समतल आंकड़े क्षेत्र: हल और टिप्पणी किए गए अभ्यास

समतल आकृति क्षेत्र विमान में आकृति के विस्तार की सीमा का प्रतिनिधित्व करता है। समतल आकृतियों के रूप में, हम त्रिभुज, आयत, समचतुर्भुज, समलंब, वृत्त, आदि का उल्लेख कर सकते हैं।

ज्यामिति के इस महत्वपूर्ण विषय के बारे में अपने ज्ञान की जांच करने के लिए नीचे दिए गए प्रश्नों का उपयोग करें।

प्रतियोगिता के मुद्दों का समाधान

प्रश्न 1

(सीफेट/एमजी - २०१६) एक साइट के वर्ग क्षेत्र को चार बराबर भागों में विभाजित किया जाना चाहिए, वर्ग भी, और, उनमें से एक में, एक देशी वन आरक्षित (हैचेड क्षेत्र) को बनाए रखा जाना चाहिए, जैसा कि चित्र a figure में दिखाया गया है का पालन करें।

यह जानते हुए कि बी खंड एई का मध्य बिंदु है और सी खंड ईएफ का मध्य बिंदु है, रचा हुआ क्षेत्र, मीटर में², मुझे दो

ए) 625.0।
बी) 925.5।
ग) 1562.5।
घ) 2500.0।

उत्तर देखो

सही विकल्प: ग) 1562.5।

आकृति को देखते हुए, हम देखते हैं कि रचा हुआ क्षेत्र वर्ग के क्षेत्रफल से मेल खाता है जिसमें त्रिभुज बीईसी और सीएफडी का क्षेत्रफल 50 मीटर घटा है।

त्रिभुज BEC की भुजा BE का माप 25 मीटर के बराबर है, क्योंकि बिंदु B भुजा को दो सर्वांगसम खंडों (खंड का मध्य बिंदु) में विभाजित करता है।

ऐसा ही पक्षों EC और CF के साथ होता है, अर्थात उनकी माप भी 25 मीटर के बराबर होती है, क्योंकि बिंदु C खंड EF का मध्यबिंदु है।

इस प्रकार, हम त्रिभुज BEC और CFD के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। आधार के रूप में जानी जाने वाली दो भुजाओं को ध्यान में रखते हुए, दूसरी भुजा ऊँचाई के बराबर होगी, क्योंकि त्रिभुज आयत होते हैं।

वर्ग और त्रिभुज BEC और CFD के क्षेत्रफल की गणना करते हुए, हमारे पास है:

इसलिए, रचा हुआ क्षेत्र, मी. में², उपाय 1562.5।

प्रश्न 2

(सीफेट/आरजे - 2017) x भुजा वाले वर्ग और y भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल समान होते हैं। इस प्रकार, यह कहा जा सकता है कि x/y अनुपात बराबर है:

उत्तर देखो

सही विकल्प: .

समस्या में दी गई जानकारी यह है कि क्षेत्र समान हैं, अर्थात्:

त्रिभुज का क्षेत्रफल ऊंचाई माप से आधार माप को गुणा करके और परिणाम को 2 से विभाजित करके पाया जाता है। चूँकि त्रिभुज समबाहु है और भुजा y के बराबर है, इसलिए इसकी ऊँचाई का मान निम्न द्वारा दिया गया है:

इसलिए, यह कहा जा सकता है कि x/y अनुपात बराबर है .

प्रश्न 3

(आईएफएसपी - 2016) वृत्त के आकार में एक सार्वजनिक वर्ग की त्रिज्या 18 मीटर है। उपरोक्त के आलोक में, उस विकल्प को चिह्नित करें जो आपके क्षेत्र को प्रस्तुत करता है।

क) 1,017.36 वर्ग मीटर²
ख) 1,254.98 वर्ग मीटर²
ग) 1,589.77 वर्ग मीटर²
घ) 1,698.44 वर्ग मीटर²
ई) 1,710.34 वर्ग मीटर²

उत्तर देखो

सही विकल्प: a) 1 017, 36 m².

वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें वृत्त के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

ए = π.R²

त्रिज्या मान को प्रतिस्थापित करने और and = 3.14 पर विचार करने पर, हम पाते हैं:

ए = 3.14। 18² = 3,14. ३२४ = १ ०१७, ३६ वर्ग मीटर²

इसलिए, वर्ग का क्षेत्रफल 1 017, 36 वर्ग मीटर है².

प्रश्न 4

(IFRS - 2016) एक आयत में x और y आयाम होते हैं, जो x समीकरणों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं² = 12 और (वाई -1)² = 3.

इस आयत का परिमाप और क्षेत्रफल क्रमशः है

क) 6√3 + 2 और 2 + 6√3
बी) 6√3 और 1 + 2√3
ग) 6√3 + 2 और 12
घ) 6 और 2√3
ई) 6√3 + 2 और 2√3 + 6

उत्तर देखो

सही विकल्प: e) 6√3 + 2 और 2√3 + 6।

आइए पहले समीकरणों को हल करें, x और y के मान ज्ञात करने के लिए:

एक्स²= 12 x = √12 = √4.3 = 2√3
(वाई -1) ²= 3 y = √3 + 1

आयत का परिमाप सभी भुजाओं के योग के बराबर होगा:

पी = 2.2√3 + 2। (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, बस x.y को गुणा करें:

ए = 2√3। (√3 + 1) = 2√3 + 6

इसलिए, आयत का परिमाप और क्षेत्रफल क्रमशः 6√3 + 2 और 2√3 + 6 है।

प्रश्न 5

(अपरेंटिस नाविक - 2016) निम्नलिखित आकृति का विश्लेषण करें:

यह जानते हुए कि EP, E में मध्य अर्धवृत्त की त्रिज्या है, जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है, सबसे गहरे क्षेत्र का मान ज्ञात कीजिए और सही विकल्प की जाँच कीजिए। डेटा: संख्या π=3

ए) 10 सेमी²
बी) 12 सेमी²
सी) 18 सेमी²
डी) 10 सेमी²
ई) 24 सेमी²

उत्तर देखो

सही विकल्प: बी) 12 सेमी².

त्रिभुज ABD के क्षेत्रफल में अर्धपरिधि के क्षेत्रफल को जोड़ने पर सबसे गहरा क्षेत्र पाया जाता है। आइए त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करके शुरू करें, उसके लिए ध्यान दें कि त्रिभुज एक आयत है।

आइए x के AD पक्ष को कॉल करें और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसके माप की गणना करें, जैसा कि नीचे दर्शाया गया है:

5²= एक्स² + 3²
एक्स² = 25 - 9
एक्स = √16
एक्स = 4

AD भुजा माप को जानकर, हम त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:

हमें अभी भी अर्धवृत्त के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है। ध्यान दें कि इसकी त्रिज्या AD की ओर की माप के आधे के बराबर होगी, इसलिए r = 2 सेमी। अर्धवृत्ताकार क्षेत्र बराबर होगा:

सबसे काला क्षेत्र ऐसा करने से मिलेगा: A_टी = 6 + 6 = 12 सेमी²

इसलिए, सबसे अंधेरे क्षेत्र का मान 12 सेमी. है².

प्रश्न 6

(एनेम - २०१६) एक आदमी, दो बच्चों का पिता, एक ही माप के क्षेत्रों के साथ, प्रत्येक बच्चे के लिए एक, दो भूखंड खरीदना चाहता है। देखी गई भूमि में से एक का पहले ही सीमांकन किया जा चुका है और, हालांकि इसका कोई पारंपरिक प्रारूप नहीं है (जैसा कि चित्र बी में दिखाया गया है), इसने सबसे बड़े बेटे को प्रसन्न किया और इसलिए, खरीदा गया था। सबसे छोटे बेटे के पास एक घर के लिए एक वास्तुशिल्प परियोजना है जिसे वह बनाना चाहता है, लेकिन उसके लिए उसे चाहिए आयताकार आकार में एक इलाके का (जैसा कि चित्र ए में दिखाया गया है) जिसकी लंबाई. से 7 मीटर लंबी है चौड़ाई।

सबसे छोटे बेटे को संतुष्ट करने के लिए, इस सज्जन को जमीन का एक आयताकार टुकड़ा खोजने की जरूरत है, जिसकी माप, मीटर में, लंबाई और चौड़ाई में क्रमशः बराबर हो

