जटिल संख्याएं हैं एक वास्तविक और एक काल्पनिक भाग से बनी संख्याएँ.
वे सभी क्रमित युग्मों (x, y) के समुच्चय को निरूपित करते हैं, जिनके अवयव वास्तविक संख्याओं (R) के समुच्चय से संबंधित हैं।
सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को द्वारा दर्शाया गया है सी और संचालन द्वारा परिभाषित:
- समानता: (ए, बी) = (सी, डी) ए = सी और बी = डी
- इसके अलावा: (ए, बी) + (सी, डी) = (ए + बी + सी + डी)
- गुणा: (ए, बी)। (सी, डी) = (एसी - बीडी, विज्ञापन + बीसी)
काल्पनिक इकाई (i)
पत्र द्वारा संकेतित मैं, काल्पनिक इकाई क्रमित युग्म (0, 1) है। जल्द ही:
मैं। मैं = -1 मैं2 = –1
इस प्रकार, मैं -1 का वर्गमूल है।
Z. का बीजीय रूप
Z का बीजगणितीय रूप सूत्र का उपयोग करके एक जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है:
जेड = एक्स + वाई
कहा पे:
- एक्स x = Re (Z) द्वारा इंगित एक वास्तविक संख्या है, जिसे कहा जा रहा है z. का असली हिस्सा.
- आप y = Im(Z) द्वारा इंगित एक वास्तविक संख्या है, जिसे कहा जा रहा है Z. का काल्पनिक हिस्सा.
जटिल संख्या संयुग्म
एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म किसके द्वारा दर्शाया जाता है? जेड, द्वारा परिभाषित जेड = ए - द्वि. इस प्रकार, इसके काल्पनिक भाग के चिन्ह का आदान-प्रदान होता है।
अतः यदि z = a + bi, तो z = a – bi
जब हम किसी सम्मिश्र संख्या को उसके संयुग्म से गुणा करते हैं, तो परिणाम एक वास्तविक संख्या होगी।
जटिल संख्याओं के बीच समानता
दो सम्मिश्र संख्या होने के नाते Z1 = (ए, बी) और जेड2 = (सी, डी), वे बराबर हैं जब ए = सी और बी = डी। ऐसा इसलिए है क्योंकि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हैं। इस प्रकार:
ए + द्वि = सी + डीआई कब ए = सी और बी = डी
जटिल संख्याओं के साथ संचालन
सम्मिश्र संख्याओं के साथ जोड़, घटाव, गुणा और भाग संचालन करना संभव है। नीचे दी गई परिभाषाओं और उदाहरणों की जाँच करें:
इसके अलावा
जेड1 + ज़ू2 = (ए + सी, बी + डी)
बीजीय रूप में, हमारे पास है:
(ए + द्वि) + (सी + डी) = (ए + सी) + आई (बी + डी)
उदाहरण:
(2 +3i) + (-4 + 5i)
(2 - 4) + मैं (3 + 5)
-2 + 8i
घटाव
जेड1 - ज़ू2 = (ए - सी, बी - डी)
बीजीय रूप में, हमारे पास है:
(ए + द्वि) - (सी + डी) = (ए - सी) + आई (बी - डी)
उदाहरण:
(4 - 5i) - (2 + i)
(४ - २) + मैं (-5 -१)
2 - 6i
गुणा
(ए, बी)। (सी, डी) = (एसी - बीडी, विज्ञापन + बीसी)
बीजीय रूप में, हम वितरण गुण का उपयोग करते हैं:
(ए + द्वि)। (सी + डी) = एसी + आदि + बीसीआई + बीडीआई2 (मैं2 = –1)
(ए + द्वि)। (सी + डी) = एसी + आदि + बीसीआई - बीडी
(ए + द्वि)। (सी + डी) = (एसी - बीडी) + आई (विज्ञापन + बीसी)
उदाहरण:
(4 + 3i)। (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i2
8 - 14i + 15
23 - 14i
विभाजन
जेड1/Z2 = Z3
जेड1 = Z2. जेड3
उपरोक्त समानता में, यदि Z3 = x + yi, हमारे पास है:
जेड1 = Z2. जेड3
ए + द्वि = (सी + डी)। (एक्स + वाई)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)
अज्ञात x और y की प्रणाली से हमारे पास है:
सीएक्स - डाई = ए
डीएक्स + साइ = बी
जल्द ही,
एक्स = एसी + बीडी/सी2 + डी2
वाई = बीसी - विज्ञापन/सी2 + डी2
उदाहरण:
2 - 5i/i
2 - 5i/. (- i)/ (- i)
-2i +5i2/–i2
5 - 2i
फीडबैक के साथ प्रवेश परीक्षा अभ्यास
1. (यूएफ-टू) विचार करें मैं सम्मिश्र संख्याओं की काल्पनिक इकाई। व्यंजक का मान (i + 1)8 é:
क) 32i
बी) 32
सी) 16
घ) 16i
वैकल्पिक सी: 16
2. (UEL-PR) सम्मिश्र संख्या z जो समीकरण iz - 2w (1 + i) = 0 (वू z के संयुग्म को इंगित करता है) है:
ए) जेड = 1 + आई
बी) जेड = (1/3) - आई
सी) जेड = (1 - मैं)/3
डी) जेड = 1 + (आई / 3)
ई) जेड = 1 - आई
वैकल्पिक ई: z = 1 - i
3. (Vunesp-SP) सम्मिश्र संख्या z = cos /6 + i sin π/6 पर विचार करें। z. का मान3 + ज़ू6 + ज़ू12 é:
क्या आप वहां मौजूद हैं
बी) ½ +√3/2i
सी) मैं - 2
घ) मैं
ई) 2i
वैकल्पिक डी: मैं
टिप्पणी किए गए समाधान के साथ और अधिक प्रश्न देखें जटिल संख्याओं पर अभ्यास.
वीडियो सबक
सम्मिश्र संख्याओं के बारे में अपने ज्ञान का विस्तार करने के लिए, वीडियो देखें "जटिल संख्याओं का परिचय"
सम्मिश्र संख्याओं का इतिहास
जटिल संख्याओं की खोज 16वीं शताब्दी में गणितज्ञ गिरोलामो कार्डानो (1501-1576) के योगदान की बदौलत की गई थी।
हालांकि, यह 18 वीं शताब्दी तक नहीं था कि इन अध्ययनों को गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था।
यह गणित में एक बड़ा कदम था, क्योंकि एक ऋणात्मक संख्या का एक वर्गमूल होता है, जिसे जटिल संख्याओं की खोज तक असंभव माना जाता था।
अधिक जानने के लिए, यह भी देखें
- संख्यात्मक सेट
- बहुपदों
- अपरिमेय संख्या
- पहली डिग्री समीकरण
- क्षमता और विकिरण
