गणित में, सेट विभिन्न वस्तुओं के संग्रह का प्रतिनिधित्व करते हैं और सेट के साथ किए गए संचालन हैं: संघ, प्रतिच्छेदन और अंतर।
अपने ज्ञान का परीक्षण करने के लिए नीचे दिए गए 10 प्रश्नों का प्रयोग करें। अपनी शंकाओं को दूर करने के लिए टिप्पणी किए गए प्रस्तावों का उपयोग करें।
प्रश्न 1
सेट पर विचार करें
ए = {1, 4, 7}
बी = {1, 3, 4, 5, 7, 8}
यह कहना सही है कि:
ए) ए ख
बी) थे ख
ग) बी
घ) बी
सही विकल्प: b) A बी
गलती। B के ऐसे अवयव हैं जो समुच्चय A से संबंधित नहीं हैं। इसलिए, हम यह नहीं कह सकते कि A में B है। सही कथन होगा B द.
बी) सही। ध्यान दें कि A के सभी अवयव भी B के अवयव हैं। इसलिए, हम कह सकते हैं कि A, B में निहित है, A, B का भाग है, या कि A, B का एक उपसमुच्चय है।
ग) गलत। A का ऐसा कोई अवयव नहीं है जो समुच्चय B से संबंधित न हो। इसलिए, हम यह नहीं कह सकते कि B में A नहीं है।
घ) गलत। चूँकि A, B का उपसमुच्चय है, तो समुच्चय A और B का प्रतिच्छेदन समुच्चय A ही है: B ए = ए
प्रश्न 2
निम्नलिखित सेटों को देखें और सही विकल्प को चिह्नित करें।
A = {x|x, 4 का धनात्मक गुणज है}
B = {x|x एक सम संख्या है और 4 एक्स
16}
ए) 145
बी) 26 ए और बी
ग) 11 ख
घ) 12 ए और बी
सही विकल्प: डी) 12 ए और बी
प्रश्नों के सेट उनके गठन कानूनों द्वारा दर्शाए जाते हैं। इस प्रकार, समुच्चय A, 4 के धनात्मक गुणजों से बनता है, अर्थात् A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,…}. इसलिए, बी = {4, 6, 8, 10, 12, 14}।
विकल्पों का विश्लेषण करते हुए, हमारे पास है:
गलती। 145 एक संख्या है जिसके अंत में 5 है और इसलिए यह 5 का गुणज है।
बी) गलत। 26, एक सम संख्या होने के बावजूद, 16 से अधिक है और इसलिए, समुच्चय B का भाग नहीं है।
ग) गलत। 11 एक सम संख्या नहीं है, बल्कि एक अभाज्य संख्या है, अर्थात यह केवल 1 और स्वयं से विभाज्य है।
डी) सही। 12 समुच्चय A और B से संबंधित है क्योंकि यह 4 का गुणज है और 4 से बड़ी और 16 से कम एक सम संख्या है।
प्रश्न 3
समुच्चय A = {2, 3, 5, 7, 11} के बनने का संभावित नियम क्या है?
a) A = {x|x एक सममित संख्या है और 2 b) A = {x|x एक अभाज्य संख्या है और 1 c) A = {x|x एक धनात्मक विषम संख्या है और 1 d) A = {x| x एक प्राकृत संख्या है जो 10 से कम है}
सही विकल्प: b) A = {x|x एक अभाज्य संख्या है और 1
गलती। सममित संख्याएँ, जिन्हें विपरीत भी कहा जाता है, संख्या रेखा पर समान दूरी पर दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए, 2 और - 2 सममित हैं।
बी) सही। प्रस्तुत समुच्चय अभाज्य संख्याओं का है, जिसमें 2 सबसे छोटी विद्यमान अभाज्य संख्या है और एकमात्र सम संख्या भी है।
ग) गलत। हालाँकि अधिकांश संख्याएँ विषम हैं, लेकिन समुच्चय में संख्या 2 है, जो सम है।
घ) गलत। हालांकि सभी संख्याएं प्राकृतिक हैं, सेट में संख्या 11 है, जो 10 से अधिक है।
प्रश्न 4
समुच्चय A का मिलन = {x|x एक अभाज्य संख्या है और 1
ए) ए बी = {1,2,3,5.7}
बी) थे बी = {1,2,3,5.7}
ग) बी = {1,2,3,5.7}
देता है बी = {1,2,3,5.7}
सही विकल्प: डी) ए बी = {1, 2, 3, 5, 7}
समुच्चय के लिए A = {x|x एक अभाज्य संख्या है और 1
ए = {2, 3, 5, 7}
बी = {1, 3, 5, 7}
गलती। ए में बी नहीं है, क्योंकि तत्व 1 ए का हिस्सा नहीं है।
बी) गलत। A, B में शामिल नहीं है, क्योंकि तत्व 2 B का हिस्सा नहीं है।
ग) गलत। A, B से संबंधित नहीं है, क्योंकि समुच्चय में एक विशिष्ट तत्व होता है।
डी) सही। समुच्चयों का संघ उन तत्वों के जुड़ने से मेल खाता है जो उन्हें बनाते हैं और प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है .
