कारण और अनुपात पर व्यायाम

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गणित में, जब हम दो राशियों की तुलना करना चाहते हैं, तो हम उनके संबंधित मापों के बीच भागफल की गणना करते हैं। इस भागफल को कहा जाता है कारण.

दो कारणों के बीच समानता कहलाती है अनुपात और, मात्राओं के बीच भिन्नता के अनुपात के अनुसार, हमारे पास मात्राएँ सीधे या व्युत्क्रमानुपाती हो सकती हैं।

सीधे आनुपातिक मात्रा: जब उनमें से एक में वृद्धि से दूसरे में वृद्धि होती है, या एक में कमी से दूसरे में कमी आती है।
अप्रत्यक्ष रूप से आनुपातिक मात्रा: जब उनमें से एक के बढ़ने से दूसरे की कमी हो जाती है, या जब उनमें से एक की कमी से दूसरे की वृद्धि हो जाती है।

अधिक जानने के लिए, देखें a अनुपात और अनुपात के बारे में हल किए गए अभ्यासों की सूची, जिसे हमने तैयार किया था।

सूची

अनुपात और अनुपात पर अभ्यासों की सूची
प्रश्न 1 का समाधान
प्रश्न 2 का समाधान
प्रश्न 3 का समाधान
प्रश्न 4. का समाधान
प्रश्न 5. का समाधान
प्रश्न 6. का समाधान
प्रश्न 7 का समाधान
प्रश्न 8 का समाधान

अनुपात और अनुपात पर अभ्यासों की सूची

प्रश्न 1। 50 सेंटीमीटर के बराबर भुजाओं वाले एक वर्ग के क्षेत्रफल और 1.5 मीटर के बराबर भुजाओं वाले वर्ग के बीच का अनुपात निर्धारित करें। प्राप्त संख्या की व्याख्या करें।

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प्रश्न 2। 15 प्रश्नों वाली गणित की परीक्षा में, एडुआर्डा को 12 अंक मिले। टेस्ट में एडुआर्डा का प्रदर्शन क्या था?

प्रश्न 3। दो शहरों के बीच की दूरी 180 किलोमीटर है, लेकिन एक नक्शे पर इस दूरी को 9 सेमी द्वारा दर्शाया गया था। इस मानचित्र में किस पैमाने का प्रयोग किया गया है? प्राप्त पैमाने की व्याख्या करें।

प्रश्न 4. जाँच करें कि क्या नीचे दिए गए कारण एक अनुपात बनाते हैं:

द) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{3}{8} \: \mathrm{e }\: \frac{9}{24}$

बी) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{2}{5} \: \mathrm{e }\: \frac{18}{25}$

सी) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{150}{50} \: \mathrm{e }\: \frac{12}{4}$

प्रश्न 5. का मान ज्ञात कीजिए $\dpi{100} \bg_white \बड़ा x$ निम्नलिखित में से प्रत्येक अनुपात में:

द) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{x}{7}= \frac{9}{63}$

बी) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{8}{32}= \frac{2}{x}$

सी) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{2}{10}= \frac{3}{2x}$

घ) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{3,7}{11}= \frac{x}{55}$

तथा) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{2}{9}= \frac{x + 8}{x + 50}$

प्रश्न 6. का मान ज्ञात कीजिए $\dpi{100} \bg_white \बड़ा x$ निम्नलिखित अनुपात में:

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{x}{6} = \frac{24}{x}$

प्रश्न 7. ब्रेड रेसिपी बनाने के लिए 750 ग्राम गेहूं के आटे के लिए 3 अंडे चाहिए। 5 किलो आटे के लिए कितने अंडे चाहिए।

प्रश्न 8. एक काम खत्म करने के लिए, 15 कर्मचारी 30 दिन बिताते हैं। 9 श्रमिकों ने इसी कार्य को पूरा करने में कितने दिन व्यतीत किए?

प्रश्न 1 का समाधान

हमारे पास एक वर्ग है जिसकी भुजा 50 सेमी के बराबर है और एक वर्ग जिसकी भुजा 1.5 मीटर है।

हमें उसी इकाई में माप की आवश्यकता है। तो, आइए 1.5 मीटर को सेंटीमीटर में बदलें:

1.5 x 100 सेमी = 150 सेमी

यानी 1.5 मीटर = 150 सेमी।

अब, गणना करते हैं क्षेत्र प्रत्येक वर्ग के:

एक वर्ग क्षेत्र वर्ग भुजा के माप द्वारा दिया जाता है:

एल = 50 सेमी क्षेत्रफल = 2500 सेमी

एल = 150 सेमी क्षेत्रफल = 22500 सेमी

इस प्रकार, वर्ग के क्षेत्रफल के बीच का अनुपात 50 सेमी के बराबर है और वर्ग का क्षेत्रफल 150 सेमी के बराबर है:

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा Raz\tilde{a}o = \frac{2500}{22500} = \frac{1}{9}$

व्याख्या: १.५ मीटर के बराबर भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल ५० सेमी के बराबर भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल का ९ गुना है।

प्रश्न 2 का समाधान

आइए एडुआर्डा द्वारा सही किए गए प्रश्नों की संख्या और परीक्षण में प्रश्नों की संख्या के बीच अनुपात की गणना करें:

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा Raz\tilde{a}o = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

इस अनुपात का अर्थ है कि प्रत्येक 5 प्रश्नों के लिए, एडुआर्डा को 4 सही मिले और 4/5 = 0.8 के रूप में, इसलिए परीक्षण में एडुआर्डा का उपयोग 80% था।

प्रश्न 3 का समाधान

स्केल ड्राइंग में लंबाई और वास्तविक लंबाई के बीच एक विशेष प्रकार का अनुपात है।

हमारे पास है:

मानचित्र पर दूरी = 9 सेमी

वास्तविक दूरी = 180 किमी

सबसे पहले, हमें दोनों उपायों को एक ही इकाई में व्यक्त करना चाहिए। आइए 180 किमी को सेंटीमीटर में बदलें:

१८० x १००००० सेमी = १८० ००००० सेमी

अत: 180 किमी = 180 00000 सेमी.

अब, पैमाने की गणना करते हैं:

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा पैमाना = \frac{9}{18000000} = \frac{1}{2000000}$

व्याख्या: मानचित्र पर उपयोग किया गया पैमाना 1: 2000000 था, इसका अर्थ है कि मानचित्र पर 1 सेमी वास्तविक दूरी में 2000000 सेमी के अनुरूप है।

प्रश्न 4. का समाधान

एक अनुपात दो अनुपातों के बीच एक समानता है और अनुपात के गुणों में से एक यह है कि चरम पदों का उत्पाद मध्य पदों के उत्पाद के बराबर है।

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इस प्रकार, यह पता लगाने के लिए कि क्या दो अनुपात एक अनुपात बनाते हैं, यह गुणा करने और यह जांचने के लिए पर्याप्त है कि प्राप्त परिणाम समान है या नहीं।

द) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{3}{8} \: \mathrm{e }\: \frac{9}{24}$

3. 24 = 72

9. 8 = 72

परिणाम दोनों उत्पादों के लिए समान है, इसलिए अनुपात एक अनुपात बनाते हैं।

बी) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{2}{5} \: \mathrm{e }\: \frac{18}{25}$

2. 25 = 50

18. 5 = 90

परिणाम दोनों उत्पादों के लिए समान नहीं है, इसलिए अनुपात अनुपात नहीं बनाते हैं।

सी) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{150}{50} \: \mathrm{e }\: \frac{12}{4}$

150. 4 = 600

12. 50 = 600

परिणाम दोनों उत्पादों के लिए समान है, इसलिए अनुपात एक अनुपात बनाते हैं।

प्रश्न 5. का समाधान

x का मान निर्धारित करने के लिए, बस क्रॉस को गुणा करें और संबंधित समीकरण को हल करें।

द) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{x}{7}= \frac{9}{63}$

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा 63\cdot x = 7 \cdot 9\Rightarrow 63\cdot x = 63 \Rightarrow x = \frac{63}{63} \Rightarrow x = 1$

बी) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{8}{32}= \frac{2}{x}$

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा 8\cdot x = 2 \cdot 32\Rightarrow 8\cdot x = 64 \Rightarrow x = \frac{64}{8} \Rightarrow x = 8$

सी) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{2}{10}= \frac{3}{2x}$

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा 2\cdot 2x = 3 \cdot 10\Rightarrow 4\cdot x = 30\Rightarrow x = \frac{30}{4} \Rightarrow x = 7.5$

घ) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{3,7}{11}= \frac{x}{55}$

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा 11\cdot x = 3.7 \cdot55\Rightarrow 11\cdot x = 203.5 \Rightarrow x = \frac{203.5}{11} \Rightarrow x = 18.5$

तथा) $\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{2}{9}= \frac{x + 8}{x + 50}$

$\dpi{100} \बड़ा 2\cdot (x + 50) = 9 \cdot (x + 8)\Rightarrow 2x + 100 = 9x + 72x$

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा \Rightarrow 7x = 28 \Rightarrow x = \frac{28}{7} \Rightarrow x = 4$

प्रश्न 6. का समाधान

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{x}{6} = \frac{24}{x}$

क्रॉस को गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा x\cdot x = 24 \cdot 6\Rightarrow x^2 = 144\Rightarrow x = \sqrt{144} \Rightarrow x = \pm 12$

प्रश्न 7 का समाधान

सबसे पहले, आइए एक ही इकाई में दो आटे के माप लिखें। आइए 5 किलो को ग्राम में बदलें:

5 x 1000 ग्राम = 5000 ग्राम

तो 5 किलो = 5000 ग्राम।

हमारे पास अज्ञात मान वाला अनुपात है:

3 अंडे → 750 ग्राम आटा

x अंडे → 5000 ग्राम आटा

अर्थात,

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{3}{x} = \frac{750}{5000}$

आइए x का मान ज्ञात करने के लिए क्रॉस को गुणा करें:

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा 750\cdot x = 3\cdot 5000\Rightarrow 750 \cdot x = 15000\Rightarrow x = \frac{15000}{750} \Rightarrow x = 20$

तो, 5 किलो गेहूं के आटे के लिए 20 अंडे की जरूरत होगी।

प्रश्न 8 का समाधान

हमारे पास अज्ञात मान वाला अनुपात है:

१५ कर्मचारी → ३० दिन

9 कर्मचारी → x दिन

ध्यान दें कि जब श्रमिकों की संख्या कम हो जाती है, तो काम पूरा करने के लिए दिनों की संख्या बढ़नी चाहिए। इस प्रकार, अनुपात अप्रत्यक्ष रूप से आनुपातिक हैं और हमें उनमें से किसी एक के अंश और हर के क्रम को बदलना होगा:

$\dpi{100} \bg_white \बड़ा \frac{15}{9} = \frac{x}{30}$