ए) 7.5 और 14.5
बी) 9.0 और 16.0
ग) 9.3 और 16.3
घ) 10.0 और 17.0
ई) 13.5 और 20.5

उत्तर देखो

सही विकल्प: b) 9.0 और 16.0।

चूँकि आकृति A का क्षेत्रफल आकृति B के क्षेत्रफल के बराबर है, आइए पहले इस क्षेत्र की गणना करें। इसके लिए, आइए चित्र B को विभाजित करें, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

ध्यान दें कि आकृति को विभाजित करते समय, हमारे पास दो समकोण त्रिभुज होते हैं। अत: आकृति B का क्षेत्रफल इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होगा। इन क्षेत्रों की गणना करते हुए, हमारे पास है:

चूँकि आकृति A एक आयत है, इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए:

= एक्स. (एक्स + 7) = एक्स² + 7x

आकृति A के क्षेत्रफल की तुलना आकृति B के क्षेत्रफल के मान से करने पर हम पाते हैं:

एक्स² + 7x = 144
एक्स² + 7x - 144 = 0

आइए भास्कर के सूत्र का उपयोग करके द्वितीय डिग्री समीकरण को हल करें:

चूंकि एक माप ऋणात्मक नहीं हो सकता है, आइए केवल 9 के बराबर मान पर विचार करें। अत: आकृति A में भूमि की चौड़ाई 9 मीटर और लंबाई 16 मीटर (9+7) के बराबर होगी।

इसलिए, लंबाई और चौड़ाई की माप क्रमशः 9.0 और 16.0 के बराबर होनी चाहिए।

प्रश्न 7

(एनेम - 2015) एक सेल फोन कंपनी के पास दो एंटेना होते हैं जिन्हें एक नए, अधिक शक्तिशाली एंटेना से बदल दिया जाएगा। एंटेना के कवरेज क्षेत्र जिन्हें प्रतिस्थापित किया जाएगा, वे 2 किमी की त्रिज्या वाले वृत्त हैं, जिनकी परिधि बिंदु O पर स्पर्शरेखा है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

प्वाइंट ओ नए एंटीना की स्थिति को इंगित करता है, और इसका कवरेज क्षेत्र एक सर्कल होगा जिसकी परिधि छोटे कवरेज क्षेत्रों की परिधि के लिए बाहरी रूप से स्पर्श करेगी। नए एंटीना की स्थापना के साथ, वर्ग किलोमीटर में कवरेज क्षेत्र की माप का विस्तार किया गया था

ए) 8
बी) 12
सी) 16
डी) 32
ई) 64

उत्तर देखो

सही विकल्प: क) 8 .

कवरेज क्षेत्र माप का आवर्धन बड़े सर्कल के छोटे सर्कल (नए एंटीना का जिक्र करते हुए) के क्षेत्रों को कम करके पाया जाएगा।

चूंकि नए कवरेज क्षेत्र की परिधि बाहरी रूप से छोटी परिधि को छूती है, इसकी त्रिज्या 4 किमी के बराबर होगी, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है:

आइए क्षेत्रों की गणना करें A₁ और यह₂ छोटे वृत्तों और क्षेत्रफल A. का₃ बड़े सर्कल से:

₁ = ए₂ = 2². π = 4 π
₃ = 4².π = 16 π

बढ़े हुए क्षेत्र की माप निम्न द्वारा ज्ञात की जाएगी:

ए = 16 - 4 π - 4 = 8

इसलिए, नए एंटेना की स्थापना के साथ, वर्ग किलोमीटर में कवरेज क्षेत्र माप में 8 की वृद्धि हुई थी।

प्रश्न 8

(एनेम - २०१५) आरेख I एक बास्केटबॉल कोर्ट के विन्यास को दर्शाता है। ग्रे ट्रैपेज़ोइड्स, जिन्हें कारबॉय कहा जाता है, प्रतिबंधित क्षेत्रों से मेल खाते हैं।

2010 में अंतर्राष्ट्रीय बास्केटबॉल महासंघ (फ़िबा) की केंद्रीय समिति के दिशानिर्देशों को पूरा करने का लक्ष्य, जिसने चिह्नों को एकीकृत किया विभिन्न मिश्र धातुओं में, अदालतों के कारबॉय में एक संशोधन की उम्मीद की गई थी, जो आयत बन जाएगा, जैसा कि योजना में दिखाया गया है द्वितीय.

नियोजित परिवर्तनों को करने के बाद, प्रत्येक कारबॉय के कब्जे वाले क्षेत्र में परिवर्तन हुआ, जो कि (ए) से मेल खाता है

ए) 5800 सेमी. की वृद्धि².
बी) 75 400 सेमी वृद्धि².
सी) 214 600 सेमी. की वृद्धि².
डी) 63 800 सेमी. की कमी².
ई) 272 600 सेमी. की कमी².

उत्तर देखो

सही विकल्प: क) 5800 सेमी² की वृद्धि।

यह जानने के लिए कि कब्जे वाले क्षेत्र में क्या परिवर्तन हुआ, आइए परिवर्तन के पहले और बाद के क्षेत्र की गणना करें।

योजना I की गणना में, हम समलम्ब क्षेत्र के लिए सूत्र का उपयोग करेंगे। योजना II में, हम आयत के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करेंगे।

तब क्षेत्र परिवर्तन होगा:

ए = ए_{द्वितीय} - ए_मैं
ए = 284 200 - 278 400 = 5 800 सेमी²

इसलिए, नियोजित संशोधनों को पूरा करने के बाद, प्रत्येक कारबॉय के कब्जे वाले क्षेत्र में परिवर्तन हुआ, जो कि 5800 सेमी² की वृद्धि के अनुरूप है।

प्रस्तावित अभ्यास (संकल्प के साथ)

प्रश्न 9

एना ने अपने घर में आधार पर 8 मीटर और 5 मीटर ऊंचा एक आयताकार पूल बनाने का फैसला किया। इसके चारों ओर, एक ट्रेपेज़ आकार में, यह घास से भरा हुआ था।

यह जानते हुए कि ट्रेपेज़ की ऊंचाई 11 मीटर है और इसके आधार 20 मीटर और 14 मीटर हैं, घास से भरे हुए हिस्से का क्षेत्रफल क्या है?

क) 294 वर्ग मीटर²
बी) 153 वर्ग मीटर²
सी) 147 एम²
घ) 216 वर्ग मीटर²

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सही विकल्प: c) 147 m².

चूंकि आयताकार, जो पूल का प्रतिनिधित्व करता है, एक बड़ी आकृति के अंदर डाला जाता है, ट्रेपेज़, आइए बाहरी आकृति के क्षेत्र की गणना करके शुरू करें।

समलम्बाकार क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

कहा पे,

B सबसे बड़े आधार का माप है;
b सबसे छोटे आधार का माप है;
एच ऊंचाई है।

कथन डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

अब, आयत के क्षेत्रफल की गणना करते हैं। उसके लिए, हमें बस आधार को ऊंचाई से गुणा करना होगा।

घास से आच्छादित क्षेत्र को खोजने के लिए, हमें पूल द्वारा कब्जा किए गए स्थान को ट्रेपेज़ क्षेत्र से घटाना होगा।

अतः घास से भरा क्षेत्र 147 वर्ग मीटर था².

यह भी देखें: ट्रेपेज़ क्षेत्र

प्रश्न 10

अपने गोदाम की छत का नवीनीकरण करने के लिए, कार्लोस ने औपनिवेशिक टाइलें खरीदने का फैसला किया। इस प्रकार की छत का उपयोग करते हुए, प्रत्येक वर्ग मीटर छत के लिए 20 टुकड़ों की आवश्यकता होती है।

यदि उस स्थान की छत दो आयताकार प्लेटों से बनती है, जैसा कि ऊपर की आकृति में है, कार्लोस को कितनी टाइलें खरीदने की आवश्यकता है?