अत: A = {2, 3, 5, 7} और B = {1, 3, 5, 7} का मिलन A U B = {1, 2, 3, 5, 7} है।
प्रश्न 5
समुच्चय A = {-3, - 1, 0, 1, 6, 7}, B = {-4, 1, 3, 5, 6, 7} और C = {-5, - 3, 1, 2, 3, 5} वेन आरेख में और फिर निर्धारित करें:
ए) ए ख
बी) सी ख
सी) सी - ए
घ) बी (द
सी)
सही उत्तर:
क) {1, 6, 7};
बी) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
ग) {-5, 2, 3, 5} और
घ) {1, 3, 5, 6, 7}।
वेन आरेख में सेट के तत्वों को वितरित करते हुए, हमारे पास है:
दिए गए सेट के साथ संचालन करते समय, हमारे पास निम्नलिखित परिणाम होते हैं:
ए) ए बी = {1, 6, 7}
बी) सी बी = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}
सी) सी - ए = {-5, 2, 3, 5}
घ) बी (द
सी) = {1, 3, 5, 6, 7}
प्रश्न 6
आकृति के रचे हुए क्षेत्र को नोट करें और उस विकल्प को चिह्नित करें जो इसका प्रतिनिधित्व करता है।
एसी (द
बी)
बी) सी - (ए बी)
सी) सी (ए - बी)
घ) सी (द
बी)
सही उत्तर: बी) सी – (ए .) बी)
ध्यान दें कि रचा हुआ क्षेत्र उन तत्वों का प्रतिनिधित्व करता है जो सेट ए और बी से संबंधित नहीं हैं। इसलिए, यह सेट के बीच का अंतर है, जिसे हम (-) से दर्शाते हैं।
चूंकि समुच्चय ए और बी का रंग समान है, हम कह सकते हैं कि समुच्चयों के मिलन का प्रतिनिधित्व है, अर्थात ए और बी के तत्वों का संयोजन, ए द्वारा दर्शाया गया है बी
इसलिए, हम कह सकते हैं कि रचा हुआ क्षेत्र ए और बी के मिलन से सी का अंतर है, यानी सी - (ए) बी)।
प्रश्न 7
एक पूर्व-विश्वविद्यालय पाठ्यक्रम में पृथक विषयों में 600 छात्र नामांकित हैं। ३०० छात्र गणित पढ़ते हैं, २०० छात्र पुर्तगाली कक्षाओं में जाते हैं और १५० छात्र इन विषयों में भाग नहीं लेते हैं।
पाठ्यक्रम (यू) में नामांकित छात्रों, गणित (एम) लेने वाले छात्रों और पुर्तगाली (पी) लेने वाले छात्रों को ध्यान में रखते हुए, निर्धारित करें:
a) गणित या पुर्तगाली छात्रों की संख्या
b) गणित और पुर्तगाली छात्रों की संख्या
सही उत्तर:
ए एन एम पी) = 450
बी) एन (एम पी) = 50
ए) अनुरोध किए गए छात्रों की संख्या में गणित और पुर्तगाली दोनों छात्र शामिल हैं। इसलिए, हमें दो सेटों के मिलन को खोजना होगा।
परिणाम की गणना स्कूल में छात्रों की कुल संख्या को इन विषयों को नहीं लेने वाले छात्रों की संख्या से घटाकर की जा सकती है।
एन (एम पी) = एन (यू) - 150 = 600 - 150 = 450 -
बी) चूंकि अनुरोधित परिणाम गणित और पुर्तगाली का अध्ययन करने वाले छात्रों से है, हमें सेटों के प्रतिच्छेदन का पता लगाना है, यानी दोनों सेटों के लिए सामान्य तत्व।
हम के विषयों में नामांकित छात्रों की संख्या को जोड़कर दो सेटों के प्रतिच्छेदन की गणना कर सकते हैं पुर्तगाली और गणित और फिर इन दोनों विषयों को एक साथ पढ़ने वाले छात्रों की संख्या घटाना समय।
एन (एम पी) = एन (एम) + एन (पी) - एन (एम
पी) = ३०० + २०० - ४५० = ५०
प्रश्न 8
संख्यात्मक सेट में निम्नलिखित सेट शामिल हैं: प्राकृतिक (ℕ), पूर्णांक (ℤ), परिमेय (ℚ), अपरिमेय (I), वास्तविक (ℝ) और परिसर ()। उपरोक्त सेटों पर, उन परिभाषाओं को चिह्नित करें जो उनमें से प्रत्येक से मेल खाती हैं।
1. प्राकृतिक संख्या |
( ) पूर्णांक अंश और हर के साथ उन सभी संख्याओं को शामिल करता है जिन्हें भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। |
| 2. पूर्णांकों | ( ) परिमेय के साथ परिमेय के मिलन से मेल खाती है। |
| 3. परिमेय संख्या | ( ) दशमलव, अनंत और गैर-आवधिक संख्याएँ हैं और इन्हें इरेड्यूसेबल भिन्नों द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। |
| 4. अपरिमेय संख्या | ( ) हमारे द्वारा उपयोग की जाने वाली संख्याओं से बनता है {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...} |
| 5. वास्तविक संख्याये | ( ) प्रकार -n की जड़ें शामिल हैं। |
| 6. जटिल आंकड़े | ( ) प्राकृत संख्याओं के सभी तत्वों और उनके विपरीत को एकत्रित करता है। |
सही उत्तर: ३, ५, ४, १, ६, २.
