ज्यामितीय प्रगति क्या है?

क्या आप बता सकते हैं कि ऊपर की छवि के दृश्यों में क्या समानता है? उन सभी में संख्याएँ किसी न किसी "तार्किक रूप" के अनुसार बढ़ती हैं। इन संख्या क्रम के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है ज्यामितीय प्रगति. एक ज्यामितीय अनुक्रम (पीजी) एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें एक तत्व को तुरंत पूर्ववर्ती तत्व से विभाजित करने पर हमेशा एक ही मान प्राप्त होता है, जिसे ए कहा जाता है। कारण. एक और दिलचस्प पहलू जो एक ज्यामितीय प्रगति की विशेषता है, वह यह है कि जब हम तीन चुनते हैं क्रमागत तत्व, मध्य तत्व का वर्ग हमेशा. के तत्वों के गुणनफल के बराबर होगा चरम। उदाहरण के लिए, आइए अनुक्रम को देखें ए = (1, 2, 4, 8, 16, 32,…). हम किसी भी तत्व को चुनकर और उसके ठीक पहले के पद से विभाजित करके कारण की पहचान कर सकते हैं। आइए इस प्रक्रिया को अनुक्रम में प्रकट होने वाले सभी तत्वों के लिए निष्पादित करें:

32 = 2, 16 = 2; 8 = 2; 4 = 2; 2 = 2
16 8 4 2 1

अतः अनुक्रम A का अनुपात 2 है। देखते हैं कि दूसरा नियम लागू होता है या नहीं। आइए लगातार तीन तत्वों को चुनें, उदाहरण के लिए, 4, 8, 16. नियम के अनुसार, 8 का वर्ग दो अंतिम संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है, इस स्थिति में

4 तथा 16. पोटेंशिएशन गुणों का उपयोग करते हुए, हमें करना होगा 8² = 64. यदि हम चरम सीमाओं को गुणा करते हैं, तो हमें वह मिलता है 4 * 16 = 64. इन नियमों को अन्य प्रगति पर लागू करें और पता करें कि क्या अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है।

किसी भी क्रम को देखते हुए (द₁, ए₂, ए₃, ए₄,..., थे_एन-1, ए_{नहीं न}, …), हम कह सकते हैं कि, हो नहीं न कोई पूर्णांक, कारण आर द्वारा दिया गया है:

आर =  _{नहीं न
एन - 1}

आइए प्रारंभिक पाठ छवि के अन्य अनुक्रमों का विश्लेषण करें, यह जाँचते हुए कि क्या वे ज्यामितीय प्रगति हैं।

बी = {५, २५, १२५, ६२५, ३१२५,…}

आर = 25 = 125 = 625 = 3125 = 5
5 25 125 625

सी = {1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, 729}

आर = – 3 =  9 = – 27 =  81 = 243 = – 3
1 – 3 9 – 27 81

डी = (10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; 0,3125 …}

आर = 5 = 2,5 = 1,25 = 0,625 = 0,3125 = 1
10 5 2,5 1,25 0,625 2

एक ज्यामितीय प्रगति को उसके कारण के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है। आइए संभावित वर्गीकरणों को देखें:

• यदि पीजी इसका कारण प्रस्तुत करता है ऋणात्मक मान, हम कहते हैं कि यह एक पीजी है बारी या झूला, उदाहरण के अनुसार सी। ध्यान दें कि इस प्रकार की एक स्ट्रिंग में बारी-बारी से सकारात्मक और नकारात्मक मान होते हैं (1, -3, 9, -27, 81, -243, 729...);

• जब पीजी का पहला तत्व है सकारात्मक और कारण आर is पसंद आर > 1 या पीजी का पहला तत्व है नकारात्मक तथा 0 , हम कहते हैं कि पीजी है बढ़ रही है. अनुक्रम तथा ख एक बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति के उदाहरण हैं;

• यदि स्थिर PG का विपरीत होता है, अर्थात जब PG का पहला तत्व होता है नकारात्मक और कारण आर is पसंद आर > 1 या पीजी का पहला तत्व है सकारात्मक तथा 0 , यह एक पीजी. है घटते. क्रम घ घटते PG का एक उदाहरण है;

• जब एक पीजी का अनुपात. के बराबर होता है 1, इसे पीजी के रूप में वर्गीकृत किया गया है लगातार. अनुक्रम (2, 2, 2, 2, 2,…) एक प्रकार का स्थिर PG है क्योंकि इसका अनुपात 1 है;

• जब पीजी में कम से कम एक शून्य शब्द, हम कहते हैं कि यह एक ज्यामितीय प्रगति है एकवचन हम एक विलक्षण पीजी का कारण निर्धारित नहीं कर सकते। एक उदाहरण अनुक्रम (2, 0, 0, 0,…) है।

अमांडा गोंसाल्वेस द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-progressao-geometrica.htm