हे पिरामिड मात्रा आधार क्षेत्र और ऊंचाई को तीन से विभाजित करके गुणा करके गणना की जाती है। पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, यह जानना आवश्यक है कि कौन सा बहुभुज इसका आधार बनाता है पिरामिड, इसीलिए, के लिये प्रत्येक आधार, हम एक अलग सूत्र का उपयोग करते हैं खोजने के लिए तो आप का क्षेत्र. हम प्रिज्म के आयतन को उसी ऊँचाई के पिरामिड के आयतन और आधार के समान क्षेत्रफल से जोड़ सकते हैं, क्योंकि पिरामिड का आयतन प्रिज्म के आयतन के एक तिहाई के बराबर होता है।
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पिरामिड के आयतन की गणना कैसे की जाती है?
पिरामिड के आयतन की गणना एक सूत्र द्वारा की जा सकती है जो सीधे depends पर निर्भर करता है बहुभुज जो आधार बनाता है। किसी भी पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए हम निम्न सूत्र का प्रयोग करते हैं::
वी → वॉल्यूम
ख → पिरामिड के आधार पर क्षेत्रफल
एच → पिरामिड ऊंचाई
पिरामिड का आधार किसी भी बहुभुज द्वारा बनाया जा सकता है।, इसलिए हमारे पास त्रिकोणीय आधार वाला पिरामिड, वर्गाकार आधार वाला पिरामिड और षट्कोणीय आधार वाला पिरामिड हो सकता है। वैसे भी, कोई भी बहुभुज पिरामिड का आधार हो सकता है, और जैसा कि यह एक बहुभुज है, इसके आधार के क्षेत्र की गणना करने के लिए, एक विशिष्ट सूत्र है।
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वर्गाकार आधार पिरामिड
एक वर्गाकार पिरामिड में हम जानते हैं कि का क्षेत्रफल वर्ग वर्ग भुजा की लंबाई से गणना की जाती है, अर्थात A = A क्या आप वहां मौजूद हैं². तो, एक वर्ग पिरामिड की मात्रा की गणना करने के लिए, हम आधार किनारे के वर्ग के उत्पाद और पिरामिड की ऊंचाई की गणना करते हैं, और तीन से विभाजित करते हैं। नीचे एक उदाहरण देखें।
उदाहरण:
नीचे दिए गए पिरामिड के आयतन की गणना करें, यह जानते हुए कि इसका आधार एक वर्ग द्वारा बनता है:
पिरामिड में, ऊँचाई h की माप 6 सेमी है और इसके आधार के किनारे की माप 3 सेमी है।
फिर, हम पहले आधार A के क्षेत्रफल की गणना करेंगेख. वर्ग का क्षेत्रफल बराबर है क्या आप वहां मौजूद हैं, तो हमें यह करना होगा:
ख = क्या आप वहां मौजूद हैं²
ख = 3²
ख = 9 सेमी²
अब जब हम आधार क्षेत्र मान जानते हैं, तो पिरामिड मात्रा सूत्र में ऊंचाई माप और आधार क्षेत्र माप को प्रतिस्थापित करें:
एक त्रिकोणीय आधार के साथ पिरामिड
जब पिरामिड का आधार त्रिभुजाकार होता है, तो आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का प्रयोग करते हैं त्रिभुज का क्षेत्रफल area, जो आधार के गुणनफल और दो से विभाजित ऊंचाई के बराबर है।
उदाहरण:
यह जानते हुए कि निम्न पिरामिड 9 सेमी ऊँचा है, उसका आयतन ज्ञात कीजिए:
जैसा कि आधार a है त्रिकोण, हम पहले आधार के क्षेत्रफल की गणना करेंगे, जो आधार की लंबाई है और त्रिभुज की ऊंचाई की लंबाई है जो आधार बनाता है, दो से विभाजित होता है।
अब जब हम आधार क्षेत्र मान जानते हैं, तो इस पिरामिड के आयतन की गणना करना संभव हो जाता है:
उदाहरण 2:
जब पिरामिड का आधार a. है समान भुजाओं वाला त्रिकोण, हम आधार के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
हम एक पिरामिड के आयतन की गणना करेंगे जिसका आधार एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 8 सेमी मापी गई हैं, और इसकी ऊँचाई 15 सेमी है।
पहले हम आधार के क्षेत्रफल की गणना करते हैं, क्योंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है, हम एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करेंगे।
अब वॉल्यूम की गणना करते हैं:
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षट्कोणीय आधार पिरामिड
षट्कोणीय आधार पिरामिड में, आधार क्षेत्र की गणना करने के लिए, हम षट्भुज क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हैं।
उदाहरण:
पिरामिड के आयतन की गणना यह जानते हुए करें कि इसका आधार एक नियमित षट्भुज है:
पहले हम षट्भुज के क्षेत्रफल की गणना करेंगे:
अब वॉल्यूम की गणना करते हैं:
पिरामिड आयतन और प्रिज्म आयतन के बीच संबंध
एक दिया चश्मे और एक ही आधार का एक पिरामिड, हम जानते हैं कि प्रिज्म वॉल्यूम आधार क्षेत्र और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर है, और पिरामिड का आयतन आधार क्षेत्र और ऊंचाई को तीन से विभाजित करने का गुणनफल है, इसलिए यदि आधार क्षेत्र समान है, पिरामिड का आयतन यह प्रिज्म आयतन के 1/3 के बराबर.
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - पैकेजिंग डिजाइन में कुछ नया करने की कोशिश में, एक कॉस्मेटिक उद्योग ने अपने नए मॉइस्चराइजर के लिए एक वर्गाकार आधार के साथ पिरामिड के आकार में पैकेजिंग का उत्पादन करने का निर्णय लिया। इस पिरामिड का आधार 6 सेमी की भुजाओं के वर्ग के आकार का है। यह जानते हुए कि इस मॉइस्चराइजर में 200 मिलीलीटर होना चाहिए, पिरामिड की ऊंचाई लगभग होनी चाहिए:
ए) 15.2 सेमी
बी) 15.8 सेमी
सी) 16.4 सेमी
डी) 16.7 सेमी
ई) 17.2 सेमी
संकल्प
वैकल्पिक डी
हम जानते हैं कि 200 मिली 200 सेमी³ के बराबर है, इसलिए हमारे पास वी = 200 है। तो, आधार क्षेत्र की गणना, जो एक वर्ग है, हमें यह करना होगा:
ख = l²
ख = 6²
ख = 36 सेमी²
अब आयतन को 200 सेमी³ के बराबर बनाते हैं, इसलिए हमें यह करना होगा:
प्रश्न 2 - (एनेम) एक कारखाना नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के आकार की पैराफिन मोमबत्तियों का उत्पादन करता है जिनकी ऊंचाई 19 सेमी और आधार किनारे 6 सेमी है। ये मोमबत्तियां समान ऊंचाई के 4 ब्लॉकों द्वारा बनाई गई हैं - समानांतर आधारों के साथ 3 पिरामिड ट्रंक और शीर्ष पर 1 पिरामिड - 1 सेमी की दूरी पर, कि प्रत्येक ब्लॉक का ऊपरी आधार आरोपित ब्लॉक के निचले आधार के बराबर है, प्रत्येक ब्लॉक के केंद्र से गुजरने वाली लोहे की छड़ के साथ, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
यदि कारखाने का मालिक शीर्ष पर पिरामिड को हटाकर मॉडल में विविधता लाने का फैसला करता है, जो कि 1.5 सेमी. है आधार पर किनारे, लेकिन एक ही सांचे को रखते हुए, वह पैराफिन पर कितना खर्च करेगा a मोमबत्ती?
ए) 156 सेमी³
बी) 189 सेमी³
सी) 192 सेमी³
डी) 216 सेमी³
ई) 540 सेमी³
संकल्प
वैकल्पिक बी
आइए बड़े पिरामिड (V) और छोटे पिरामिड (V .) के बीच अंतर की गणना करें2).
हम जानते हैं कि ब्लॉकों के बीच की दूरी 1 सेमी है, इसलिए सबसे बड़े पिरामिड की ऊंचाई 19 - 3 = 16 सेमी है। बड़ा पिरामिड आधार से 6 सेमी की दूरी पर है, क्योंकि आधार एक वर्ग है, इसलिए Aख = एल² = ६² = ३६।
इस प्रकार, बड़े पिरामिड का आयतन है:
सबसे छोटे पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, आइए कुल ऊंचाई को 4 से विभाजित करें, इसलिए 16: 4 = 4 सेमी। किनारे के साथ भी ऐसा ही करते हुए, हमें 6: 4 = 1.5 मिलता है।
इस प्रकार, छोटे पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल 1.5² = 2.25 है। वॉल्यूम की गणना करते हुए, हमें यह करना होगा:
अब हम वॉल्यूम के बीच अंतर पाते हैं:
१९२ - ३ = १८९ सेमी³
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-piramide.htm
