द्वितीय डिग्री समीकरण के बारे में सब कुछ

दूसरी डिग्री समीकरण इसका नाम इसलिए पड़ा क्योंकि यह एक बहुपद समीकरण है जिसका उच्चतम घात पद वर्ग है। द्विघात समीकरण भी कहा जाता है, इसे निम्न द्वारा दर्शाया जाता है:

कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी = 0

2 डिग्री समीकरण में, एक्स अज्ञात है और अज्ञात मान का प्रतिनिधित्व करता है। पहले से ही गीत , ख तथा सी समीकरण गुणांक कहलाते हैं।

गुणांक वास्तविक संख्या और गुणांक हैं इसे शून्य से अलग होना चाहिए, अन्यथा यह पहली डिग्री का समीकरण बन जाता है।

दूसरी डिग्री समीकरण को हल करने का अर्थ है values ​​के वास्तविक मूल्यों की तलाश करना एक्स, जो समीकरण को सही बनाते हैं। इन मानों को समीकरण के मूल कहा जाता है।

एक द्विघात समीकरण में अधिकतम दो वास्तविक मूल होते हैं।

पूर्ण और अपूर्ण हाई स्कूल समीकरण

दूसरी डिग्री समीकरण पूर्ण वे हैं जिनमें सभी गुणांक हैं, अर्थात्, ए, बी और सी शून्य से भिन्न हैं (ए, बी, सी ≠ 0)।

उदाहरण के लिए, 5x समीकरण² + 2x + 2 = 0 पूर्ण है क्योंकि सभी गुणांक शून्येतर हैं (a = 5, b = 2 और c = 2)।

एक द्विघात समीकरण है अधूरा जब बी = 0 या सी = 0 या बी = सी = 0। उदाहरण के लिए, 2x समीकरण² = 0 अपूर्ण है क्योंकि a = 2, b = 0 और c = 0

हल किए गए व्यायाम

1) के मूल्यों का निर्धारण करें एक्स जो समीकरण 4x. बनाते हैं² - 16 = 0 सत्य।

समाधान:

दिया गया समीकरण b = 0 के साथ एक अपूर्ण द्वितीय डिग्री समीकरण है। इस प्रकार के समीकरणों के लिए, हम को अलग करके हल कर सकते हैं एक्स. इस प्रकार:

ध्यान दें कि 4 का वर्गमूल 2 और - 2 हो सकता है, क्योंकि इन दो वर्ग संख्याओं का परिणाम 4 होता है।

तो 4x समीकरण की जड़ें roots² - 16 = 0 हैं एक्स = - 2 तथा एक्स = 2

2) x का मान ज्ञात कीजिए कि नीचे दिए गए आयत का क्षेत्रफल 2 के बराबर हो।

समाधान:

आधार को ऊंचाई से गुणा करने पर आयत का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है। इसलिए, हमें दिए गए मानों को गुणा करना चाहिए और 2 के बराबर करना चाहिए।

(एक्स - 2)। (एक्स - 1) = 2

अब सभी पदों को गुणा करते हैं:

एक्स। एक्स - 1. एक्स - 2. एक्स - 2. (- 1) = 2
एक्स² - 1x - 2x + 2 = 2
एक्स² - 3x + 2 - 2 = 0
एक्स² - 3x = 0

गुणन और सरलीकरण को हल करने के बाद, हम c = 0 के साथ एक अपूर्ण द्विघात समीकरण पाते हैं।

इस प्रकार के समीकरण को द्वारा हल किया जा सकता है गुणन, क्यों कि एक्स दोनों शब्दों में दोहराया जाता है। इसलिए हम इसे सबूत के तौर पर पेश करने जा रहे हैं।

एक्स। (एक्स - 3) = 0

गुणनफल शून्य के बराबर होने के लिए, या तो x = 0 या (x - 3) = 0। हालाँकि, प्रतिस्थापित करना एक्स शून्य से, पार्श्व माप ऋणात्मक हैं, इसलिए यह मान प्रश्न का उत्तर नहीं होगा।

तो हमारे पास यह है कि एकमात्र संभावित परिणाम (x - 3) = 0 है। इस समीकरण को हल करना:

एक्स - 3 = 0
एक्स = 3

इस प्रकार, value का मान एक्स ताकि आयत का क्षेत्रफल 2 के बराबर हो एक्स = 3.

भास्कर सूत्र

जब एक द्विघात समीकरण पूरा हो जाता है, तो हम का उपयोग करते हैं भास्कर सूत्र समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए।

सूत्र नीचे प्रस्तुत किया गया है:

डेल्टा सूत्र

भास्कर के सूत्र में ग्रीक अक्षर आता है (डेल्टा), जिसे समीकरण का विवेचक कहा जाता है, क्योंकि इसके मूल्य के अनुसार यह जानना संभव है कि समीकरण के कितने मूल होंगे।

डेल्टा की गणना के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

क्रमशः

भास्कर के सूत्र का उपयोग करते हुए, द्वितीय डिग्री समीकरण को हल करने के लिए, हमें इन चरणों का पालन करना चाहिए:

पहला कदम: गुणांक की पहचान करें , ख तथा सी.

समीकरण की शर्तें हमेशा एक ही क्रम में प्रकट नहीं होती हैं, इसलिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि गुणांक की पहचान कैसे करें, चाहे वे किस क्रम में हों।

गुणांक वह संख्या है जो x. के साथ जाती है², ओ ख के साथ आने वाली संख्या है एक्स यह है सी स्वतंत्र पद है, अर्थात वह संख्या जो x के बिना प्रकट होती है।

दूसरा चरण: डेल्टा की गणना करें।

जड़ों की गणना करने के लिए डेल्टा का मूल्य जानना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र में अक्षरों को गुणांक मानों से बदलते हैं।

हम, डेल्टा मान से, पहले से जान सकते हैं कि 2 डिग्री समीकरण में कितने मूल होंगे। अर्थात्, यदि का मान शून्य से अधिक है (Δ > 0), समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल होंगे।

यदि इसके विपरीत, डेल्टा शून्य से कम है (), समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होंगे और यदि यह शून्य के बराबर है (Δ = 0), समीकरण का केवल एक मूल होगा।

तीसरा चरण: जड़ों की गणना करें।

यदि डेल्टा के लिए पाया गया मान ऋणात्मक है, तो आपको कोई और गणना करने की आवश्यकता नहीं है और इसका उत्तर यह है कि समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

यदि डेल्टा मान शून्य के बराबर या उससे अधिक है, तो हमें भास्कर के सूत्र में सभी अक्षरों को उनके मूल्यों से बदलना होगा और जड़ों की गणना करनी होगी।

व्यायाम हल

2x समीकरण की जड़ें निर्धारित करें² - 3x - 5 = 0

समाधान:

इसे हल करने के लिए, हमें पहले गुणांक की पहचान करनी चाहिए, इसलिए हमारे पास है:
ए = 2
बी = - 3
सी = - 5

अब हम डेल्टा मान ज्ञात कर सकते हैं। हमें संकेतों के नियमों से सावधान रहना चाहिए और याद रखना चाहिए कि हमें पहले पोटेंशिएशन और गुणा को हल करना चाहिए, और फिर जोड़ और घटाव को।

Δ = (- 3)² - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49

जैसा कि पाया गया मान सकारात्मक है, हम जड़ों के लिए दो अलग-अलग मान पाएंगे। इसलिए, हमें भास्कर के सूत्र को दो बार हल करना चाहिए। तो हमारे पास:

तो 2x समीकरण की जड़ें² - 3x - 5 = 0 हैं एक्स = 5/2 तथा एक्स = - 1.

द्वितीय डिग्री समीकरण प्रणाली

जब हम दो अलग-अलग अज्ञात के मानों को खोजना चाहते हैं जो एक साथ दो समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, तो हमारे पास a समीकरणों की प्रणाली.

सिस्टम बनाने वाले समीकरण पहली डिग्री और दूसरी डिग्री के हो सकते हैं। इस प्रकार की प्रणाली को हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि का उपयोग कर सकते हैं।

व्यायाम हल

नीचे दी गई प्रणाली को हल करें:

समाधान:

सिस्टम को हल करने के लिए, हम अतिरिक्त विधि का उपयोग कर सकते हैं। इस पद्धति में, हम पहले समीकरण से दूसरे समीकरण के समान पदों को जोड़ते हैं। इसलिए, हम सिस्टम को एक समीकरण में कम करते हैं।

हम अभी भी समीकरण के सभी पदों को 3 से सरल बना सकते हैं और परिणाम समीकरण x. होगा² - 2x - 3 = 0. समीकरण को हल करते हुए, हमारे पास है:

Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16

एक्स-वैल्यू खोजने के बाद, हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि हमें अभी भी वाई-वैल्यू को ढूंढना है जो सिस्टम को सही बनाते हैं।

ऐसा करने के लिए, बस एक समीकरण में x के लिए पाए गए मानों को बदलें।

आप₁ - 6. 3 = 4
आप₁ = 4 + 18
आप₁ = 22

आप₂ - 6. (-1) = 4
आप₂ + 6 = 4
आप₂ = - 2

इसलिए, प्रस्तावित प्रणाली को संतुष्ट करने वाले मान हैं (3, 22) और (-1, - 2)

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अभ्यास

प्रश्न 1

भास्कर के सूत्र का उपयोग करके पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करें:

2x² + 7x + 5 = 0

उत्तर देखो

सबसे पहले समीकरण में प्रत्येक गुणांक का निरीक्षण करना महत्वपूर्ण है, इसलिए:

ए = 2
बी = 7
सी = 5

समीकरण के विवेचक के सूत्र द्वारा हमें का मान ज्ञात करना चाहिए।

यह बाद में सामान्य सूत्र या भास्कर के सूत्र के माध्यम से समीकरण की जड़ों को खोजना है:

Δ = 7² – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9

ध्यान दें कि यदि का मान शून्य से अधिक है (Δ > 0), समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल होंगे।

तो, खोजने के बाद, इसे भास्कर के सूत्र में बदलें:

इसलिए, दो वास्तविक जड़ों के मान हैं: एक्स₁ = - 1 तथा एक्स₂ = - 5/2

अधिक प्रश्न देखें हाई स्कूल समीकरण - अभ्यास

प्रश्न 2

अपूर्ण द्वितीय अंश समीकरणों को हल करें:

ए) 5x² - एक्स = 0

उत्तर देखो

सबसे पहले, हम समीकरण के गुणांक की तलाश करते हैं:

ए = 5
ख = - 1
सी = 0

यह एक अपूर्ण समीकरण है जहाँ c = 0 है।

इसकी गणना करने के लिए हम गुणनखंडन का उपयोग कर सकते हैं, जो इस मामले में x को प्रमाण में रख रहा है।

5x² - एक्स = 0
एक्स। (5x-1) = 0
इस स्थिति में, गुणनफल शून्य के बराबर होगा जब x = 0 या जब 5x -1 = 0 हो। तो चलिए x के मान की गणना करते हैं:

तो समीकरण की जड़ें हैं एक्स₁ = 0 तथा एक्स₂ = 1/5.

बी) 2x² – 2 = 0

उत्तर देखो

ए = 2
बी = 0
सी = - 2

यह एक अपूर्ण द्वितीय अंश समीकरण है, जहाँ b = 0 है, इसकी गणना x को पृथक करके की जा सकती है:

एक्स₁ = 1 और x₂ = - 1

तो समीकरण की दो जड़ें हैं एक्स₁ = 1 तथा एक्स₂ = - 1

ग) 5x² = 0

उत्तर देखो

ए = 5
बी = 0
सी = 0

इस मामले में, अपूर्ण समीकरण गुणांक b और c को शून्य के बराबर प्रस्तुत करता है (b = c = 0):

इसलिए, इस समीकरण के मूलों का मान है एक्स₁ = एक्स₂ = 0

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