फैक्टोरियल नंबर अभ्यास

कारक संख्या धनात्मक पूर्णांक हैं जो स्वयं संख्या और उसके सभी पूर्ववर्तियों के बीच के गुणनफल को दर्शाते हैं।

के लिये $\dpi{120} n\geq 2$ , हमें करना ही होगा:

$\dpi{120} \boldsymbol{n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 2\cdot 1}$

के लिये $\dpi{120} n = 0$ तथा $\dpi{120} n =1$ , भाज्य को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$\dpi{120} \boldsymbol{0! = 1}$
$\dpi{120} \boldsymbol{1!=1}$

इन नंबरों के बारे में अधिक जानने के लिए देखें a भाज्य संख्या अभ्यासों की सूची, सब संकल्प के साथ!

सूची

फैक्टोरियल नंबर अभ्यास
प्रश्न 1 का समाधान
प्रश्न 2 का समाधान
प्रश्न 3 का समाधान
प्रश्न 4. का समाधान
प्रश्न 5. का समाधान
प्रश्न 6. का समाधान
प्रश्न 7 का समाधान
प्रश्न 8 का समाधान

फैक्टोरियल नंबर अभ्यास

प्रश्न 1। के भाज्य की गणना करें:

ए) 4
बी) 5
ग) 6
घ) 7

प्रश्न 2। का मान ज्ञात कीजिए:

ए) 5! + 3!
बी) ६! – 4!
ग) 8! – 7! + 1! – 0!

प्रश्न 3। संचालन हल करें:

ए) 8!. 8!
बी) 5! – 2!. 3!
ग) 4!. (1 + 0)!

प्रश्न 4. फैक्टोरियल के बीच विभाजन की गणना करें:

द) $\dpi{120} \frac{10!}{9!}$

बी) $\dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!}$

सी) $\dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!}$

प्रश्न 5. किया जा रहा है $\dpi{120} a\in \mathbb{Z}$ , $\dpi{120} a> 0$ , एक्सप्रेस $\dpi{120} (ए+5)!$ भर में $\dpi{120} ए!$

प्रश्न 6. निम्नलिखित अनुपातों को सरल कीजिए:

द) $\dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!}$

बी) $\dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!}$

सी) $\dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}$

प्रश्न 7. प्रश्न हल करें:

$\dpi{120} 12x! +5(x + 1)! = (एक्स + 2)!$

प्रश्न 8. भागफल को सरल कीजिए:

$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2)! + (एक्स + 1)! + एक्स!}$

प्रश्न 1 का समाधान

क) 4 का भाज्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

4! = 4. 3. 2. 1 = 24

बी) 5 का भाज्य द्वारा दिया जाता है:

5! = 5. 4. 3. 2. 1

instagram story viewer

जैसे 4. 3. 2. 1 = 4!, हम 5 को फिर से लिख सकते हैं! तरह से:

5! = 5. 4!

हम पहले ही देख चुके हैं कि 4! = 24, तो:

5! = 5. 24 = 120

ग) 6 का भाज्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1

जैसे 5. 4. 3. 2. 1 = 5!, हम 6 को फिर से लिख सकते हैं! निम्नलिखित नुसार:

6! = 6. 5! = 6. 120 = 720

d) 7 का भाज्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1

जैसे 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6!, हम 7 को फिर से लिख सकते हैं! तरह से:

7! = 7. 6! = 7. 720 = 5040

प्रश्न 2 का समाधान

ए) 5! + 3! = ?

भाज्य संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय, हमें संक्रिया करने से पहले प्रत्येक भाज्य की गणना करनी चाहिए।

5 की तरह! = 120 और 3! = 6, तो हमें यह करना होगा:

5! + 3! = 120 + 6 = 126

बी) ६! – 4! = ?

6 की तरह! = 720 और 4! = 24, हमें यह करना होगा:

6! – 4! = 720 – 24 = 696

ग) 8! – 7! + 1! – 0! = ?

8 की तरह! = 40320, 7! = 5040, 1! = 1 और 0! = 1, हमें करना है:

8! – 7! + 1! – 0! = 40320 – 5040 + 1 – 1 = 35280

प्रश्न 3 का समाधान

ए) 8!. 8! = ?

भाज्य संख्याओं के गुणन में, हमें भाज्यों की गणना करनी चाहिए और फिर उनके बीच गुणा करना चाहिए।

8 की तरह! = 40320, तो हमें यह करना होगा:

8!. 8! = 40320. 40320 = 1625702400

बी) 5! – 2!. 3! = ?

5 की तरह! = 120, 2! = 2 और 3! = 6, हमें यह करना होगा:

5! – 2!. 3! = 120 – 2. 6 = 120 – 12 = 108

कुछ निःशुल्क पाठ्यक्रम देखें

मुफ्त ऑनलाइन समावेशी शिक्षा पाठ्यक्रम
मुफ़्त ऑनलाइन टॉय लाइब्रेरी और लर्निंग कोर्स
मुफ़्त ऑनलाइन प्रीस्कूल गणित खेल कोर्स
मुफ्त ऑनलाइन शैक्षणिक सांस्कृतिक कार्यशाला पाठ्यक्रम

ग) 4!. (1 + 0)! = 4!. 1! = ?

4 की तरह! = 24 और 1! = 1, तो हमें यह करना होगा:

4!. 1! = 24. 1 = 24

प्रश्न 4. का समाधान

द) $\dpi{120} \frac{10!}{9!}$ = ?

भाज्य संख्याओं को विभाजित करने में हमें भाग को हल करने से पहले भाज्य की गणना भी करनी चाहिए।

10 की तरह! = ३६२८८०० और ९! = 362880, इसलिए, $\dpi{120} \frac{10!}{9!} = \frac{3628800}{362880} = 10$ .

हालाँकि, भाग में, हम अंश और हर में समान पदों को रद्द करके भाज्य को सरल बना सकते हैं। यह प्रक्रिया कई गणनाओं की सुविधा प्रदान करती है। देखो:

10 की तरह! = 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 10. 9!, हमें यह करना होगा:

$\dpi{120} \frac{10!}{9!} = \frac{10\cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!}} = 10$

बी) $\dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!}$ = ?

$\dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{\रद्द करें {4!}} = 30$

सी) $\dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!}$ = ?

$\dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!} = \frac{20!}{(19 + 1 - 1)!} = \frac{20!}{19!} = \frac{20\cdot \cancel{19!}}{\ रद्द करें{19!}} = 20$

प्रश्न 5. का समाधान

याद है कि $\डीपीआई{120} एन! = एन. (एन - 1)!$ , हम फिर से लिख सकते हैं $\dpi{120} (ए+5)!$ तरह से:

$\dpi{120} (ए+5)! = (ए + 5)। (ए + 5 - 1)! = (ए + 5)। (ए + 4)!$

इस प्रक्रिया का पालन करते हुए, हमें यह करना होगा:

$\dpi{120} (ए+5)! = (ए + 5)। (ए + 4)। (ए + 3)। (ए + 2)। (ए + 1)। द!$

प्रश्न 6. का समाधान

द) $\dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!}$ = ?

हम अंश को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

$\dpi{120} (n+1)! = (एन+1)।(एन+1 - 1)! = (एन+1).एन!$

इस तरह, हम इस अवधि को रद्द करने में सक्षम थे $\डीपीआई{120} एन!$ , भागफल को सरल बनाना:

$\dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1).\cancel{n!}}{\cancel{n!}} = n+1$

बी) $\dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!}$ = ?

हम अंश को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

$\डीपीआई{120} एन! = एन। (एन -1)!$

इस प्रकार, हम शब्द को रद्द करने में सक्षम थे $\डीपीआई{120} एन!$ , भागफल को सरल बनाना:

$\dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n. \रद्द करें{(n-1)!}}{\रद्द करें{(n-1)!}} = n$

सी) $\dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}$ = ?

हम अंश को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

$\dpi{120} (n+3)! = (एन+3)।(एन+2)।(एन+1)। नहीं न!$

इस प्रकार, हम भागफल से कुछ पदों को रद्द कर सकते हैं:

$\dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}= \frac{\cancel{(n+3).(n+) 2).(n+1)}.n!}{\cancel{(n+3).(n+2).(n+1)}} = n!$

प्रश्न 7 का समाधान

प्रश्न हल करें $\dpi{120} 12x! +5(x + 1)! = (एक्स + 2)!$ का अर्थ है के मूल्यों का पता लगाना $\डीपीआई{120} x$ जिसके लिए समानता सत्य है।

आइए समीकरण को सरल बनाने के प्रयास में, फैक्टोरियल के साथ शब्दों को विघटित करके शुरू करें:

$\dpi{120} 12x! +5(x + 1)! = (एक्स + 2)!$

$\dpi{120} \Rightarrow 12x! +5(x + 1).x! = (एक्स + 2)। (एक्स + 1)। एक्स!$

दोनों पक्षों को विभाजित करके $\dpi{120} x!$ , हम समीकरण से भाज्य को समाप्त करने में कामयाब रहे:

$\dpi{120} \frac{12\cancel{x!}}{\cancel{x!}} + \frac{5(x + 1).\cancel{x!}}{\cancel{x!}} = \frac{(x + 2).(x+1).\cancel{x!}}{\cancel{x!}}$

$\dpi{120} \दायां तीर 12 + 5(x + 1) = (x + 2).(x+1)$

कोष्ठक में पदों को गुणा करके और समीकरण को व्यवस्थित करके, हमें यह करना होगा:

$\dpi{120} 12 + 5x + 5 = x^2 + x + 2x + 2$

$\dpi{120} x^2 - 2x - 15 = 0$

यह है एक दूसरी डिग्री समीकरण. से भास्कर सूत्र, हम जड़ें निर्धारित करते हैं:

$\dpi{120} x = 5 \, \mathrm{या}\, x = -3$

फैक्टोरियल की परिभाषा के अनुसार, $\डीपीआई{120} x$ नकारात्मक नहीं हो सकता, इसलिए, $\dpi{120} x = 5$ .

प्रश्न 8 का समाधान

$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2)! + (एक्स + 1)! + एक्स!}$

पसंद $\dpi{120} (x+2)! = (x+2).(x+1).x!$ तथा $\dpi{120} (x+1)! = (एक्स+1).एक्स!$ , हम भागफल को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2).(x+1).x! + (एक्स + 1)। एक्स! + एक्स!}$

जैसा कि हर के तीन भागों में पद है $\dpi{120} x!$ , हम इसे हाइलाइट कर सकते हैं और रद्द कर सकते हैं $\dpi{120} x!$ जो अंकगणित में दिखाई देता है।

$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot \cancel{x!}}{[(x+2).(x+1) + (x + 1) + 1].\cancel{ एक्स!}}$

अब, हम वे ऑपरेशन करते हैं जो हर में बचे हैं:

$\dpi{120} (x+2).(x+1) + (x + 1) + 1 = x^2 + x +2x+2 +(x+1) + 1 = x^2 +4x +4$

तो हमारे पास:

$\dpi{120} \frac{(x+2)^3}{x^2 + 4x + 4}$

पसंद $\dpi{120} x^2 + 4x + 4 = (x +2)^2$ , तो, भागफल को सरल बनाया जा सकता है:

$\dpi{120} \frac{(x+2)^{\cancel{3}}}{\cancel{(x+2)^2}}=x +2$

आपकी रुचि भी हो सकती है:

फैक्टोरियल संचालन
व्यवस्था और संयोजन
संयुक्त विश्लेषण
सांख्यिकी अभ्यास
संभाव्यता अभ्यास

पासवर्ड आपके ईमेल पर भेज दिया गया है।

फैक्टोरियल नंबर अभ्यास

फैक्टोरियल नंबर अभ्यास

प्रश्न 1 का समाधान

प्रश्न 2 का समाधान

प्रश्न 3 का समाधान

प्रश्न 4. का समाधान

प्रश्न 5. का समाधान

प्रश्न 6. का समाधान

प्रश्न 7 का समाधान

प्रश्न 8 का समाधान

$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2).(x+1).x! + (एक्स + 1)। एक्स! + एक्स!}$

$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot \cancel{x!}}{[(x+2).(x+1) + (x + 1) + 1].\cancel{ एक्स!}}$

मोलस्क: फाइलम मोलस्का, वे क्या हैं, विशेषताएँ, वर्गीकरण, उदाहरण

जेनेटिक इंजीनियरिंग के सकारात्मक प्रभाव

औद्योगिक क्रांति के बारे में 18 प्रश्न (प्रतिक्रिया के साथ)