कोसाइन कानून क्या है?

कोज्या कानून है त्रिकोणमितीय संबंध पक्षों को जोड़ने के लिए प्रयोग किया जाता है और कोणों एक पर त्रिकोण कोई भी, यानी वह त्रिभुज जिसमें जरूरी नहीं कि एक समकोण हो। हाइलाइट किए गए उपायों के साथ निम्नलिखित त्रिभुज ABC पर ध्यान दें:

कानूनसेकोसाइन निम्नलिखित में से किसी एक द्वारा दिया जा सकता है: भाव:

² = बी² + सी² - २·बी·सी·कॉसα

ख² = द² + सी² - २·a·c·cosβ

सी² = बी² + द² - २ · बी · ए · कोसθ

अवलोकन: इन तीन सूत्रों को याद करने की आवश्यकता नहीं है। बस इतना जान लो कि कानूनसेकोसाइन हमेशा बनाया जा सकता है। ध्यान दें, पहले व्यंजक में, कि α भुजा के सम्मुख कोण है जिसका माप द्वारा दिया गया है . हम सूत्र को कोण के विपरीत दिशा में वर्ग के साथ शुरू करते हैं जिसका उपयोग गणना में किया जाएगा। यह अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होगा, जो दो भुजाओं के गुणनफल का दोगुना है जो इस कोण के विपरीत नहीं हैं। कोज्या α का।

इस प्रकार, उपरोक्त तीन सूत्रों को कम किया जा सकता है:

² = बी² + सी² - २·बी·सी·कॉसα

जब तक हम जानते हैं कि "द" "α" के विपरीत दिशा में माप है, और "बी" और "सी" अन्य दो पक्षों के माप हैं त्रिकोण.

प्रदर्शन

देखते हुए त्रिकोण निम्नलिखित आकृति में हाइलाइट किए गए उपायों के साथ कोई भी एबीसी:

त्रिभुज ABC की ऊँचाई BD द्वारा निर्मित त्रिभुज ABD और BCD पर विचार करें। का उपयोग करते हुए पाइथागोरस प्रमेय एबीडी में, हमारे पास होगा:

सी² = एक्स² + एच²

एच² = सी² - एक्स²

के लिए समान प्रमेय का उपयोग करना त्रिकोण बीसीडी, हमारे पास होगा:

² = y² + एच²

एच² = द² - आप²

यह जानते हुए कि वहाँ है² = सी² - एक्स², हमारे पास होगा:

सी² - एक्स² = द² - आप²

सी² - एक्स² + y² = द²

² = सी² - एक्स² + y²

तस्वीर में ध्यान दें त्रिकोण जहाँ b = x + y, जहाँ y = b - x। इस मान को पहले प्राप्त परिणाम में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

² = सी² - एक्स² + y²

² = सी² - एक्स² + (बी - एक्स)²

² = सी² - एक्स² + बी² - २बीएक्स + एक्स²

² = सी² + बी² - २बीएक्स

अभी भी आकृति को देखते हुए, ध्यान दें कि:

cosα = एक्स
सी

c·cosα = x

x = c·cosα

इस परिणाम को पिछले व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

² = सी² + बी² - २बीएक्स

² = सी² + बी² - २बी · सी · कॉसα

यह ऊपर प्रस्तुत तीन भावों में से पहला है। अन्य दो इसी के समान प्राप्त किए जा सकते हैं।

उदाहरण - पर त्रिकोण फिर x के माप की गणना करें।

समाधान:

का उपयोग करते हुए कानूनसेकोसाइनध्यान दें कि x 60° कोण के सम्मुख भुजा की माप है। इसलिए, समाधान में दिखाई देने वाला पहला "नंबर" होना चाहिए:

एक्स² = 10² + 10² - २·१०·१०·कॉस६०°

एक्स² = १०० + १०० - २·१००·cos60°

एक्स² = २०० - २००·cos६०°

एक्स² = 200 – 200·1
2

एक्स² = 200 – 100

एक्स² = 100

एक्स = ± 100

एक्स = ± 10

चूंकि कोई ऋणात्मक लंबाई नहीं है, परिणाम केवल सकारात्मक मान होना चाहिए, अर्थात x = 10 सेमी।

लुइज़ मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm