क्षमता गुण: वे क्या हैं और व्यायाम what

पोटेंशिएशन समान कारकों के गुणन से मेल खाता है, जिसे आधार और घातांक का उपयोग करके सरलीकृत तरीके से लिखा जा सकता है। आधार वह कारक है जो दोहराता है और घातांक दोहराव की संख्या है।

शक्तियों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए उनके गुणों को जानना आवश्यक है। बिजली संचालन में प्रयुक्त मुख्य गुणों के नीचे देखें।

1. एक ही आधार की शक्तियों का गुणन

एक ही आधार की घातों के गुणन में, हमें आधार रखना चाहिए और घातांक जोड़ना चाहिए।

^म.^{नहीं न} = द^{एम + एन}

उदाहरण: 2². 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32

2. एक ही आधार का शक्ति विभाजन

एक ही आधार की शक्तियों के विभाजन में हम आधार रखते हैं और घातांक घटाते हैं।

^म: ए^{नहीं न} = द^{एम - एन}

उदाहरण: 2⁴: 2² = 2^4-2 = 2² = 4

3. शक्ति शक्ति

जब एक शक्ति का आधार भी एक शक्ति है, तो हमें घातांक को गुणा करना चाहिए।

(द^म)^{नहीं न} = द^एमएन

उदाहरण: (3²)⁵ = 3^2.5 = 3¹⁰ = 59 049

4. उत्पाद शक्ति

जब एक शक्ति का आधार एक उत्पाद होता है, तो हम प्रत्येक कारक को शक्ति में बढ़ाते हैं।

(द. बी)^म = द^म. ख^म

उदाहरण: (2. 3)² = 2². 3² = 4. 9 = 36

5. भागफल शक्ति

जब एक शक्ति का आधार एक विभाजन होता है, तो हम प्रत्येक कारक को घातांक तक बढ़ाते हैं।

(ए / बी)^म = द^म/बी^{नहीं न}

उदाहरण: (2/3)² = 2²/3² = 4/9

6. भागफल शक्ति और ऋणात्मक घातांक

जब किसी घात का आधार एक विभाजन होता है और घातांक ऋणात्मक होता है, तो घातांक का आधार और चिह्न उलटा होता है।

(ए / बी)^एन = (बी/ए)^{नहीं न}

उदाहरण: (2/3)^-2 = (3/2)² = 3²/2² = 9/4

7. नकारात्मक घातांक शक्ति

जब किसी घात का चिह्न ऋणात्मक होता है, तो हमें घातांक को धनात्मक बनाने के लिए आधार को उल्टा करना चाहिए।

^एन = 1/ए^{नहीं न}, 0. तक

उदाहरण: (2)^-4 = (1/2)⁴ = 1/16

8. तर्कसंगत घातांक के साथ शक्ति Power

विकिरण पोटेंशिएशन का उल्टा ऑपरेशन है। इसलिए, हम एक भिन्नात्मक घातांक को एक मूलांक में बदल सकते हैं।

^{मी/एन} = ^{नहीं न}ए^म

उदाहरण: 5^1/2 = √5

9. 0. के बराबर घातांक वाली घात

जब किसी घात का घातांक 0 के बराबर हो, तो परिणाम 1 होगा।

⁰ = 1

उदाहरण: 4⁰ = 1

10. 1. के बराबर घातांक वाली घात

जब किसी घात का घातांक 1 के बराबर होता है, तो परिणाम स्वयं आधार होगा।

¹ = द

उदाहरण: 5¹ = 5

11. ऋणात्मक आधार शक्ति और विषम घातांक

यदि किसी घात का ऋणात्मक आधार है और घातांक विषम संख्या है, तो परिणाम ऋणात्मक संख्या है।

उदाहरण: (-2)³ = (-2) एक्स (-2) एक्स (-2) = - 8

12. नकारात्मक आधार शक्ति और यहां तक ​​कि घातांक

यदि किसी घात का ऋणात्मक आधार है और घातांक एक सम संख्या है, तो परिणाम एक धनात्मक संख्या है।

उदाहरण: (-3)² = (-3) x (-3) = + 9

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वृद्धि गुणों पर व्यायाम

प्रश्न 1

यह जानते हुए कि 4. का मान⁵ 1024 है, 4. का परिणाम क्या है?⁶?

ए) 2 988
बी) 4,096
सी) 3 184
घ) ४,३८६

उत्तर देखो

सही उत्तर: बी) 4,096।

ध्यान दें कि 4⁵ और 4⁶ एक ही आधार हैं। इसलिए, शक्ति 4⁶ इसे उसी आधार की शक्तियों के उत्पाद के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

4⁶ = 4⁵. 4¹

हम 4. का मान कैसे जानते हैं⁵ बस इसे व्यंजक में बदलें और 4 से गुणा करें, क्योंकि घातांक 1 के साथ शक्ति का परिणाम आधार में ही होता है।

4⁶ = 4⁵. 4¹ = 1024. 4 = 4 096.

प्रश्न 2

संवर्द्धन गुणों के आधार पर निम्नलिखित में से कौन सा वाक्य सही है?

ए) (एक्स। वाई)² = एक्स². आप²
बी) (एक्स + वाई)² = एक्स² + y²
सी) (एक्स - वाई)² = एक्स² - आप²
डी) (एक्स + वाई)⁰ = 0

उत्तर देखो

सही उत्तर: ए) (एक्स। वाई)² = एक्स² . आप².

ए) इस मामले में हमारे पास उत्पाद की शक्ति है और इसलिए, कारकों को एक्सपोनेंट तक उठाया जाता है।

बी) सही होगा (x + y)² = एक्स² + 2xy + y².

c) सही होगा (x - y)² = एक्स² - 2xy + y².

d) सही परिणाम 1 होगा, क्योंकि शून्य घातांक तक बढ़ाई गई प्रत्येक शक्ति का परिणाम 1 होता है।

प्रश्न 3

निम्नलिखित व्यंजक को सरल बनाने के लिए घातों के गुणों का प्रयोग कीजिए।

(2⁵. 2^-4): 2³

उत्तर देखो

सही उत्तर: 1/4।

हम कोष्ठक के अंदर जो है उसके द्वारा विकल्प को हल करना शुरू करते हैं।

2⁵. 2^-4 समान आधारों की घातों का गुणन है, इसलिए हम आधार को दोहराते हैं और घातांक जोड़ते हैं।

2^{5 + (-4)} = 2¹

(2⁵. 2^-4): 2³ = 2¹: 2³

अब अभिव्यक्ति उसी आधार पर शक्तियों के विभाजन में बदल गई है। तो चलिए आधार दोहराते हैं और घातांक घटाते हैं।

2¹: 2³ = 2^1-3 = 2^-2

चूंकि परिणाम एक नकारात्मक घातांक शक्ति है, इसलिए हमें घातांक के आधार और चिह्न को उल्टा करना चाहिए।

2^-2 = (1/2)²

जब पोटेंसी एक भागफल पर आधारित होती है, तो हम प्रत्येक पद को घातांक तक बढ़ा सकते हैं।

1²/2² = 1/4

इसलिए, (2⁵. 2^-4): 2³ = 1/4.

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