ए) 12000 टाइल्स
ख) १६००० टाइलें
सी) १८००० टाइल्स
घ) ९६०० टाइल्स

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सही विकल्प: b) 16000 टाइलें।

गोदाम की छत दो आयताकार प्लेटों से बनी है। इसलिए, हमें एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करनी चाहिए और 2 से गुणा करना चाहिए।

इसलिए, छत का कुल क्षेत्रफल 800 मीटर है।². यदि प्रत्येक वर्ग मीटर को 20 टाइलों की आवश्यकता होती है, तो तीन के एक साधारण नियम का उपयोग करके हम गणना करते हैं कि प्रत्येक गोदाम की छत पर कितनी टाइलें भरी जाती हैं।

इसलिए 16 हजार टाइल्स खरीदना जरूरी होगा।

यह भी देखें: आयत क्षेत्र

प्रश्न 11

मर्सिया अपने घर के प्रवेश द्वार को सजाने के लिए लकड़ी के दो समान फूलदान चाहती हैं। क्योंकि वह केवल अपने पसंदीदा में से एक खरीद सकती थी, उसने एक कैबिनेट निर्माता को उसी आयाम के साथ एक और फूलदान बनाने का फैसला किया। फूलदान में एक समद्विबाहु समलम्बाकार आकार में चार भुजाएँ होनी चाहिए और आधार एक वर्ग है।

लकड़ी की मोटाई को ध्यान में रखे बिना, टुकड़े को पुन: उत्पन्न करने के लिए कितने वर्ग मीटर लकड़ी की आवश्यकता होगी?

ए) 0.2131 एम²
बी) 0.1311 एम²
सी) 0.2113 एम²
डी) 0.3121 एम²

उत्तर देखो

सही विकल्प: d) 0.3121 m².

एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ वह प्रकार है जिसमें समान भुजाएँ और विभिन्न आकार के आधार होते हैं। छवि से, हमारे पास बर्तन के प्रत्येक तरफ ट्रेपेज़ियस के निम्नलिखित माप हैं:

छोटा आधार (बी): 19 सेमी;
बड़ा आधार (बी): 27 सेमी;
ऊंचाई (एच): 30 सेमी।

हाथ में मूल्यों के साथ, हम समलम्ब क्षेत्र की गणना करते हैं:

चूंकि बर्तन चार ट्रेपेज़ॉइड्स द्वारा बनता है, इसलिए हमें पाए गए क्षेत्र को चार से गुणा करना होगा।

अब हमें फूलदान के आधार की गणना करने की आवश्यकता है, जो 19 सेमी वर्ग द्वारा बनता है।

गणना किए गए क्षेत्रों को जोड़कर हम निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली लकड़ी के कुल क्षेत्रफल पर पहुंचते हैं।

हालांकि, क्षेत्र को वर्ग मीटर में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है।

इसलिए, लकड़ी की मोटाई को ध्यान में रखे बिना 0.3121 मीटर की जरूरत थी² फूलदान के निर्माण के लिए सामग्री की।

यह भी देखें: स्क्वायर एरिया

प्रश्न 12

सार्वजनिक कार्यक्रमों में कितने लोग भाग लेते हैं, इसकी गणना की सुविधा के लिए, आमतौर पर यह माना जाता है कि एक वर्ग मीटर में चार लोग रहते हैं।

एक शहर की वर्षगांठ मनाने के लिए, शहर सरकार ने केंद्र में स्थित चौक में खेलने के लिए एक बैंड किराए पर लिया, जिसका क्षेत्रफल 4000 मीटर है². यह जानते हुए कि चौक खचाखच भरा हुआ था, इस कार्यक्रम में लगभग कितने लोग शामिल हुए?

ए) 16 हजार लोग।
बी) 32 हजार लोग।
ग) 12 हजार लोग।
घ) 40 हजार लोग।

उत्तर देखो

सही विकल्प: क) 16 हजार लोग।

एक वर्ग में चार बराबर भुजाएँ होती हैं और इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है: A = L x L।

यदि 1 वर्ग मीटर में² यह चार लोगों के कब्जे में है, इसलिए वर्ग के कुल क्षेत्रफल का 4 गुना हमें उन लोगों का अनुमान देता है जो इस कार्यक्रम में शामिल हुए थे।

इस प्रकार सिटी हॉल द्वारा प्रचारित कार्यक्रम में 16 हजार लोगों ने भाग लिया।

अधिक जानने के लिए, यह भी देखें:

• समतल चित्र क्षेत्र
• ज्यामितीय आकार
• पाइथागोरस प्रमेय - व्यायाम