Le calcul de la probabilité d'événements simultanés détermine la probabilité que deux événements se produisent simultanément ou successivement.
La formule de calcul de cette probabilité dérive de la formule de probabilité conditionnelle. Ainsi, nous aurons :
Si les événements A et B sont indépendants, c'est-à-dire si le fait que l'événement B se produise ne modifie pas la probabilité que l'événement A se produise, la formule de calcul de la probabilité conditionnelle est :
Faisons quelques exemples pour explorer l'utilisation de la formule et la bonne façon d'interpréter les problèmes liés à la probabilité d'événements simultanés.
Exemple 1. Sur deux lancers successifs du même dé, quelle est la probabilité qu'un nombre supérieur à 3 et le nombre 2 se produisent ?
Solution: réaliser que l'occurrence d'un événement n'influence pas la probabilité qu'un autre se produise, ce sont donc deux événements indépendants. Distinguons les deux événements :
A: sortie un nombre supérieur à 3 → nous avons comme résultats possibles les nombres 4, 5 ou 6.
B: sortie numéro 2
Calculons la probabilité d'occurrence de chacun des événements. Notez qu'en lançant un dé, nous avons 6 valeurs possibles. Ainsi:
De cette façon, nous aurons :
Exemple 2. Dans une urne il y a 30 boules numérotées de 1 à 30. Deux boules seront retirées aléatoirement de cette urne, l'une après l'autre, sans remise. Quelle est la probabilité qu'un multiple de 10 sorte dans le premier et un nombre impair dans le second ?
Solution: le fait que les pastilles soient retirées sans remise, implique que l'occurrence du premier événement interfère avec la probabilité du second. Par conséquent, ces événements ne sont pas indépendants. Déterminons chacun des événements.
A: sortie un multiple de 10 → {10, 20, 30}
B: sortie un nombre impair → {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
La probabilité d'occurrence successive des deux événements sera donnée par :
Nous ferons les calculs séparément :
Pour le calcul de p (B|A) il faut noter que nous n'aurons plus 30 boules dans l'urne, car une a été supprimée et il n'y a eu aucun remplacement, laissant 29 boules dans l'urne. Ainsi,
Bientôt,
Par Marcelo Rigonatto
Spécialiste en statistique et modélisation mathématique
Équipe scolaire du Brésil
Probabilité - Math - École du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/probabilidade-eventos-simultaneos.htm