आवधिक दशमांश: यह क्या है, गणना कैसे करें, व्यायाम करें

आवधिक दशमांश एक संख्या है जिसका दशमलव अनंत और आवर्त भाग होता है, अर्थात इसके दशमलव भाग में एक ऐसी संख्या होती है जो अपने आप को अनंत रूप से दोहराती है। माना जाता है परिमेय संख्या, इसे a. के रूप में दर्शाया जा सकता है अंश, जिसे कहा जाता है भिन्न उत्पन्न करना. यह सरल या मिश्रित भी हो सकता है।

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आवधिक दशमांश का प्रतिनिधित्व

भिन्न रूप के अलावा, जिसे जनक अंश के रूप में जाना जाता है, आवधिक दशमलव को a. के रूप में दर्शाया जा सकता है दोतरफा दशमलव संख्या. हम संख्या के अंत में सम्मिलित कर सकते हैं, अंडाकार (...) या हम डाल सकते हैं a अपनी अवधि के ऊपर पानी का छींटा (भाग जो दशमांश में दोहराया जाता है), इसलिए एक ही दशमांश को दो तरह से दर्शाया जा सकता है। उदाहरण:

एक आवधिक दशमलव एक संख्या है जिसका दशमलव अनंत और आवधिक भाग होता है।

सरल आवधिक दशमांश

एक साधारण आवर्त दशमलव में a. होता है पूरा भाग (जो अल्पविराम से पहले आता है) और समय पाठ्यक्रम, जो अल्पविराम के बाद आता है।

उदाहरण:

1,333…
1→ संपूर्ण भाग
3 → अवधि

0,76767676…
0 → पूरा भाग
७६ → अवधि

यौगिक आवधिक दशमांश

एक संयुक्त आवधिक दशमलव है पूरा भाग (जो अल्पविराम से पहले आता है),

गैर-आवधिक भाग तथा समय पाठ्यक्रम, जो अल्पविराम के बाद आता है। जो एक साधारण आवर्त दशमलव को एक यौगिक से अलग करता है, वह यह है कि साधारण दशमलव में केवल अल्पविराम के बाद की अवधि होती है; यौगिक में, एक भाग होता है जो अल्पविराम के बाद दोहराता नहीं है।

उदाहरण:

1,5888…
1 → पूरा भाग
5 → गैर-आवधिक भाग
8→ अवधि

32,01656565…
32 → संपूर्ण भाग entire
01 → गैर-आवधिक भाग
65 → अवधि

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भिन्न उत्पन्न करना

दशमांश उत्पन्न करने वाले अंश का पता लगाना हमेशा आसान काम नहीं होता है। हमें इसे दो स्थितियों में विभाजित करने की आवश्यकता है: जब दशमांश सरल हो और जब यह संयुक्त हो। जनक भिन्न ज्ञात करने के लिए हम एक समीकरण का उपयोग करते हैं।

→ एक साधारण आवर्त दशमलव का जनक अंश

उदाहरण:

- आइए ढूंढते हैं भिन्न उत्पन्न करना १.३५३५३५ दशमांश में से…

मान लीजिए x = 1.353535…, क्योंकि इस दशमांश की अवधि (35) में 2 संख्याएँ हैं, आइए x को 100 से गुणा करें। फिर,

100x = 135.3535…

अब घटाव करते हुए,

एक है व्यावहारिक तरीका समीकरणों के निर्माण से बचने वाले एक साधारण आवधिक दशमलव के जनक अंश को खोजने के लिए। आइए फिर से १.३५३५३५ दशमांश… के जनक अंश का पता लगाएं, लेकिन व्यावहारिक तरीके से।

• पहला कदम: अवधि और पूरे भाग की पहचान करें।

पूरा भाग → १
अवधि → 35

• दूसरा चरण: अंश का पता लगाएं।

अंश पूर्णांक भाग और अवधि (उदाहरण में, यह 135 है) द्वारा बनाई गई संख्या है जो पूर्णांक भाग को घटाती है, अर्थात:

135 – 1 = 134

• तीसरा चरण: हर का पता लगाएं।

उसके लिए, आइए मूल्यांकन करें कि दशमांश की अवधि में कितनी संख्याएँ हैं, और प्रत्येक संख्या के लिए, हम हर में संख्या 9 जोड़ेंगे। चूँकि इस स्थिति में दो संख्याएँ हैं, हर 99 है। इसलिए, जनक अंश है:

→ एक समग्र आवधिक दशमलव का जनक अंश

खोजने के लिए थोड़ा अधिक जटिल, एक समग्र आवधिक दशमलव का जनक अंश भी a. के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है समीकरण.

उदाहरण:

- आइए २.१३४४४ दशमलव का जनक अंश ज्ञात करें...

मान लीजिए x = 2.13444…. आइए 100 से गुणा करें ताकि, अल्पविराम के बाद, केवल आवधिक भाग ही रह जाए। फिर,

१००x = २१३,४४४….

दूसरी ओर, हम जानते हैं कि 1000x= 2134.444….

अब हम घटाव करेंगे:

यौगिक आवर्त दशमलव के लिए, a. भी होता है व्यावहारिक तरीका, जिसका उपयोग हम संयुक्त आवधिक दशमलव के जनक अंश को खोजने के लिए करने जा रहे हैं 2,13444…

• पहला कदम: आवधिक दशमांश के भागों की पहचान करें।

पूरा भाग→ 2
गैर-आवधिक भाग → 13
अवधि →4

• दूसरा चरण: अंश का पता लगाएं।

अंश की गणना करने के लिए, पूर्णांक भाग, गैर-आवधिक भाग और आवर्त से बनने वाली संख्या लिखते हैं, अर्थात्, 2134 पूरे भाग और गैर-आवधिक भाग को घटाकर, अर्थात्, 213.

2134 – 213 = 1921

• तीसरा चरण: भाजक का पता लगाएं।

हर में, आवर्त में प्रत्येक संख्या के लिए, हम a. जोड़ते हैं 9और गैर-आवधिक भाग में प्रत्येक संख्या के लिए, a 0.उदाहरण में, भाजक है 900.

जनक अंश है:

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हल किए गए अभ्यास

1) निम्नलिखित संख्याओं में से उस एक को चिह्नित करें जो एक संयुक्त आवधिक दशमलव से मेल खाती है।

क) ३.१४१५९२८४...

बी) २.२११११

ग) ०.३३३३….

घ) 1,21111….

संकल्प:

वैकल्पिक डी.

विकल्पों का विश्लेषण करते हुए, हमें यह करना होगा:

a) यह एक गैर-आवधिक दशमांश है। महसूस करें कि, जितना अनंत है, अगली संख्याओं की भविष्यवाणी करने का कोई तरीका नहीं है।

b) यह दशमांश नहीं है।

c) यह एक साधारण आवर्त दशमलव है।

d) सच है, क्योंकि यह एक आवधिक मिश्रित दशमलव है।

२) १२,३७२७२७२ दशमांश का जनक अंश… है ना?

क) १३७२/९९९९

बी) 12249/990

सी) 12/999

घ) 123/990

संकल्प:

व्यावहारिक विधि से, हमारे पास: 12372 – 123= 12249, जो अंश होगा।

दशमलव भाग का विश्लेषण:

3 → गैर-आवधिक भाग

72 → अवधि

990→ भाजक

सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करने वाला अंश 12249/990 अक्षर B है।