(३) परिमेय संख्या पूर्णांक अंश और हर के साथ उन सभी संख्याओं को कवर करें जिन्हें भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। इस सेट में गैर-सटीक विभाजन शामिल हैं। = {x = a/b, a, b ∈ और b 0} के साथ
(५) वास्तविक संख्याये परिमेय के साथ परिमेय के मिलन के अनुरूप है, अर्थात = ∪ I.
(४) अपरिमेय संख्या वे दशमलव, अनंत और गैर-आवधिक संख्याएं हैं और इन्हें इरेड्यूसबल भिन्नों द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। इस समूह में संख्याएँ संक्रियाओं के परिणामस्वरूप होती हैं, जिसके परिणाम को भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए २.
(१) प्राकृतिक संख्या हम = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...} की गणना में उपयोग की जाने वाली संख्याओं से बनते हैं।
(६) जटिल आंकड़े -n प्रकार के मूल शामिल करें और इसलिए वास्तविक संख्याओं का विस्तार है।
(२) पूर्ण संख्या प्राकृत संख्याओं के सभी तत्वों और उनके विपरीत तत्वों को एक साथ लाना। सभी घटाव को हल करने में सक्षम होने के लिए, जैसे कि 7 - 10, नेचुरल के सेट को बढ़ाया गया था, इस प्रकार पूर्णांकों का सेट दिखाई दे रहा था। ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}
प्रश्न 9
(यूएनबी-अनुकूलित) टेलीविज़न पर रेसिंग चैंपियनशिप देखने में उनकी प्राथमिकताओं के बारे में सर्वेक्षण किए गए 200 लोगों से, निम्नलिखित डेटा एकत्र किए गए थे:
- उत्तरदाताओं में से 55 नहीं देखते हैं;
- 101 फॉर्मूला 1 रेस देखें;
- 27 फॉर्मूला 1 और मोटरबाइक दौड़ देखें;
कितने लोगों ने घड़ी, विशेष रूप से, मोटरबाइक दौड़ का साक्षात्कार किया?
क) 32
बी) 44
ग) 56
घ) 28
सही उत्तर: बी) 44.
चरण 1: दौड़ देखने वाले लोगों की कुल संख्या निर्धारित करें
उसके लिए, हमें केवल उन उत्तरदाताओं की कुल संख्या को घटाना होगा जिन्होंने रेसिंग चैंपियनशिप में भाग नहीं लेने की घोषणा की थी।
200 - 55 = 145 लोग
दूसरा चरण: उन लोगों की संख्या की गणना करें जो केवल मोटरबाइक दौड़ देखते हैं
74 + 27 + (x - 27) = 145
एक्स + 74 = 145
एक्स = 145 - 74
एक्स = 71
दो सेटों के प्रतिच्छेदन से x के मान को घटाकर, हम उन उत्तरदाताओं की संख्या पाते हैं जो केवल मोटरसाइकिल गति दौड़ देखते हैं।
71 - 27 = 44
प्रश्न 10
(यूईएल-पीआर) एक निश्चित समय में, तीन टीवी चैनलों ने अपने प्रोग्रामिंग में, अपने प्राइम टाइम में सोप ओपेरा: चैनल ए पर सोप ओपेरा ए, चैनल बी पर सोप ओपेरा बी और चैनल सी पर साबुन ओपेरा सी। 3000 लोगों के एक सर्वे में पूछा गया कि उन्हें कौन से सोप ओपेरा पसंद हैं। नीचे दी गई तालिका उन दर्शकों की संख्या दर्शाती है जिन्होंने सोप ओपेरा को मनोरंजक के रूप में नामित किया।
| धारावाहिकों | दर्शकों की संख्या |
| 1450 | |
| ख | 1150 |
| सी | 900 |
| ए और बी | 350 |
| ए और सी | 400 |
| बी और सी | 300 |
| ए, बी और सी | 100 |
कितने साक्षात्कार दर्शकों को तीन सोप ओपेरा में से कोई भी सुखद नहीं लगा?
ए) 300 दर्शक।
बी) 370 दर्शक।
ग) 450 दर्शक।
डी) 470 दर्शक।
ई) 500 दर्शक।
सही उत्तर: c) 450 दर्शक।
ऐसे 450 दर्शक हैं जिन्हें तीन टेलीनोवेल्स में से कोई भी सुखद नहीं लगता।
निम्नलिखित ग्रंथों से परामर्श करके अधिक जानकारी प्राप्त करें:
- समुच्चय सिद्धान्त
- सेट के साथ संचालन
- संख्यात्मक सेट
- संख्यात्मक सेटों पर अभ्यास
