Circonférence: éléments, formules, exercices

LES circonférence est une figure géométrique plate formée par union de points équidistants, c'est-à-dire qu'ils ont la même distance d'un point fixe appelé centre. L'étude de la circonférence est également présente dans le Géométrie analytique, dans laquelle il est possible de déduire une équation qui la représente.

Bien que le cercle et circonférence sont des figures géométriques plates avec certains éléments en commun, ce qui conduit généralement à des doutes, ces figures présentent des différences importantes, notamment en ce qui concerne la dimensionnalité.

A lire aussi: Distance entre deux points - un concept important de la géométrie analytique

éléments du cercle

Notez la circonférence :

Le point Ç c'est appelé centre du cercle, et notez que les points A et B lui appartiennent. Le segment qui joint les extrémités du cercle passant par le centre s'appelle le diamètre. Sur la circonférence précédente, il faut alors le diamètre est le segment AB.

Au diviser le diamètre en deux, obtenons le rayon de la circonférence, c'est-à-dire le

rayon (r) d'un cercle c'est le segment qui joint le centre et la fin. Dans ce cas, le rayon est le segment CB. On peut établir une relation mathématique entre ces deux éléments, puisque le diamètre est le double du rayon.

d = 2 · r

• Exemple

Détermine le rayon d'un cercle qui a un diamètre de 40 cm.

Nous savons que le diamètre est le double du rayon, comme ceci :

longueur de la circonférence

Considérons un cercle dont le rayon mesure r. O longueur ou périmètre de la circonférence est donnée par le produit de la çpi constant (π) de deux fois le rayon.

Lorsque nous calculons la longueur ou le périmètre d'un cercle, nous déterminons la taille de la ligne vert dans le dessin précédent, et pour ce faire, il suffit de remplacer la valeur du rayon dans la formule qui passe à chiffre.

• Exemple

Déterminer la longueur de la circonférence de rayon 5 cm.

Le rayon du cercle est égal à 5 ​​cm, donc pour déterminer la longueur du cercle, nous devons substituer cette valeur dans la formule.

C = 2πr

C = 2(3.14)(5)

C = 6,24 · 5

C = 31,2 cm

Voir aussi: Construction de polygones inscrits

zone de circonférence

Considérons un cercle de rayon r. Pour calculer votre superficie, nous devons multiplier le carré de la valeur du rayon par π.

Lorsque nous calculons l'aire du cercle, nous déterminons la mesure de la surface, c'est-à-dire toute la région à l'intérieur du cercle.

• Exemple

Déterminez l'aire d'un cercle qui a un rayon égal à 4 cm.

Nous avons que le rayon de la circonférence est égal à 4 cm, nous pouvons donc substituer cette mesure dans la formule de la zone. Voir:

A = · r²

A = 3,14 · (4)²

A = 3,14 · 16

H = 50,24 cm²

Equation à circonférence réduite

Nous savons qu'un cercle peut être construit en collection de points qui ont la même distance à partir d'un point fixe appelé origine ou centre. Considérons donc un point fixe dans le plan cartesien O(a, b). L'ensemble des points — représentés par P(x, y) — qui sont à la même distance r de ce point fixe formera un cercle de rayon r.

Notez que les points de la forme P(x, y) sont tous à la même distance du point O(a, b), c'est-à-dire la distance entre les points O et P est égale au rayon du cercle, Donc:

À équation réduite, notez que les nombres le et B sont les coordonnées du centre du cercle et que r est la mesure du rayon.

• Exemple

Déterminer les coordonnées du centre et la mesure du rayon du cercle qui a une équation :

a) (x – 2)² + (a – 6)² = 36

En comparant cette équation avec l'équation réduite, on a :

(X - le)² + (y – B)² = r²

(X - 2)² + (y –6)² = 36

Voir que a = 2, b = 6 et r² = 36. La seule équation à résoudre est :

r² = 36

r = 6

Par conséquent, la coordonnée du centre est: O(2, 6) et la longueur du rayon est 6.

b) (x – 5)² + (y + 3)² = 121

De même, on a :

(X - le)² + (y – B)² = r²

(x – 5)² + (y + 3)² = 121

a = 5

– b = 3

b = –3

Alors que la valeur du rayon est donnée par :

r² = 121

r = 11

c) x² + oui² = 1

(X - le)² + (y – B)² = r²

X² + oui² = 1

Notez que x² = (x + 0)² Andy² = (y + 0)² . Nous devons donc :

(X - le)² + (y – B)² = r²

(x + 0)² + (y + 0)² = 1

Par conséquent, la coordonnée du centre est O(0, 0) et le rayon est égal à 1.

Accédez également à: Comment trouver le centre d'un cercle ?

équation générale du cercle

Pour déterminer l'équation générale du cercle, il faut développer l'équation réduite sa. Ainsi, considérons un cercle qui a un centre aux coordonnées O(a, b) et un rayon r.

Dans un premier temps, nous développerons les termes au carré en utilisant le produits remarquables; alors nous passerons tous les nombres au premier membre; et, enfin, nous joindrons les termes ayant le même coefficient littéral, c'est-à-dire ceux ayant les mêmes lettres. Voir:

• Exemple

Déterminer les coordonnées du centre et le rayon moyen du cercle qui a une équation :

a) x² + oui² – 4x – 6 ans + 4 + 9 – 49 = 0

Pour déterminer le rayon et les coordonnées du cercle qui a cette équation, nous devons le comparer avec l'équation générale. Voir:

X² + oui² – 2eX - 2boui + le² + B² –r² = 0

X² + oui² – 4X - 6oui + 4 + 9 – 49 = 0

A partir des comparaisons en vert, il faut :

2e = 4

a = 2

ou alors

le² = 4

a = 2

D'après les comparaisons en rouge, nous avons que :

2b = 6

b = 3

ou alors

B² = 9

b = 3

Ainsi, on peut dire que le centre a pour coordonnée O(2, 3). Maintenant, en comparant la valeur de r, nous avons :

r² = 49

r = 7

Par conséquent, le rayon du cercle a une longueur égale à 7.

b) x² + oui² – 10x + 14 ans + 10 = 0

De la même manière, comparons les équations :

X² + oui² – 2eX - 2boui + le² + b² – r² = 0

X² + oui² –10X + 14oui + 10 = 0

2e = 10

a = 5

Détermination de la valeur de b :

–2b = 14

b = – 7

Notez maintenant que :

le² + b² – r² = 10

Puisque nous connaissons les valeurs de a et b, nous pouvons les substituer dans la formule. Voir:

le² + b² – r² = 10

5² + (–7)² – r² = 10

25 + 49 - r² = 10

74 – r² = 10

– r² = 10 – 74

(–1) – r² = –64 (–1)

r² = 64

r = 8

Par conséquent, les coordonnées du centre sont O (5, –7) et le rayon a une longueur égale à 8.

Un cercle est une figure plate formée par l'union de points équidistants.

Différences entre circonférence et cercle

La différence entre un cercle et un cercle concerne la nombre de dimensions de chaque élément. Alors que le cercle a une dimension, le cercle en a deux.

Un cercle est une région du plan formée par des points tous équidistants d'un point fixe appelé origine. Le cercle est composé de chaque région à l'intérieur du cercle. Voyez la différence en images :

Voir aussi :longueur de la circonférence et zone du cercle

exercices résolus

question 1 – Une circonférence a un périmètre égal à 628 cm. Déterminer le diamètre de ce cercle (adopter π = 3,14).

Résolution

Puisque le périmètre est égal à 628 cm, nous pouvons substituer cette valeur dans l'expression de la longueur de la circonférence.

question 2 – Deux cercles sont concentriques s'ils ont le même centre. Sachant cela, déterminez la zone de la figure vierge.

Résolution

A noter que pour déterminer l'aire de la région en blanc, il faut déterminer l'aire du plus grand cercle puis celle du plus petit cercle en bleu. Notez également que si nous supprimons le cercle bleu, seule la région que nous voulons est laissée, nous devons donc soustraire ces zones. Voir:

LES_{PLUS GROS} = r²

LES_{PLUS GROS} = (3,14) · (9)²

LES_{PLUS GROS} = (3,14) · 81

LES_{PLUS GROS} = 254,34 cm²

Calculons maintenant l'aire du cercle bleu :

LES_{PLUS PETIT} = r²

LES_{PLUS PETIT} = (3,14) · (5)²

LES_{PLUS PETIT} = (3,14) · 25

LES_{PLUS PETIT} = 78,5 cm²

Ainsi, la zone vierge est donnée par la différence entre la plus grande zone et la plus petite zone.

LES_BLANC = 254,34 – 78,5

LES_BLANC = 175,84 cm²

par Robson Luiz
Professeur de mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm