पर असमानताओंत्रिकोणमितीय ऐसी असमानताएँ हैं जिनमें कम से कम एक है त्रिकोणमितीय अनुपात जिसमें कोण अज्ञात है। एक unknown का अज्ञात असमानतात्रिकोणमितीय यह है एक माथा टेकनाइसलिए, जैसे असमानताओं में समाधान अंतराल द्वारा दिया जाता है, त्रिकोणमितीय असमानताओं में भी। अंतर यह है कि यह अंतराल में एक चाप है त्रिकोणमितीय चक्र, जिसमें प्रत्येक बिंदु एक कोण से मेल खाता है जिसे असमानता का परिणाम माना जा सकता है।
इस लेख में, हम इसका समाधान करेंगे असमानतामौलिकसेंसेक्स> के. इस असमानता का समाधान senx < k, senx k और senx k की असमानताओं के समाधान के अनुरूप है।
त्रिकोणमितीय चक्र और असमानता का समाधान
के समाधान असमानताsenx > k वे अंदर हैं चक्रत्रिकोणमितीय. इसलिए, k को [-1, 1] के दायरे में होना चाहिए। यह अंतराल कार्तीय तल के y अक्ष पर है, जो कि ज्या अक्ष है। वह अंतराल जिसमें x का मान स्थित है, त्रिकोणमितीय चक्र का एक चाप है।
यह मानते हुए कि k अंतराल [0, 1] में है, हमारे पास निम्न छवि है:
की धुरी में जीवाओं (y अक्ष), वे मान जो उत्पन्न करते हैं senx > k क्या वे बिंदु k से ऊपर हैं। चाप जिसमें ये सभी मान शामिल हैं, सबसे छोटा, DE है, जो ऊपर की आकृति में दिखाया गया है।
solution का समाधान असमानताsenx > k चक्र के बिंदु D और बिंदु E के बीच x (जो एक कोण है) के सभी मानों पर विचार करता है। यह मानते हुए कि सबसे छोटा चाप BD कोण α से संबंधित है, इसका अर्थ है कि सबसे छोटे चाप से संबंधित कोण, BE, - α मापता है। तो, इस समस्या के समाधानों में से एक अंतराल है जो α से π - α तक जाता है।
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यह समाधान केवल पहले दौर के लिए मान्य है। यदि के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है असमानतात्रिकोणमितीय, हमें 2kπ भाग जोड़ना होगा, जो इंगित करता है कि k घुमाव किया जा सकता है।
अत: का बीजीय हल असमानतासेंसेक्स> के, जब k 0 और 1 के बीच होता है, तो यह होता है:
एस = {xER| α + 2kπ < x < - α + 2kπ}
कश्मीर से संबंधित के साथ प्राकृतिक सेट.
ध्यान दें कि पहले दौर के लिए, k = 0. दूसरे दौर के लिए, हमारे पास दो परिणाम हैं: पहला, जहाँ k = 0, और दूसरा, जहाँ k = 1. तीसरे दौर के लिए, हमारे पास तीन परिणाम होंगे: k = 0, k = 1 और k = 2; और इसी तरह।
किस स्थिति में k ऋणात्मक है
जब k ऋणात्मक होता है, तो समाधान उसी तरह प्राप्त किया जा सकता है जैसा ऊपर बताया गया है। तो, हमारे पास होगा चक्रत्रिकोणमितीय:
इस मामले और पिछले मामले के बीच का अंतर यह है कि अब, कोण α बड़े चाप BE से संबंधित है। अतः इस चाप की माप + α है। सबसे बड़े चाप BD का माप 2π - α है। इतना समाधानदेता हैअसमानताsenx > k, ऋणात्मक k के लिए है:
एस = {xER| 2π - α + 2kπ < x < + α + 2kπ}
इसके अलावा, इस समाधान में 2kπ भाग उसी कारण से प्रकट होता है, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, घुमावों की संख्या से संबंधित है।
लुइज़ मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक
क्या आप इस पाठ को किसी स्कूल या शैक्षणिक कार्य में संदर्भित करना चाहेंगे? देखो:
सिल्वा, लुइज़ पाउलो मोरेरा। "मौलिक असमानता का समाधान senx> k"; ब्राजील स्कूल. में उपलब्ध: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/solucao-inequacao-fundamental-senx.htm. 27 जून, 2021 को एक्सेस किया गया।
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