पर त्रिकोणमितीय कार्यकार्य हैं ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा. सभी त्रिकोणमितीय फलन के मान से संबंधित हैं कोण त्रिकोणमितीय अनुपात के मान के साथ डिग्री या रेडियन में, एक संबंध जो त्रिकोणमितीय चक्र के अध्ययन के माध्यम से किया जा सकता है। त्रिकोणमितीय कार्यों में से प्रत्येक के व्यक्तिगत अध्ययन के साथ, प्रतिनिधित्व करना संभव है ग्राफ, अन्य विशेषताओं के साथ, प्रत्येक चतुर्थांश के लिए फ़ंक्शन के संकेत का अध्ययन करें महत्वपूर्ण।
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त्रिकोणमितीय कार्य क्या हैं?
सबसे आम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन साइन फ़ंक्शन, कोसाइन फ़ंक्शन और स्पर्शरेखा फ़ंक्शन हैं। उनका अध्ययन से जुड़ा हुआ है त्रिकोणमितीय चक्र.
प्रत्येक कोण मान के लिए, एक अद्वितीय ज्या और कोज्या मान होता है। त्रिकोणमितीय फलन इससे अधिक कुछ नहीं हैं कोण और उस कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात के मान के बीच संबंध. याद रखें कि इस कोण का मान रेडियन या डिग्री में दिया जा सकता है और साइन और कोसाइन का मान हमेशा एक होता है वास्तविक संख्या -1 और 1 के बीच।
छवि में ध्यान दें कि,
प्रत्येक कोण के लिए, कोसाइन और साइन स्वीकार करते हैंम एक कीमत। यह प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन के अध्ययन पर आधारित है कि हम कोण मान और त्रिकोणमितीय अनुपात मान के बीच संबंध का निरीक्षण करते हैं।यह भी पढ़ें: उल्लेखनीय कोण क्या हैं?
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कोसाइन फ़ंक्शन
कोसाइन फ़ंक्शन फ़ंक्शन है एफ: R → R, जिसका गठन नियम है एफ(एक्स) = कॉस (एक्स)। चूंकि कोण की कोज्या है हमेशा 1 और -1. के बीच की कोई संख्या, फिर -1 cos (x) 1।
डोमेन
कोज्या फलन का प्रांत है वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, क्योंकि x के मान पर कोई प्रतिबंध नहीं है, जहां x रेडियन में कोण है। प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए, आप cos(x) का मान ज्ञात कर सकते हैं, इसलिए Dएफ= ए।
छवि
हम जानते हैं कि कोसाइन फ़ंक्शन का काउंटरडोमेन वास्तविक संख्याओं का समूह है, हालांकि, जब हम फ़ंक्शन की छवि का विश्लेषण करते हैं, तो यह देखना संभव है कि यह है हमेशा -1 से अधिक या उसके बराबर और 1 than से कम या उसके बराबर का मान, चूंकि त्रिकोणमितीय चक्र की त्रिज्या 1 है, इसलिए कोसाइन फलन द्वारा लिया जाने वाला सबसे बड़ा मान 1 है, और इसी तरह, सबसे छोटा मान जो वह ले सकता है वह -1 है। इम = [-1, 1]
कोसाइन फंक्शन ग्राफ
कोज्या फलन का ग्राफ हैनिहित के बीच में सीधावाई = -1 और वाई = 1. याद रखें कि ऐसा इसलिए होता है क्योंकि फ़ंक्शन की छवि हमेशा -1 और 1 के बीच की संख्या होती है और इसमें एक बढ़ता हुआ भाग और घटता हुआ भाग होता है, जैसा कि हम नीचे देख सकते हैं:
त्रिकोणमितीय अनुपात मान के साथ कोण मान का मिलान करके, आप देख सकते हैं कि ग्राफिक है एक चक्रीय व्यवहारयानी व्यवहार हमेशा समय-समय पर खुद को दोहराता है। कोज्या फलन के ग्राफ को कोज्या के रूप में जाना जाता है।
संकेत
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय चक्र में, कोसाइन के सकारात्मक मूल्य हैंI और IV चतुर्थांश में। पहला चतुर्थांश 0º और 90º के बीच है, और चौथा चतुर्थांश 270º और 360º के बीच है। रेडियन में, फ़ंक्शन 0 और π/2 के बीच और 3π/2 और 2π के बीच x के मानों के लिए सकारात्मक है।
कोसाइन फ़ंक्शन के नकारात्मक मान हैंद्वितीय और तृतीय चतुर्थांश मेंयानी कोण 90º और 270º के बीच है। रेडियन में, कोज्या फलन के ऋणात्मक होने के लिए, x π/2 और 3π/2 के बीच है।
कोसाइन कार्य अवधि
कोज्या फलन के ग्राफ में है a 2π अवधि. विश्लेषण करने पर यह देखा जा सकता है कि ग्राफ 0 से 2π तक की सीमा में समाहित है। इस श्रेणी से पहले या बाद के मानों के लिए, ग्राफ़ दोहराता है।
समानता
कोसाइन फ़ंक्शन को माना जाता है a यहां तक कि समारोह, क्योंकि y अक्ष के संबंध में ग्राफ में समरूपता है। जब किसी फलन को सम माना जाता है, तो हमें एफ (एक्स) = एफ (-x), अर्थात्, cos (x) = cos (-x)।
कोज्या फलन के उल्लेखनीय चाप
आइए मुख्य कोणों के लिए कोसाइन मान देखें:
यह भी देखें: सेकेंट, कोसेकेंट और कोटैंजेंट - साइन, कोसाइन और टेंगेंट के व्यस्त त्रिकोणमितीय अनुपात
साइन फंक्शन
कोसाइन फ़ंक्शन फ़ंक्शन है एफ: R → R, जिसका गठन नियम है एफ(एक्स) = पाप (एक्स)। कोण की ज्या की तरह, कोज्या की तरह, हमेशा 1 और -1. के बीच की संख्या होती है, फिर -1 पाप (एक्स) ≤ १।
डोमेन
साइन फ़ंक्शन का डोमेन domain वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है. कार्यक्रम एफ(x) = sin (x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है, इसलिए Dएफ= ए।
छवि
साइन फंक्शन इमेज है अधिकतम मूल्य in एफ(x) = १ और न्यूनतम मान जबएफ (एक्स) = -1. तो फ़ंक्शन की छवि वास्तविक सीमा [-1, 1] है।
साइन फंक्शन ग्राफ
साइन फंक्शन का ग्राफ graph यह क्षैतिज रेखाओं y = -1 और y = 1. द्वारा भी सीमित है. व्यवहार आवधिक साइन फ़ंक्शन के समान है, जिसमें अंतराल बढ़ रहा है और अंतराल घट रहा है। नीचे कार्तीय तल में साइन फलन का ग्राफिक निरूपण देखें:
ज्या फलन का ग्राफ भी आवर्त होता है और इसे ज्या कहते हैं।
संकेत
कोज्या फलन के विपरीत, ज्या फलन में सकारात्मक मूल्य हैंरों वृत्त का चतुर्थ भागरों मैं और द्वितीय पहला, यानी 0° और 180° के बीच के कोणों के लिए। रेडियन में, फ़ंक्शन 0 और के बीच के मानों के लिए धनात्मक होता है।
साइन फ़ंक्शन के नकारात्मक मान हैंद्वितीय मेंमैं तथा चतुर्थ वृत्त का चतुर्थ भागरोंयानी कोण 180º और 360º के बीच है। रेडियन में, साइन फ़ंक्शन के ऋणात्मक होने के लिए, x और 2π के बीच होता है।
कोसाइन कार्य अवधि
साइन फंक्शन के ग्राफ में a. होता है 2π की अवधि। इसका मतलब है कि 0 से 2π के अंतराल के बाद या उससे पहले, ग्राफ आवधिक है, यानी यह खुद को दोहराता है।
समानता
साइन फ़ंक्शन को माना जाता है a कब्जे मैं हूँजोड़ा, क्योंकि विषम चतुर्भुज के द्विभाजक के संबंध में ग्राफ में समरूपता है। जब किसी फलन को विषम माना जाता है, तो हमें एफ (एक्स) = -एफ (एक्स), यानी पाप (-एक्स) = -सिन (एक्स)।
साइन समारोह के उल्लेखनीय चाप
आइए मुख्य कोणों के लिए ज्या मान देखें:
स्पर्शरेखा समारोह
हम जानते हैं कि स्पर्शरेखा है कारण साइन और कोसाइन के बीच। पिछले दो त्रिकोणमितीय कार्यों के विपरीत, स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम मान होता है। इसके अलावा, डोमेन के लिए प्रतिबंध हैं, लेकिन टेंगेंट फ़ंक्शन के गठन का नियम है एफ(एक्स) = तन (एक्स)।
डोमेन
स्पर्शरेखा फलन के अपने डोमेन के लिए प्रतिबंध हैं, क्योंकि यह ज्या और कोज्या के बीच के अनुपात से बनता है, जब cos (x) = 0. हो तो स्पर्शरेखा का कोई मान नहीं होता है. त्रिकोणमितीय चक्र में 0 tri से 360º तक वजन, स्पर्शरेखा फ़ंक्शन 90º और 270º कोणों के लिए परिभाषित नहीं है, क्योंकि ये वे मान हैं जहां कोसाइन 0 के बराबर है। जब एक से अधिक पूर्ण क्रांति के कोण होते हैं, तो वे सभी जहां कोसाइन मान 0 होता है, कोसाइन फ़ंक्शन के डोमेन का हिस्सा नहीं होते हैं।
छवि
ज्या फलन और कोज्या फलन के विपरीत, स्पर्शरेखा फलन की छवि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैयानी यह सीमित नहीं है और इसका कोई अधिकतम या न्यूनतम मूल्य नहीं है। आईएम = आर
स्पर्शरेखा फ़ंक्शन ग्राफ
स्पर्शरेखा फलन भी ज्या तथा कोज्या फलनों की भाँति आवधिक होता है, अर्थात यह सदैव दोहराया जाता है। जब हम तुलना करते हैं:
संकेत
स्पर्शरेखा समारोह विषम चतुर्भुजों के लिए धनात्मक मान है, अर्थात्, मैं तथा तृतीय चतुर्थांश 0º और 90º के बीच के कोणों और 180º और 270º के बीच के कोणों के लिए, फ़ंक्शन के सकारात्मक मान हैं। रेडियन में, x का मान 0 और π/2 या π और 3π/2 के बीच होना चाहिए।
समय पाठ्यक्रम
स्पर्शरेखा फलन की अवधि भी ज्या और कोज्या फलनों से भिन्न होती है। हे स्पर्शरेखा फलन की अवधि. है.
समानता
स्पर्शरेखा समारोह é एक अजीब समारोह, क्योंकि tan(-x) = -tan (x), इसलिए मूल के संबंध में ग्राफ में समरूपता है कार्तीय विमान.
स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के उल्लेखनीय चाप
आइए मुख्य कोणों के लिए स्पर्शरेखा मान देखें:
यह भी देखें: संपूरक कोणों की ज्या और कोज्या कैसे ज्ञात करें?
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - (एनेम 2017) सूरज की किरणें एक झील की सतह पर पहुंच रही हैं, जिसकी सतह के साथ एक कोण x बना रहा है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
कुछ शर्तों के तहत, यह माना जा सकता है कि झील की सतह पर इन किरणों की चमकदार तीव्रता, लगभग I(x) = k · sin(x), k एक स्थिरांक है, और यह मानते हुए कि X 0° और के बीच है, द्वारा लगभग दिया जा सकता है। 90º.
जब x = 30º, दीप्त तीव्रता उसके अधिकतम मान के कितने प्रतिशत तक कम हो जाती है?
ए) ३३%
बी) 50%
सी) 57%
डी) 70%
ई) ८६%
संकल्प
वैकल्पिक बी
0º से 90º की सीमा में, x = 90º होने पर साइन फ़ंक्शन का उच्चतम मान होता है, इसलिए हमें यह करना होगा:
मैं = कश्मीर · पाप (९०º)
मैं = कश्मीर · 1
मैं = के
अब, जब x = 30º, हमें यह करना होगा:
i = k · बिना (30वें)
मैं = कश्मीर · 1/2
मैं = कश्मीर/2
ध्यान दें कि तीव्रता i को आधा, यानी 50% कम कर दिया गया है।
प्रश्न 2 - (एनेम 2015) ब्राजीलियाई भूगोल और सांख्यिकी संस्थान (आईबीजीई) के अनुसार, मौसमी उत्पाद वे हैं जो उत्पादन, खपत और मूल्य के अच्छी तरह से परिभाषित चक्र पेश करते हैं। संक्षेप में, वर्ष के ऐसे समय होते हैं जब खुदरा बाजारों में इसकी उपलब्धता दुर्लभ होती है, उच्च कीमतों के साथ, कभी-कभी यह प्रचुर मात्रा में होता है, कम कीमतों के साथ, जो अधिकतम उत्पादन के महीने में होता है कटाई। एक ऐतिहासिक श्रृंखला से, यह देखा गया कि मूल्य P, एक निश्चित मौसमी उत्पाद के किलोग्राम के रियास में, फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
जहां x वर्ष के महीने का प्रतिनिधित्व करता है, जहां x = 1 जनवरी के महीने से जुड़ा है, x = 2, फरवरी के महीने के साथ, और इसी तरह, दिसंबर के महीने से जुड़े x = 12 तक।
फसल की कटाई में इस उत्पाद के अधिकतम उत्पादन का महीना होता है
ए) जनवरी।
बी) अप्रैल।
सी) जून।
डी) जुलाई।
ई) अक्टूबर।
संकल्प
वैकल्पिक डी
फसल अधिकतम उत्पादन स्वीकार करती है जब कीमत सबसे कम होती है, हम जानते हैं कि कोसाइन फ़ंक्शन अपना न्यूनतम मान लेता है जब cos(x) = -1 होता है।
जिस कोण का cos मान -1 है, वह कोण है। तो कोण तर्क π के बराबर होना चाहिए, इसलिए हमें यह करना होगा:
महीना 7 जुलाई का महीना है।
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक
