एक समीकरण क्या है?

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समीकरण एक बीजीय व्यंजक है जिसमें एक समानता होती है। यह लोगों को उन समस्याओं का समाधान खोजने में मदद करने के लिए बनाया गया था जहां कोई संख्या ज्ञात नहीं है। यह जानते हुए कि दो क्रमागत संख्याओं का योग 11 के बराबर है, उदाहरण के लिए, समीकरणों का उपयोग करके इन दो संख्याओं को खोजना संभव है।

हल करना सीखने से पहले समीकरण, ऊपर दी गई परिभाषा का अर्थ समझना चाहिए।

बीजीय व्यंजक

बीजीय व्यंजक ज्ञात और अज्ञात दोनों संख्याओं पर लागू बुनियादी गणितीय संक्रियाओं का एक समूह है। इन अज्ञात संख्याओं को दर्शाने के लिए अक्षरों का प्रयोग किया जाता है। एक्स और वाई अक्षरों का उपयोग करना अधिक आम है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि वे केवल वही हैं। कुछ मामलों में, ग्रीक वर्णमाला के अक्षरों और यहां तक कि विभिन्न प्रतीकों का भी उपयोग किया जाता है।

नीचे दिए गए बीजीय व्यंजकों के उदाहरणों पर ध्यान दें:

१) १२x² + 16y + 4ab

2) एक्स + वाई

३) ४ + ७वें

इन सभी व्यंजकों में संख्याओं और संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले अक्षर जोड़े और गुणा किए जा रहे हैं।

समानता

सब बीजगणतीय अभिव्यक्ति जिनके पास एक है समानता इसकी संरचना में इसे एक समीकरण कहा जाएगा। कुछ उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

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1) एक्स + 2 = 7

2) 12x² + 16y + 4ab = 7

3) 1:x = 3

समानता वह है जो आपको a. के परिणाम खोजने की अनुमति देता है समीकरण. यह समानता है जो इसके परिणाम के साथ कुछ संख्याओं पर लागू गणितीय संक्रिया से संबंधित है। इसलिए, समीकरण के परिणामों की तलाश में समानता महत्वपूर्ण है।

उदाहरण के लिए: समीकरण x – 14 = 8 दिया गया है, x का मान क्या है?

अब हम जानते हैं कि x एक ऐसी संख्या है जिसे 14 से घटाने पर 8 प्राप्त होता है। ध्यान दें कि "आपके दिमाग में" परिणाम के बारे में सोचना संभव है या इसे हल करने की रणनीति के बारे में सोचना संभव है समीकरण. रणनीति निम्नानुसार प्राप्त की जा सकती है: यदि x एक संख्या है, जिसे 14 से घटाया जाता है, तो परिणाम 8 होता है, तो x को खोजने के लिए, केवल 14 से 8 जोड़ें। इस प्रकार, हम तर्क की निम्नलिखित पंक्ति लिख सकते हैं:

एक्स - 14 = 8

एक्स = 8 + 14

एक्स = 22

१४ और ८ को एक साथ जोड़ने पर, हमारे पास परिणाम के रूप में २२ हैं।

एक समीकरण की डिग्री

हे एक समीकरण की डिग्री यह अज्ञात की मात्रा से संबंधित है। हम कहते हैं कि एक समीकरण घात 1 का होता है जब उसके अज्ञातों का सबसे बड़ा घातांक 1 होता है। एक समीकरण में डिग्री 2 होती है जब उसके अज्ञात का सबसे बड़ा घातांक 2 होता है, और इसी तरह। ग्रेड के उत्पाद द्वारा भी दिया जा सकता है गुप्त बहुत अलग। उदाहरण के लिए, समीकरण xy + 2 = y घात 2 का एक समीकरण है क्योंकि इसमें घातांक 1 के दो अज्ञात के बीच एक गुणनफल होता है।

हे एक समीकरण की डिग्री निर्धारित करता है कि समीकरण के कितने हल हैं। इस प्रकार, डिग्री 1 के समीकरण का केवल 1 परिणाम होता है (अज्ञात के लिए एक संभावित मान); डिग्री 2 के समीकरण के दो परिणाम होते हैं, और इसी तरह।

समीकरणों का हल

ए. की संकल्प रणनीतियों में से एक समीकरण उपरोक्त विचार का उपयोग करता है। ध्यान दें कि, दो समीकरणों (x - 14 = 8 और x = 8 + 14) को देखते हुए, यह कल्पना करना संभव है कि संख्या 14 के पक्ष बदल गए हैं। समानता एक साइड इफेक्ट के साथ: इसने अपना संकेत नकारात्मक से सकारात्मक में बदल दिया। यह हल करने के नियमों में से एक है समीकरण जो नीचे सूचीबद्ध हैं:

नियम 1 - समानता के दाहिने तरफ, केवल वे संख्याएँ जिनमें अज्ञात नहीं रहता है; बाईं ओर, उनके पास केवल संख्याएँ हैं;

नियम २ - संख्याओं को बग़ल में बदलने के लिए, अज्ञात होने या न होने पर, उनका चिन्ह बदलना आवश्यक है;

नियम ३ - चरण 1 और 2 के बाद, संभव गणनाएँ करें। याद रखें कि जिन संख्याओं में अज्ञात है उन्हें एक साथ जोड़ा जा सकता है यदि अज्ञात समान है। ऐसा करने के लिए, बस उनके साथ आने वाली संख्या जोड़ें।

नियम 4 - अंत में, अज्ञात को अलग किया जाना चाहिए। इसके लिए, इसके साथ आने वाली संख्या को इसके घटकों को विभाजित करने वाले समीकरण के दाईं ओर पास किया जाना चाहिए।

नियम 5 - यदि किसी भिन्न के हर में किसी संख्या की भुजाओं को बदलना आवश्यक है, तो उसे गुणा करके दूसरी तरफ जाना चाहिए।

उदाहरण

1) समीकरण 4x + 4 = 2x - 8 में x का मान क्या है?

समाधान: पहले और दूसरे नियमों का पालन करते हुए, हम तर्क की निम्नलिखित पंक्ति प्राप्त करेंगे:

4x + 4 = 2x - 8

4x - 2x = - 8 - 4

अब, प्राप्त करने के लिए तीसरा नियम निष्पादित करें:

2x = - 12

अंत में, नियम 4 का पालन करें:

2x = - 12

एक्स = –12
2

एक्स = - 6

अतः x का मान - 6 है।

2) यह जानते हुए कि दो क्रमागत संख्याओं का योग 11 के बराबर होता है, ये दो संख्याएँ क्या हैं?

समाधान: ध्यान दें कि संख्याएं अज्ञात हैं, लेकिन वे लगातार हैं। क्रमागत होने का अर्थ है कि दूसरी पहली की तुलना में एक बड़ी इकाई है। उदाहरण के लिए, 1 और 2 क्रमागत हैं क्योंकि 2 एक इकाई है जो 1 से बड़ी है। यदि क्रमागत संख्याएं अज्ञात हैं, तो हम उन्हें एक अक्षर (इस मामले में x) द्वारा निरूपित करेंगे और दूसरा प्राप्त करने के लिए पहले में 1 जोड़ेंगे। साथ ही, यह जानते हुए कि दोनों के बीच का योगफल 11 है, हम लिख सकते हैं:

एक्स + (एक्स + 1) = 11

एक्स + एक्स + 1 = 11

नियम 1 और 2 से, प्राप्त करें:

एक्स + एक्स = 11 - 1

नियम 3 के अनुसार, परिणाम नोट करें:

2x = 10

नियम 4 का उपयोग करते हुए, प्राप्त करें:

2x = 10

एक्स = 10
2

एक्स = 5

चूँकि x पहली संख्या को निरूपित करता है, तो 11 तक जोड़ने वाली क्रमागत संख्याएँ 5 और 6 हैं।

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक