दो सदिशों के बीच का कोण

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गणित या भौतिकी में, वैक्टर वो हैं सीधे खंड दिशा, दिशा और लंबाई के साथ, जो बल, वेग और त्वरण जैसी मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है।

वेक्टर प्रक्षेपवक्र को इंगित करते हैं और एक समन्वय प्रणाली (x, y) का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। बिंदु (0,0) को खंड का मूल मानते हुए, नीचे दिया गया चित्र एक वेक्टर दिखाता है $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}}$ जिसका अंत बिंदु है $\dpi{120} \boldsymbol{ $x_1, y_1$}$ .

संकेतन: $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ .

दीक्षित $\dpi{120} \boldsymbol{x_1}$ क्षैतिज घटक और भुज कहा जाता है $\dpi{120} \boldsymbol{y_1}$ , ऊर्ध्वाधर घटक का।

अब विचार करें, सदिश के अलावा $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ , एक और वेक्टर $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $x_2, y_2$}$ और उनके बीच एक कोण बनता है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

वैक्टर के बीच के इस कोण की गणना एक सूत्र द्वारा की जा सकती है जिसमें वैक्टर और प्रत्येक वेक्टर के मानदंड (लंबाई) के बीच डॉट उत्पाद शामिल होता है।

दो सदिशों के बीच का कोण

दो वेक्टर पासा $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ तथा $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $x_2, y_2$}$ , कोण की कोज्या $\dpi{120} \boldsymbol{\theta}$ उनमें से वैक्टर और उनके मानकों के बीच आंतरिक उत्पाद से संबंधित है:

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{\बाएं \langle \vec{u}, \vec{v} \right \rangle}{\|\vec{u} \|.\| \vec{v} \| }}$

भिन्न का अंश सदिशों के बीच का आंतरिक गुणनफल होता है, जो निम्न द्वारा दिया जाता है:

$\dpi{120} \boldsymbol{\बाएं \lange \vec{u}, \vec{v} \, \right \rangle = x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}$

और भाजक प्रत्येक वैक्टर के मानकों के बीच का उत्पाद है, जो इस प्रकार है:

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$\dpi{120} \boldsymbol{\|\vec{u}\|= \sqrt{(x_1)^2+ (y_1)^2}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\|\vec{v}\|= \sqrt{(x_2)^2+ (y_2)^2}}$

प्रतिस्थापन करके, हमने सत्यापित किया कि दो सदिशों के बीच कोण सूत्र é:

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}{\sqrt{(x_1)^2+(y_1)^2} \cdot \sqrt{(x_2 ) )^2+(y_2)^2}}}$

उदाहरण:

वैक्टर के बीच के कोण की गणना करें $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $2,4$}$ तथा $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $5,3$}$ .

सूत्र में मानों को लागू करते हुए, हमें यह करना होगा:

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{2\cdot 5+4\cdot 3}{\sqrt{(2)^2+(4)^2} \cdot \sqrt{(5 )^2+(3)^2}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{10+12}{\sqrt{4+16} \cdot \sqrt{25+9}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{22}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{34}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{\theta = cos^{-1}\left (\frac{22}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{34}} \right )}$

कैलकुलेटर या a. का उपयोग करना त्रिकोणमितीय तालिका, हम देख सकते हैं कि:

$\dpi{120} \boldsymbol{ \theta = 32.47^{\circ}}$

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