LES analyse combinatoire est un domaine d'étude en mathématiques associé aux règles de comptage. Au début du XVIIIe siècle, l'étude des jeux de dés et de cartes fit grandir les théories du comptage.
Le travail de la combinatoire permet la réalisation de comptages de plus en plus précis.Le principe fondamental du comptage (PFC), la factorielle et les types de regroupement sont des exemples de concepts étudiés en analyse combinatoire, qui, en plus de fournir plus gros la précision aide nonle développement d'autres domaines des mathématiques, comme le probabilité et O Le binôme de Newton.
Lire aussi: arrangement ou çcombinaison?
A quoi sert l'analyse combinatoire ?
L'analyse combinatoire est associée au processus de comptage, c'est-à-dire que l'étude de ce domaine des mathématiques nous permet de développer des outils qui nous aident à effectuer compte plus efficacement. Examinons un problème de comptage typique, voir :
Exemple 1
Considérons trois villes A, B et C reliées par les autoroutes R1
, R2, R3, R4 et R5. Déterminez de combien de façons nous pouvons aller de la ville A à la ville C via la ville B.
Notez que nous devons quitter la ville A et aller à la ville B, et alors seulement pouvons-nous voyager jusqu'à la ville C, alors analysons tous les possibilités pour réaliser l'événement en suivant les autoroutes.
1ère voie: R1 → R3
2ème voie : R1 → R4
3ème voie: R1 → R5
4ème voie: R2 → R3
5ème voie: R2 → R4
6ème voie: R2 → R5
Nous avons donc six façons différentes d'aller de la ville A à la ville C via la ville B. Cependant, notons que le problème proposé est relativement simple et que l'analyse effectuée a été peu laborieuse. Donc, à partir de maintenant, nous allons étudier des outils plus sophistiqués qui permettent de résoudre des problèmes avec beaucoup moins de travail.
Principe fondamental du comptage (PFC)
Considérons un événement E qui peut être réalisé en n étapes indépendantes et consécutives. Maintenant, considérons que le nombre de possibilités pour effectuer la première étape est égal à P1, imaginez aussi que le nombre de possibilités pour réaliser la deuxième étape soit P.2, et ainsi de suite, jusqu'à ce que nous atteignions la dernière étape, qui a Pnon possibilités à réaliser.
Le principe fondamental du comptage (PFC) stipule que le possibilités totales de la tenue de l'événement E est donnée par :
P1 ·P2 · … · Pnon
Ainsi, le total est donné par le produit des possibilités de chacune des étapes qui constituent l'événement E. A noter que, pour déterminer les possibilités totales de tenue de l'événement E, il est nécessaire de connaître les possibilités totales pour chacune des étapes.
Exemple 2
Reprenons l'exemple 1 en utilisant le principe fondamental du comptage.
Considérez l'image de l'exemple 1.
A noter que l'événement peut se dérouler en deux étapes, la première va de la ville A à la ville B, et la seconde va de la ville B à la ville C. Pour réaliser la première étape, nous avons deux possibilités (routes R1 et R2), et pour réaliser la deuxième étape, nous avons trois possibilités (R3, R4 et R5).
1ère étape → deux possibilités
2ème étape → trois possibilités
Par le principe fondamental du comptage, nous devons multiplier les possibilités totales de chaque étape.
2 · 3
6
Ainsi, pour aller de la ville A à la ville C en passant par la ville B, nous avons au total six possibilités.
Exemple 3
De combien de façons les trois médailles olympiques peuvent-elles être distribuées dans une compétition de vélo de montagne avec cinq concurrents ?
L'organisation de la distribution des médailles est un événement qui peut se dérouler en trois étapes. La première étape consiste à analyser les possibilités totales de savoir qui obtiendra la médaille d'or, c'est-à-dire cinq possibilités.
La deuxième étape consiste à analyser les possibilités de savoir qui obtiendra la médaille d'argent, c'est-à-dire quatre, puisque la première place n'entre pas dans ce choix. La troisième étape consiste à analyser les possibilités totales de savoir qui obtiendra la médaille de bronze, c'est-à-dire Trois, puisque les deux premiers ont déjà été choisis.
1ère étape → cinq possibilités
2ème étape → quatre possibilités
3ème étape → trois possibilités
Ainsi, par le principe fondamental du comptage, nous avons :
5 · 4 · 3
60 possibilités
Voir aussi: Principe de comptage additif - union d'un ou plusieurs ensembles
Factorielle
O factoriel est un moyen de décomposer un nombre naturel. Pour calculer la factorielle d'un nombre, il suffit de le multiplier par tous ses prédécesseurs jusqu'au nombre 1. La factorielle est représentée par le point d'exclamation - "!".
Voir quelques exemples sur la façon de calculer la factorielle de certains nombres.
Le) 2! (lit: deux factoriels)
Pour le calcul, il suffit de multiplier le nombre qui accompagne la factorielle par tous ses prédécesseurs jusqu'au nombre 1, comme ceci :
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
ré) 1! = 1
Formellement, nous pouvons écrire la factorielle comme suit :
Considérons un nombre naturel n > 2. La factorielle de n est indiquée par n! et est donné en multipliant n par tous ses prédécesseurs entiers positifs.
non! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1
Notez les factorielles suivantes :
4! et 5 !
Effectuez maintenant le développement des deux :
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Notez que dans le développement de 5! apparaît le développement de 4!. On peut donc écrire le 5! Donc:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Exemple 4
Calculer la sec factorielhurler:
Vois ça le 15! a été développé jusqu'au 13!. Notez également que, dans le numérateur de la fraction, les éléments sont multipliés, nous pouvons donc « couper » le 13!, ce qui donne seulement 15 · 14.
Observation:0! = 1
Types de regroupement
Certains problèmes de comptage sont plus complexes et plus faciles à résoudre avec de nouveaux outils. Ces outils sont appelés regroupement car ils regroupent les éléments de différentes manières, ce qui facilite le processus de comptage. Ces groupements sont: arrangement simple, permutation et combinaison simple.
disposition simple
Considérons un ensemble avec n éléments distincts. appelons ça arrangement de n les éléments pris de p à p, toute séquence ordonnée par p, et les éléments distincts choisis parmi les éléments.
Ainsi, le nombre de sous-ensembles formés par p éléments sera l'arrangement de n éléments pris de p à p. La formule qui permet de calculer le nombre d'arrangements est donnée par :
Exemple 5
Calculer la valeur de A4,2 + Un5,2.
Pour calculer la valeur de l'expression, déterminons chacun des tableaux, puis ajoutons ces valeurs ensemble. Pour déterminer la valeur de chaque tableau, nous devons substituer les valeurs dans la formule.
Notez que n = 4 et p = 2, les deux ont été substitués dans la formule. Maintenant, il faut calculer la valeur du tableau de cinq éléments pris deux par deux.
Donc, nous devons :
LES4,2 + Un5,2
12 + 20
32
Exemple 6
Combien de nombres naturels distincts à quatre chiffres peuvent être formés en utilisant les nombres 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 ?
Dans ce problème, nous pouvons utiliser l'arrangement simple, puisque 2435 ≠ 4235. Nous verrons que, dans certains cas, l'ordre des éléments ne les différencie pas, et donc nous ne pouvons pas utiliser l'arrangement.
Puisque nous voulons déterminer le total des nombres qui peuvent être formés, notez que le total des éléments est égal à huit, et nous voulons les regrouper quatre par quatre, donc :
permutation simple
Considérons un ensemble avec n éléments. appelons ça permutation simple de n éléments tout arrangement de n éléments pris n à n. Nous devons donc :
Pour qu'il n'y ait pas de confusion entre les concepts, désignons la simple permutation de n éléments par Pnon. Nous devons donc :
Pnon = n!
Exemple 7
Calculer P7 et P3.
Pour calculer ces permutations, il faut substituer les valeurs dans la formule. Voir:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Exemple 8
Détermine combien il peut y avoir d'anagrammes dans le mot Brésil.
On entend par anagramme toutes les transpositions possibles des lettres du mot, par exemple, "Lisarb" est un anagramme du mot Brésil. Pour déterminer le nombre d'anagrammes, il faut calculer la permutation des lettres du mot, il faut donc :
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Le mot Brésil a donc 720 anagrammes.
Accédez également à: Permutation avec éléments répétés
combinaison simple
Considérons un ensemble A avec n éléments distincts. appelons ça combinaison des n éléments pris p à p tout sous-ensemble de A formé de p éléments. La formule de calcul de la combinaison est donnée par :
Exemple 9
Calculez la combinaison de 10 éléments pris de quatre à quatre.
Exemple 10
Combien de quadrilatères distinct peut-on former avec des sommets aux points A, B, C, D, E et F ?
Notez que le quadrilatère ABCD est le même que le quadrilatère CDBA dans ce contexte, nous devons donc utiliser la combinaison et non les tableaux. Nous avons un total de six points et nous voulons les combiner quatre par quatre, comme ceci :
On peut donc former 15 quadrilatères distincts.
Analyse combinatoire et probabilité
L'Etude de La probabilité est étroitement liée à l'étude de l'analyse combinatoire.. Dans certains problèmes de probabilité, il est nécessaire de déterminer l'espace échantillon, qui consiste en un ensemble formé par tous les résultats possibles d'un événement donné.
Dans certains cas, l'espace d'échantillon E est écrit très directement, comme dans le jeu d'une pièce de monnaie équitable, où les résultats possibles sont face ou face et sont notés comme suit :
E = {têtes, queues}
Imaginez maintenant la situation suivante: un dé est lancé trois fois de suite et nous souhaitons déterminer l'espace d'échantillonnage pour cette expérience. Notez que noter toutes les possibilités n'est plus une tâche simple, nous devons utiliser le principe fondamental du comptage (PFC). L'événement peut être réalisé en trois étapes, dans chacune d'elles nous avons six possibilités, puisqu'un dé a six faces, comme ceci :
1ère étape → six possibilités
2ème étape → six possibilités
3ème étape → six possibilités
Par le PFC, on a que le total des possibilités est :
6 · 6 · 6
216
On peut donc dire que l'espace échantillon de cet événement est de 216.
Voir que pour l'étude des probabilités, il est une connaissance de base de l'analyse combinatoire est requise., car, sans déterminer l'espace échantillon d'une expérience, il est impossible de résoudre la grande majorité des exercices de probabilité. Pour plus de détails sur ce domaine des mathématiques, lisez le texte :Probabilité.
exercices résolus
question 1 – Déterminer le nombre d'anagrammes du mot château. Déterminez ensuite le nombre d'anagrammes commençant par la lettre c.
Résolution
Pour déterminer le nombre d'anagrammes, il faut calculer la permutation du nombre de lettres, comme ceci :
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Le mot a 5040 anagrammes. Maintenant, pour déterminer le nombre d'anagrammes qui commencent par la lettre c, il faut fixer la lettre et calculer l'anagramme des autres, voir :
Ç__ __ __ __ __ __
Lorsque nous fixons la lettre c, notez qu'il reste six champs pour calculer la permutation, comme ceci :
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Nous avons donc 720 anagrammes du mot château qui commencent par la lettre c.
question 2 – Dans une salle de classe, il y a cinq hommes et sept femmes. Combien de groupes de trois hommes et quatre femmes peut-on former ?
Résolution
Tout d'abord, voyez que l'ordre dans lequel nous choisissons les gens n'a pas d'importance, par exemple le groupe formé par João, Marcos et José est le même groupe formé par Marcos, João et José, par conséquent, nous devons utiliser la combinaison pour le calcul.
Calculons séparément le nombre de groupes pouvant être constitués d'hommes et de femmes, et en Alors multiplions ces résultats, car chaque groupe d'hommes peut se mélanger avec chaque groupe de femmes.
Hommes
Total → 5
Quantité en groupe → 3
Femmes
Total → 7
Quantité en groupe → 4
Par conséquent, le nombre total de groupes pouvant être constitués par trois hommes et quatre femmes est de :
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm