अपने ज्ञान का विस्तार करें:

समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमिति

आयत त्रिभुज में मीट्रिक संबंध

त्रिकोणमिति