हम बुलाते है अभाज्य संख्या ए प्राकृतिक संख्या क्या भ दो डिवाइडर हैं: 1 और खुद। अभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए एराटोस्थनीज की छलनी विकसित की गई। जब कोई संख्या अभाज्य नहीं होती है, तो हम इसे अभाज्य संख्याओं के गुणन के रूप में लिख सकते हैं, एक प्रक्रिया जिसे गुणनखंडन कहा जाता है।
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कैसे पता चलेगा कि कोई संख्या अभाज्य है?
गणित में अभाज्य संख्याओं की खोज करना काफी सामान्य है। जब हम एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करते हैं और परिणाम सटीक होता है, अर्थात यह कोई आराम नहीं छोड़ता है, तो इस संख्या को भाजक कहा जाता है। यह पहचानने के लिए कि कोई संख्या अभाज्य है या नहीं, हमें यह जानना होगा कि उस संख्या के भाजक क्या हैं। यदि इस संख्या में ठीक दो परकार: १ और स्वयं, वह चचेरा भाई है; अन्यथा यह प्रधान नहीं है।
एक संख्या को अभाज्य कहा जाता है जब उसके ठीक दो भाजक हों, 1 और स्वयं। |
उदाहरण
संख्या १२ अभाज्य नहीं है, क्योंकि १२ को विभाजित करने वाली संख्याएँ हैं:
डी(१२) = १,२,३,४.६ और १२
संख्या 17 अभाज्य है, क्योंकि 17 के भाजक हैं:
डी(17) = १.१७.
एराटोस्थनीज की छलनी
अभाज्य संख्याएँ ढूँढना हमेशा आसान काम नहीं होता है। हे तरीका इस कार्य के लिए सबसे अधिक उपयोग किया जाता है इरेटोस्थनीज की छलनी, जो आपको दो संख्याओं के बीच सभी अभाज्य संख्याओं को खोजने की अनुमति देती है।
आइए, उदाहरण के लिए, इस पद्धति का उपयोग करके 1 से 100 तक की अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करें।
हम 1 से 100 तक की सभी संख्याओं को एक व्यवस्थित तरीके से सूचीबद्ध करेंगे। देखो:
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98 |
99 |
100 |
हम जानते हैं कि 1 में केवल 1 भाजक है, इसलिए यह अभाज्य नहीं है। हम यह भी जानते हैं कि 2 में 2 भाजक हैं, 1 और स्वयं, इसलिए 2 अभाज्य है। अब अन्य जोड़ी संख्या वे सभी 2 से विभाज्य हैं, इसलिए वे अभाज्य नहीं हैं। तो आइए सूची में अन्य सभी सम संख्याओं और नंबर 1 को चिह्नित करें।
काले रंग में छोड़ी गई संख्याओं से, हम जानते हैं कि 3 में केवल दो भाजक हैं, इसलिए यह अभाज्य है। हालांकि, संख्या गुणकों 3 में से, 6,9,12,15… की तरह, अभाज्य नहीं हैं। अब हम उन सभी संख्याओं को 3 के गुणज में चिह्नित करेंगे जो सूची में शेष हैं।
हम जानते हैं कि संख्या 5 अभाज्य है, लेकिन 5 के गुणज (जो 5 या 0 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ हैं) नहीं हैं, क्योंकि 5 इन संख्याओं का भाजक है। तो चलिए उन नंबरों को भी चिन्हित करते हैं।
नंबर 7 प्राइम है। उसी तर्क का उपयोग करके, हम 7 के गुणजों को चिह्नित करेंगे जिन्हें अभी तक चिह्नित नहीं किया गया है।
अब यह जानते हुए कि ११ अभाज्य है, आइए ११ का गुणज देखें, क्योंकि ११ का कोई गुणज नहीं है, हम जानते हैं कि हमने चलनी समाप्त कर ली है।
शेष संख्याएं अभाज्य हैं, इसलिए 1 से 100 तक के अभाज्य हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 और 97।
अवलोकन: यदि हम बड़ी संख्याओं के बीच अभाज्य संख्या ज्ञात करना चाहते हैं, जैसे 1 से 200 तक या 1 से 500 तक के अभाज्य प्रक्रिया तब तक जारी रहेगी जब तक हमें एक ऐसी अभाज्य संख्या नहीं मिल जाती है, जिसमें स्ट्राइक आउट करने के लिए कोई गुणक नहीं है मेज।
यह भी देखें: विभाज्यता मानदंड - प्रक्रियाएं जो विभाजन संचालन की सुविधा प्रदान करती हैं
गुणन
एक संख्या जो अभाज्य नहीं है उसका गुणनखंड किया जा सकता है, अर्थात, हम वह कर सकते हैं जिसे हम a कहते हैं प्रमुख कारक अपघटन. यह प्रक्रिया गणना करने के लिए उपयोगी है useful एमएमसी यह है एमडीसी.
अपघटन करने के लिए, हम संख्या के क्रमिक विभाजन तब तक करेंगे जब तक हमें 1 नहीं मिल जाता।
उदाहरण
तो 72 का अभाज्य गुणनखंड में अपघटन 2.3² है।
1 से 1000. तक की अभाज्य संख्याएँ
1 और 1000 के बीच मौजूद सभी अभाज्य संख्याओं को जानें।
2 |
3 |
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13 |
17 |
19 |
23 |
29 |
31 |
37 |
41 |
43 |
47 |
53 |
59 |
61 |
67 |
71 |
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79 |
83 |
89 |
97 |
101 |
103 |
107 |
109 |
113 |
127 |
131 |
137 |
139 |
149 |
151 |
157 |
163 |
167 |
173 |
179 |
181 |
191 |
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197 |
199 |
211 |
223 |
227 |
229 |
233 |
239 |
241 |
251 |
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271 |
277 |
281 |
283 |
293 |
307 |
311 |
313 |
317 |
331 |
337 |
347 |
349 |
353 |
359 |
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373 |
379 |
383 |
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397 |
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419 |
421 |
431 |
433 |
439 |
443 |
449 |
457 |
461 |
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487 |
491 |
499 |
503 |
509 |
521 |
523 |
541 |
547 |
557 |
563 |
569 |
571 |
577 |
587 |
593 |
599 |
601 |
607 |
613 |
617 |
619 |
631 |
641 |
643 |
647 |
653 |
659 |
661 |
673 |
677 |
683 |
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701 |
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719 |
727 |
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757 |
761 |
769 |
773 |
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797 |
809 |
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839 |
853 |
857 |
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881 |
883 |
887 |
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911 |
919 |
929 |
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941 |
947 |
953 |
967 |
971 |
977 |
983 |
991 |
997 |
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - क्या संख्या 720 का अभाज्य गुणनखंड अपघटन किसके बराबर है?
ए) 2³। 3². 5
बी) 2²। 3³. 5
सी) 2. 3. 5
डी) 2²। 3. 5³
संकल्प
वैकल्पिक ए.
गुणनखंडन करके, हमें यह करना होगा:
प्रश्न 2 -सही कथन की जाँच करें:
अ) प्रत्येक विषम संख्या अभाज्य होती है।
B) प्रत्येक सम संख्या अभाज्य नहीं होती है।
C) 2 एकमात्र सम संख्या है जो अभाज्य है।
D) 9 एकमात्र विषम संख्या है जो अभाज्य नहीं है।
संकल्प
वैकल्पिक सी.
a) असत्य, क्योंकि विषम अभाज्य और अभाज्य संख्याएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, 3 अभाज्य है, लेकिन 15 नहीं है।
b) असत्य, क्योंकि एक सम संख्या है जो अभाज्य है, संख्या २।
c) सच है, क्योंकि 2 एकमात्र सम संख्या है जो अभाज्य है।
d) गलत, क्योंकि कई अन्य विषम संख्याएँ हैं जो अभाज्य नहीं हैं, जैसे कि 15 उल्लेखित, 21, 39, अन्य।
