उत्तल बहुभुज के आंतरिक और बाह्य कोणों का योग

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आप उत्तल बहुभुज वे हैं जिनकी कोई अवतलता नहीं है। यह देखने के लिए कि बहुभुज उत्तल है या नहीं, हमें यह देखना चाहिए कि आकृति में सिरों वाला कोई भी सरल रेखा खंड बाहरी क्षेत्र से नहीं गुजरता है।

उत्तल बहुभुज में, ऐसे सूत्र होते हैं जो आपको आंतरिक और बाहरी कोणों का योग निर्धारित करने की अनुमति देते हैं। चेक आउट!

उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग

का सूत्र उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग sum n पक्षों के साथ है:

$\dpi{120} \mathbf{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}}$

प्रदर्शन:

यदि हम देखें, तो हम देखेंगे कि प्रत्येक उत्तल बहुभुज को एक निश्चित संख्या में त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण देखें:

तो, यह याद रखना कि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° के बराबर होता है, हम देख सकते हैं कि ऊपर दी गई इन आकृतियों में आंतरिक कोणों का योग त्रिभुजों की संख्या से ज्ञात होगा कि आकृति को 180° से गुणा किया जा सकता है:

अहाता: 2 त्रिकोण $\dpi{120} \mathrm{S_i = 2\cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}}$
पेंटागन: 3 त्रिकोण $\dpi{120} \mathrm{S_i = 3\cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}}$
षट्भुज: 4 त्रिकोण $\dpi{120} \mathrm{S_i = 4\cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}}$

तो उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करने के लिए, हमें केवल यह जानने की जरूरत है, आम तौर पर, उत्तल बहुभुज को कितने त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।

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यदि हम देखें, तो इस मात्रा और आकृतियों की भुजाओं की संख्या के बीच एक संबंध है। त्रिभुजों की संख्या माइनस 2 आकृति की भुजाओं की संख्या के बराबर होती है, अर्थात्:

$\dpi{120} \mathrm{कुल \, \, त्रि\टोपी{a}कोण =n - 2}$

चतुर्भुज: 4 भुजाएँ n - 2 = 4 - 2 = 2
पेंटागन: 5 भुजाएँ n - 2 = 5 - 2 = 3
षट्भुज: 6 भुजाएँ n - 2 = 6 - 2 = 4

तो, सामान्य तौर पर, उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग निम्न द्वारा दिया जाता है: $\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} }$

वह कौन सा सूत्र है जिसे हम प्रदर्शित करना चाहते थे।

उदाहरण:

एक उत्तल समद्विभुज के आंतरिक कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

एक समद्विभुज एक 20 भुजाओं वाला बहुभुज है, अर्थात n = 20। आइए इस मान को सूत्र में बदलें:

$\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} }$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = (20-2)\cdot 180^{\circ} }$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = 18\cdot 180^{\circ} }$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = 3240^{\circ} }$

अत: एक उत्तल समभुज के आंतरिक कोणों का योग 3240° के बराबर होता है।

बहुभुज के बाहरी कोणों का योगum

उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों का योग sum हमेशा 360° के बराबर होता है, अर्थात्:

$\dpi{120} \mathbf{S_e = 360^{\circ}}$

प्रदर्शन:

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हम उदाहरणों के साथ प्रदर्शित करेंगे कि उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों का योग आकृति की भुजाओं की संख्या पर निर्भर नहीं करता है और हमेशा 360° के बराबर होता है।

चतुर्भुज:

अहाता ध्यान दें कि प्रत्येक आंतरिक कोण बाहरी कोण के साथ 180° का कोण बनाता है। अतः, चूँकि चार शीर्ष हैं, सभी कोणों का योग 4 द्वारा दिया जाता है। 180° = 720°.

अर्थात: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 720^{\circ}}$

जल्द ही:

$\dpi{120} \mathrm{ S_e = 720^{\circ} - S_i}$

एक बार $\dpi{120} \mathrm{S_i = 360^{\circ}}$ , तब फिर:

$\dpi{120} \mathrm{ S_e = 720^{\circ} - 360^{\circ} = 360^{\circ} }$

पेंटागन:

पंचभुज में, हमारे पास 5 शीर्ष हैं, इसलिए सभी कोणों का योग 5 द्वारा दिया गया है। 180° = 900°. जल्द ही: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 900^{\circ}}$ . फिर: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 900^{\circ} - S_i}$ . एक बार $\dpi{120} \mathrm{S_i = 540^{\circ}}$ , तब फिर: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 900^{\circ} - 540^{\circ} = 360^{\circ} }$ .

षट्भुज:

षट्भुज में, हमारे पास 6 शीर्ष हैं, इसलिए सभी कोणों का योग 6 द्वारा दिया गया है। 180° = 1080°. जल्द ही: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 1080^{\circ}}$ . फिर: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 1080^{\circ} - S_i}$ . एक बार $\dpi{120} \mathrm{S_i = 710^{\circ}}$ , तब फिर: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 1080^{\circ} - 720^{\circ} = 360^{\circ} }$ .

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीनों उदाहरणों में, बाहरी कोणों का योग, $\dpi{120} \mathrm{S_e}$ , जिसके परिणामस्वरूप 360° हो गया।

उदाहरण:

एक बहुभुज के अंदर और बाहर के कोणों का योग 1800° के बराबर होता है। यह बहुभुज क्या है?

हमारे पास है: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 1800^{\circ}}$ . यह जानते हुए कि किसी भी बहुभुज में $\dpi{120} \mathrm{S_e = 360^{\circ}}$ , तो हमारे पास हैं: