फ्रैक्टल्स ऐसी वस्तुएं हैं जहां प्रत्येक भाग वस्तु के समान होता है। इसका मतलब है कि पूरी आकृति के पैटर्न प्रत्येक भाग में केवल छोटे आकार के पैमाने पर दोहराए जाते हैं। स्नोफ्लेक्स भग्न के उदाहरण हैं: परत की प्रत्येक शाखा पूरे परत की तरह दिखती है।
गणित का एक क्षेत्र है जो फ्रैक्टल के अध्ययन के लिए समर्पित है, जिसे फ्रैक्टल ज्योमेट्री कहा जाता है। फ्रैक्टल्स बहुत सुंदर ज्यामितीय आंकड़े बनाते हैं और पैटर्न उत्पन्न करते हैं जिनका उपयोग क्रिप्टोग्राफिक सिस्टम में किया जा सकता है - सिस्टम जो पासवर्ड को एन्कोड करते हैं। फ्रैक्टल का उपयोग करना पासवर्ड को सुरक्षित और क्रैक करना कठिन बनाता है।
फ्रैक्टल का अध्ययन करने वाले पहले गणितज्ञों में से एक फ्रांसीसी थे बेनोइट मंडेलब्रोट और इस क्षेत्र में अध्ययन आज उपलब्ध कम्प्यूटेशनल संसाधनों के साथ बहुत आगे बढ़ गए हैं। ये विशेषताएं छवियों को पुन: पेश करने वाले पैटर्न की पहचान करने के अलावा, बेहतर विज़ुअलाइज़ेशन के लिए छवियों को बड़ा करना संभव बनाती हैं। कम्प्यूटेशनल विधियों द्वारा उत्पन्न फ्रैक्टल्स में, फ्रैक्टल का प्रत्येक बिट मूल छवि की एक प्रति है और इसे प्राप्त किया जा सकता है एक विशिष्ट समीकरण, जैसा कि नीचे दी गई छवियों में देखा जा सकता है, दोनों मंडेलब्रॉट सेट के सापेक्ष हैं और से पानी पिलाया जाता है कंप्यूटर।
मैंडलब्रॉट सेट का ग्राफ
मंडेलब्रॉट सेट की विविधता का ग्राफ
प्रकृति में, छवियों के कई उदाहरण हैं जो भग्न के बहुत करीब आते हैं, जैसे कि फर्न की पत्तियां या ब्रोकोली की संरचना। ध्यान दें कि प्रत्येक छोटा पत्ता पूरी पत्ती की तरह दिखता है, और प्रत्येक छोटे पत्ते पर हमारे पास संरचनाएं होती हैं जो बड़ी पत्तियों के समान होती हैं। यह प्रजनन ब्रोकोली की कुछ प्रजातियों में भी दिखाई देता है, और विशेष रूप से रोमनस्क्यू प्रकार में, जैसा कि नीचे की छवियों में देखा जा सकता है।
फर्न पत्ता: प्राकृतिक भग्न
रोमनस्क्यू ब्रोकोली: प्राकृतिक भग्न
केवल ज्यामितीय संसाधनों का उपयोग करके भग्न बनाना भी संभव है। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज से प्रारंभ करना और इसे अन्य छोटे त्रिभुजों में विभाजित करना, जो सभी एक दूसरे के समान हैं।
द्वारा फ़्रांसिअली गेडेस
गणित में स्नातक
