LES factorisation d'expression algébrique consiste à écrire une expression algébrique en forme de produit. Dans des cas pratiques, c'est-à-dire dans la résolution de certains problèmes qui impliquent expressions algébriques, la factorisation est extrêmement utile car, dans la plupart des situations, elle simplifie l'expression travaillée.
Pour effectuer la factorisation d'expressions algébriques, nous utiliserons un résultat très important en mathématiques appelé théorème fondamental de l'arithmétique, qui stipule que tout entier supérieur à 1 peut être écrit comme le produit de nombres premiers, Voir:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Nous venons de factoriser les nombres 121 et 60.
Lire aussi: Décomposition d'un nombre en facteurs premiers
Méthodes de factorisation d'expressions algébriques
Nous allons maintenant voir les principales méthodes de factorisation, les plus utilisées nous allons faire une brève justification géométrique. Voir:
Affacturage des preuves
Considérons le rectangle :
Notez que le
rectangle le bleu plus la zone du rectangle vert donne le rectangle plus grand. Regardons chacun de ces domaines :LESBLEU = b · x
LESVERT = b · y
LESPLUS GROS = b · (x + y)
Donc, nous devons :
LESPLUS GROS = UnBLEU + UnVERT
b (x + y) = bx + par
Exemples
Le) Pour factoriser l'expression: 12x + 24y.
Notez que 12 est le facteur de preuve, puisqu'il apparaît dans les deux parcelles, donc pour déterminer les nombres qui entrent entre parenthèses, il suffit partager chaque parcelle par le facteur en preuve.
12x: 12 = X
24 ans: 12 = 2 ans
12x + 24y = 12 · (X + 2 ans)
B) Pour factoriser l'expression 21ab2 – 70e2B.
De la même manière, dans un premier temps, on détermine le facteur de preuve, c'est-à-dire le facteur qui se répète dans les parcelles. Voyez qu'à partir de la partie numérique, nous avons le 7 comme facteur commun, puisque c'est celui qui divise les deux nombres. Maintenant, concernant la partie littérale, voyez que seul le facteur est répété un B, par conséquent, le facteur de preuve est: 7ab.
21ab2 – 70e2b = 7ab (3b - 10le)
Lire aussi: Division polynomiale: comment faire ?
Affacturage par regroupement
La factorisation par regroupement est résultant de l'affacturage par preuve, la seule différence est qu'au lieu d'avoir un monomium comme facteur commun ou comme élément de preuve, nous aurons un polynôme, voir l'exemple :
Considérons l'expression (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Notons que le facteur commun est le binôme (a + b),par conséquent, la forme factorisée de l'expression précédente est :
(a + b) · (xy + wz2)
différence entre deux carrés
Considérons deux nombres a et b, lorsque nous avons un différence du carré de ces nombres, c'est-à-dire le2 -B2, nous pouvons donc les écrire sous la forme produit de la somme pour la différence, c'est à dire:
le2 -B2 = (a + b) · (a - b)
Exemples
Le) Pour factoriser l'expression x2 - oui2.
On peut utiliser la différence entre deux carrés, donc :
X2 - oui2 = (x + y) · (x - y)
B) Pour factoriser 20202 – 2.0192.
On peut utiliser la différence entre deux carrés, donc :
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinôme du carré parfait
Prenez le carré suivant sur le côté (a + b) et notez les aires des carrés et des rectangles formés à l'intérieur.
Voir le domaine de carré plus grand est donné par (a + b)2, mais, d'autre part, l'aire du plus grand carré peut être obtenue en ajoutant les carrés et les rectangles à l'intérieur, comme ceci :
(a + b)2 = le2+ ab + ab + b2
(a + b)2 = le2+ 2b + b2
(a + b)2 = le2 + 2ab + b2
De même, nous devons :
(un B)2 = le2 – 2ab + b2
Exemple
Considérons l'expression x2 + 12x + 36.
Pour factoriser une expression de ce type, il suffit d'identifier le coefficient de la variable x et le coefficient indépendant, et de comparer avec la formule donnée, voir :
X2 + 12x + 36
le2 + 2ab + b2
Faire les comparaisons, voir que x = a, 2b = 12 et b2 = 36; des égalités, nous avons que b = 6, donc l'expression factorisée est :
X2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Trinôme du lycée
Considérez le trinôme de hache2 + bx + c. Sa forme factorisée peut être trouvée en utilisant tes racines, c'est-à-dire les valeurs de x qui mettent à zéro cette expression. Pour déterminer les valeurs qui rendent cette expression nulle, il suffit de résoudre l'équation ax2 + bx + c = 0 en utilisant la méthode qui vous convient. Nous mettons ici en évidence la méthode la plus connue: Méthode Bhaskara.
La forme factorisée du trinôme hache2 + bx + c est :
hache2 + bx + c = a · (x – x1) · (x - x2)
Exemple
Considérons l'expression x2 + x – 20.
La première étape consiste à déterminer les racines de l'équation x.2 + x – 20 = 0.
Donc la forme factorisée de l'expression x2 + x – 20 est :
(x – 4) · (x + 5)
Cube de la différence entre deux nombres
Le cube de la différence entre deux nombres a et b est donné par :
(un B)3 = (a-b) · (un B)2
(un B)3 = (a – b) · (a2 – 2ab + b2)
Cube de la somme de deux nombres
De même, on a que (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , bientôt:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
exercices résolus
question 1 – (Cefet-MG) Où le nombre n = 6842 – 6832, la somme des chiffres de n est :
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Résolution
Alternative d. Pour déterminer la somme des chiffres de n, nous factorisons d'abord l'expression, car calculer les carrés puis soustraire est un travail inutile. En factorisant l'expression en utilisant la différence entre deux carrés, nous avons :
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1 367 · 1
n = 1 367
Par conséquent, la somme des chiffres de n est donnée par 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Question 2 - (Insper-SP modifié) Déterminez la valeur de l'expression :
Résolution
Afin de faciliter la notation, nommons a = 2009 et b = 2. rappelez-vous que 22 = 4, il faut donc :
Remarquez que, dans le numérateur de la fraction, nous avons la différence entre deux carrés, nous pouvons donc écrire le2 -B2 = (a + b) (a - b). Bientôt:
a – b = 2009 – 2 = 2007.
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm