दोहराव के साथ व्यवस्था: यह क्या है, सूत्र, उदाहरण

हम जानते हैं कैसे दोहराने की व्यवस्था, या पूरी व्यवस्था, सभी आदेशित पुनर्समूहन जिन्हें हम बना सकते हैं क के साथ एक सेट के तत्व नहीं न तत्व, an के एक तत्व के साथ नहीं न एक से अधिक बार प्रकट हो सकता है। संयुक्त विश्लेषण गणित का वह क्षेत्र है जो कुछ स्थितियों में समूहों के लिए संभावनाओं की मात्रा का पता लगाने के लिए गिनती तकनीक विकसित करता है।

इन समूहों के बीच, पुनरावृत्ति के साथ व्यवस्था है, उदाहरण के लिए, में मौजूद है पासवर्ड बनाना, लाइसेंस प्लेट, दूसरों के बीच। इन स्थितियों को हल करने के लिए, हम गणना तकनीक के रूप में पुनरावृत्ति के साथ व्यवस्था सूत्र लागू करते हैं। दोहराई जाने वाली व्यवस्था और गैर-दोहराव व्यवस्था की गणना के लिए अलग-अलग सूत्र हैं, इसलिए सही गिनती तकनीक को लागू करने के लिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि इनमें से प्रत्येक स्थिति को कैसे अलग किया जाए।

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दोहराव के साथ व्यवस्था क्या है?

वाहन प्लेटों के उत्पादन में दोहराव के साथ एक व्यवस्था है। [1]

हमारे दैनिक जीवन में, हम ऐसी स्थितियों का सामना करते हैं जिनमें अनुक्रम और समूह शामिल होते हैं, जो इसमें दिखाई देते हैं सामाजिक नेटवर्क या बैंक से पासवर्ड चुनें, और उन फ़ोन नंबरों या स्थितियों में भी जिनमें शामिल हों कतारें वैसे भी, हम ऐसी स्थितियों से घिरे हुए हैं जिनमें ये समूह शामिल हैं।

उदाहरण के लिए, लाइसेंस प्लेटों पर, जो तीन अक्षरों और चार संख्याओं से बनी होती हैं, वहां एक होता है राज्य द्वारा अद्वितीय स्ट्रिंग जो प्रत्येक कार की पहचान करती है, इस मामले में, हम साथ काम कर रहे हैं व्यवस्था. जब तत्वों को दोहराना संभव होता है, तो हम पुनरावृत्ति के साथ पूरी व्यवस्था या व्यवस्था के साथ काम कर रहे हैं।

के साथ एक सेट दिया गया नहीं न तत्वों, हम पुनरावृत्ति के साथ व्यवस्था के रूप में जानते हैं सभी समूह जो हम बना सकते हैं क इस के तत्व सेट, जहां एक तत्व को एक से अधिक बार दोहराया जा सकता है। वाहन लाइसेंस प्लेटों पर, उदाहरण के लिए, यह संभावित लाइसेंस प्लेटों की संख्या है जिसे हम बना सकते हैं यह ध्यान में रखते हुए कि उनके पास तीन अक्षर और चार संख्याएँ हैं और अक्षरों और संख्याओं को दोहराया जा सकता है।

संभावित दोहराई जाने वाली व्यवस्थाओं की संख्या की गणना करने के लिए, हम एक बहुत ही सरल सूत्र का उपयोग करते हैं।

दोहराव के साथ व्यवस्था सूत्र

की पूरी व्यवस्था राशि का पता लगाने के लिए नहीं न से लिए गए अलग-अलग तत्व क में

ओह, किसी दी गई स्थिति में जो किसी तत्व की पुनरावृत्ति की अनुमति देता है, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

वायु_{नहीं न},_क = नहीं न^क

एआर → व्यवस्था दोहराएं
नहीं न → सेट में तत्वों की संख्या
क → चुने जाने वाले तत्वों की संख्या

यह भी देखें: सरल संयोजन - किसी दिए गए सेट के सभी सबसेट की गणना करें count

दोहराई जाने वाली व्यवस्था संख्या की गणना कैसे करें

रिपीट अरेंजमेंट फॉर्मूला को कैसे लागू किया जाए, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, नीचे दिया गया उदाहरण देखें।

उदाहरण 1:

एक बैंक पासवर्ड में पाँच अंक होते हैं जो विशेष रूप से संख्याओं से बने होते हैं, संभावित पासवर्डों की संख्या क्या है?

हम जानते हैं कि पासवर्ड पांच अंकों की स्ट्रिंग है और दोहराव पर कोई प्रतिबंध नहीं है, इसलिए हम पुनरावृत्ति के साथ व्यवस्था सूत्र लागू करेंगे। उपयोगकर्ता को 10 अंकों में से चुनना होगा, जो इस पासवर्ड के पांच अंकों में से प्रत्येक की रचना करेगा, अर्थात, हम प्रत्येक पांच में 10 तत्वों की पुनरावृत्ति के साथ व्यवस्था की गणना करना चाहते हैं।

वायु_10,5 = 10⁵ = 10.000

तो 10,000 पासवर्ड संभावनाएं हैं।

उदाहरण 2:

यह जानते हुए कि वाहन लाइसेंस प्लेट तीन अक्षरों और चार नंबरों से बनी होती है, आप कितनी लाइसेंस प्लेट बना सकते हैं?

हमारे वर्णमाला में 26 अक्षर हैं, और 10 संभावित संख्याएँ हैं, तो आइए दो पूर्ण सरणियों में विभाजित करें और अक्षरों और संख्याओं के लिए संभावित सरणियों की संख्या ज्ञात करें।

वायु_26,3 = 26³ = 17.576
वायु₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

इस प्रकार, संभावित व्यवस्थाओं का कुल योग है:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

सरल व्यवस्था और दोहराने की व्यवस्था के बीच अंतर

विषय पर समस्याओं को हल करने के लिए सरल व्यवस्था को पुनरावृत्ति के साथ व्यवस्था से अलग करना आवश्यक है। विभेदीकरण के लिए महत्वपूर्ण बात यह महसूस करना है कि, जब हम ऐसी स्थिति से निपटते हैं जिसमें पुनर्समूहन होते हैं जिनका क्रम महत्वपूर्ण होता है, तो यह इस बारे में है एक व्यवस्था का, और यदि ये पुनर्समूहन पदों के बीच दोहराव की अनुमति देते हैं, तो यह दोहराव वाली व्यवस्था है, जिसे व्यवस्था के रूप में भी जाना जाता है पूर्ण। जब पुनर्समूहन पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं देता है, इसके बारे में एक साधारण व्यवस्था.

सरल व्यवस्था का सूत्र उस सूत्र से भिन्न होता है जिसका उपयोग हम पुनरावर्ती व्यवस्था के लिए करते हैं।

हमने पहले दोहराई जाने वाली व्यवस्था के उदाहरण देखे हैं, अब सरल व्यवस्था का उदाहरण देखें

उदाहरण:

पाउलो अपनी 10 स्कूली किताबों में से तीन को अपनी शेल्फ पर रखना चाहता है, सभी एक दूसरे से अलग, वह इन किताबों को कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकता है?

ध्यान दें, इस मामले में, आदेश महत्वपूर्ण है, लेकिन कोई दोहराव नहीं है, क्योंकि यह एक साधारण व्यवस्था है। संभावित समूहों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें यह करना होगा:

संयोजनीय विश्लेषण में प्रयुक्त समूहन के इस अन्य रूप के बारे में अधिक जानने के लिए, पाठ पढ़ें: सरल व्यवस्था.

हल किए गए व्यायाम:

प्रश्न 1 - (एनेम) एक बैंक ने अपने ग्राहकों को इंटरनेट के माध्यम से चेकिंग खाते तक पहुंचने के लिए एक व्यक्तिगत छह अंकों का पासवर्ड बनाने के लिए कहा, जिसमें केवल 0 से 9 तक की संख्या शामिल है। हालांकि, इलेक्ट्रॉनिक सुरक्षा प्रणालियों के एक विशेषज्ञ ने सिफारिश की कि बैंक का प्रबंधन अपने उपयोगकर्ताओं को फिर से पंजीकृत करने का अनुरोध करता है उनमें से प्रत्येक, छह अंकों के साथ एक नए पासवर्ड का निर्माण, अब 0 से अंकों के अलावा, वर्णमाला के 26 अक्षरों के उपयोग की अनुमति देता है 9. इस नई प्रणाली में, प्रत्येक बड़े अक्षर को इसके लोअरकेस संस्करण से अलग माना जाता था। इसके अलावा, अन्य प्रकार के पात्रों के उपयोग पर प्रतिबंध लगा दिया गया था।

पासवर्ड सिस्टम में बदलाव का मूल्यांकन करने का एक तरीका सुधार गुणांक की जांच करना है, जो पुराने के संबंध में पासवर्ड संभावनाओं की नई संख्या का कारण है। अनुशंसित परिवर्तन सुधार गुणांक है:

संकल्प

वैकल्पिक ए

पुराना पासवर्ड दोहराव के साथ एक सरणी है, क्योंकि यह सभी संख्याओं से बना हो सकता है, इसलिए यह हर छह में लिए गए 10 तत्वों की एक सरणी है।

वायु_10,6 = 10⁶

नए पासवर्ड में 10 अंक और बड़े अक्षर (26 अक्षर) और. भी हो सकते हैं लोअरकेस (26 अक्षर), इसलिए पासवर्ड में प्रत्येक अंक के लिए कुल 10 + 26 + 26 = 62. है संभावनाएं। चूंकि छह अंक हैं, इसलिए हम हर छह में 62 तत्वों की पुनरावृत्ति के साथ व्यवस्था की गणना करेंगे।

वायु_62,6 = 62⁶

कारण पुराने की तुलना में पासवर्ड संभावनाओं की नई संख्या 62. के बराबर है⁶/10⁶.

प्रश्न 2 - (एनेम 2017) एक कंपनी अपनी वेबसाइट बनाएगी और लगभग दस लाख ग्राहकों के दर्शकों को आकर्षित करने की उम्मीद करती है। इस पृष्ठ तक पहुंचने के लिए, आपको कंपनी द्वारा परिभाषित किए जाने वाले प्रारूप के साथ एक पासवर्ड की आवश्यकता होगी। तालिका में वर्णित प्रोग्रामर द्वारा प्रस्तुत पांच प्रारूप विकल्प हैं, जहां "एल" और "डी" क्रमशः बड़े अक्षर और अंक का प्रतिनिधित्व करते हैं।

वर्णमाला के अक्षरों को, 26 संभव में से, साथ ही अंकों को, 10 संभव में से, किसी भी विकल्प में दोहराया जा सकता है।

कंपनी एक प्रारूप विकल्प चुनना चाहती है, जिसके संभावित विशिष्ट पासवर्डों की संख्या greater से अधिक हो ग्राहकों की अपेक्षित संख्या, लेकिन यह कि यह संख्या अपेक्षित संख्या के दोगुने से अधिक नहीं है ग्राहक।

संकल्प

वैकल्पिक ई

प्रत्येक संभावना की गणना करके, हम एक ऐसा पासवर्ड खोजना चाहते हैं जिसमें एक लाख से अधिक संभावनाएं हों और दो मिलियन से कम संभावनाएं हों।

मैं → एलडीडीडीडीडी

26 ·10⁵ दो मिलियन से अधिक है, इसलिए यह कंपनी के अनुरोध को पूरा नहीं करता है।

II → डीडीडीडीडीडी

10⁶ एक मिलियन के बराबर है, इसलिए यह कंपनी के अनुरोध को पूरा नहीं करता है।

III → एलएलडीडीडीडी

26² · 10⁴ दो मिलियन से अधिक है, इसलिए यह कंपनी के अनुरोध को पूरा नहीं करता है।

चतुर्थ → डीडीडीडीडी

10⁵ एक मिलियन से कम है, इसलिए यह कंपनी के अनुरोध को पूरा नहीं करता है।

वी → एलएलएलडीडी

26³ ·10² एक मिलियन से दो मिलियन के बीच है, इसलिए यह पासवर्ड टेम्प्लेट आदर्श है।

छवि क्रेडिट

[1] राफेल बर्लैंडिक / Shutterstock

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm