la compréhension de ensembles est la base principale de l'étude de algèbre et des concepts d'une grande importance en mathématiques, tels que les fonctions et les inégalités. La notation que nous utilisons pour les ensembles est toujours une lettre majuscule de notre alphabet (par exemple, ensemble A ou ensemble B).
En terme de représentation d'ensembles, cela peut être fait par Diagramme de Venn, en décrivant simplement les caractéristiques de ses éléments, en énumérant les éléments ou en décrivant leurs propriétés. Lorsque vous travaillez avec des problèmes impliquant des ensembles, il existe des situations qui nécessitent l'exécution de opérations entre ensembles, étant l'union, l'intersection et la différence. Allons-nous étudier tout cela en détail ?
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Notation et représentation des ensembles
Pour la représentation d'un ensemble, on utilise toujours un majuscule de l'alphabet, et les éléments sont toujours entre clés et sont séparés par une virgule. Pour représenter l'ensemble des nombres pairs supérieurs à 1 et inférieurs à 20, par exemple, on utilise la notation suivante: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Formes de représentation des ensembles
représentation par énumération: on peut énumérer ses éléments, c'est-à-dire faire une liste, toujours entre accolades. Voir un exemple :
A = {1,5,9,12,14,20}
décrivant les caractéristiques: on peut décrire simplement la caractéristique de l'ensemble. Par exemple, soit X un ensemble, nous avons que X = {x est un nombre positif multiple de 5}; Y: est l'ensemble des mois de l'année.
Diagramme de Venn: Les ensembles peuvent également être représentés sous la forme d'un diagramme, appelé Diagramme de Venn, qui est une représentation plus efficace pour effectuer des opérations.
Exemple:
Étant donné l'ensemble A = {1,2,3,4,5}, nous pouvons le représenter dans le diagramme de Venn suivant :
Éléments d'un ensemble et relation d'appartenance
Étant donné n'importe quel élément, on peut dire que l'élément fait parti à l'ensemble ou n'appartient pas à cet ensemble. Pour représenter plus rapidement cette relation d'appartenance, on utilise les symboles
(lu comme appartenant) et ∉ (lu comme n'appartenant pas). Par exemple, soit P l'ensemble des numéros de paire, on peut dire que le 7 P et que 12 P.
Égalité des ensembles
La comparaison entre les ensembles est inévitable, on peut donc dire que deux ensembles sont égaux ou non, en vérifiant chacun de ses éléments. Soit A = { 0,1,3,4,8} et B = { 8,4,3,1,0}, même si les éléments sont dans un ordre différent, on peut dire que les ensembles A et B sont égaux: A = B.
Relation d'inclusion
En comparant deux ensembles, nous pouvons rencontrer plusieurs relations, et l'une d'elles est la relation d'inclusion. Pour cette relation, nous avons besoin de connaître quelques symboles :
⊃ → contient ⊂→ est contenu
⊅ → ne contient pas→n'est pas contenu
Astuce: Le côté d'ouverture du symbole fera toujours face à l'ensemble le plus grand. |
Lorsque tous les éléments d'un ensemble A appartiennent également à un ensemble B, on dit que A ⊂ B ou que A est contenu dans B. Par exemple, A={1,2,3} et B={1,2,3,4,5,6}. Il est également possible d'effectuer la représentation par Diagramme de Venn, ça ressemblerait à ça :
A est contenu dans B :
A B
Sous-ensembles
Lorsqu'un relation d'inclusion, c'est-à-dire que l'ensemble A est contenu dans l'ensemble B, on peut dire que A est un sous-ensemble de B. Le sous-ensemble reste un ensemble, et un l'ensemble peut avoir plusieurs sous-ensembles, construit à partir des éléments qui lui appartiennent.
Par exemple: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} a comme sous-ensembles les ensembles B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} et même l'ensemble A {1,2,3,4,5,6,7,8}, c'est-à-dire que A est un sous-ensemble de lui-même.
ensemble unitaire
Comme son nom l'indique déjà, c'est cet ensemble qui n'a qu'un seul élément, comme l'ensemble D:{1} montré précédemment. Étant donné l'ensemble B: {1,2,3}, nous avons les sous-ensembles {1}, {2} et {3}, qui sont tous des ensembles unitaires.
ATTENTION: L'ensemble E: {0} est également un ensemble unitaire, car il a un seul élément, « 0 », et ce n'est pas un ensemble vide.
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ensemble vide
Avec un nom encore plus suggestif, l'ensemble vide n'a aucun élément et est un sous-ensemble de n'importe quel ensemble. Pour représenter l'ensemble vide, il y a deux représentations possibles, ce sont V: { } ou le symbole Ø.
Ensembles de pièces
Nous connaissons comme ensembles de parties tous les sous-ensembles possibles d'un ensemble donné. Soit A: {1,2,3,4}, nous pouvons lister tous les sous-ensembles de cet ensemble A en commençant par les ensembles qui n'ont pas d'éléments (vide) puis ceux qui ont un, deux, trois et quatre éléments, respectivement.
ensemble vide: { };
Ensembles unitaires: {1}; {2};{3}; {4}.
Ensembles avec deux éléments: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
ensembles avec trois éléments: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Ensemble avec quatre éléments: {1,2,3,4}.
Par conséquent, nous pouvons décrire l'ensemble des parties de A de cette manière :
P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }
Pour savoir combien de parties il est possible de diviser un ensemble, on utilise la formule :
n[P(A)] = 2non
Le nombre de parties de A est calculé par un puissance base 2 relevée à non, sur quoi non est le nombre d'éléments de l'ensemble.
Considérons l'ensemble A: {1,2,3,4}, qui a quatre éléments. Le total des sous-ensembles possibles de cet ensemble est 24 =16.
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Ensemble fini et infini
Lorsque nous travaillons avec des ensembles, nous trouvons des ensembles qui sont limité (fini) et ceux qui sont illimité (infini). L'ensemble des nombres pairs ou impairs, par exemple, est infini et, pour le représenter, nous décrivons certains de ses éléments en séquence, afin qu'il soit possible de prédire quels seront les prochains éléments, et nous mettons des ellipses dans le Final.
Moi: {1,3,5,7,9,11...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Dans un ensemble fini, cependant, nous ne mettons pas les ellipses à la fin, car il a un début et une fin définis.
R: {1,2,3,4}.
ensemble d'univers
O ensemble d'univers, noté par U, est défini comme l'ensemble formé par tous les éléments qui doivent être considérés au sein d'un problème. Chaque élément appartient à l'ensemble d'univers et chaque ensemble est contenu dans l'ensemble d'univers.
Opérations avec des ensembles
Les opérations avec les ensembles sont: union, intersection et différence.
Intersection d'ensembles
Une intersection se produit lorsque des éléments appartiennent simultanément à un ou plusieurs ensembles. Lors de l'écriture de A∩B, nous recherchons des éléments qui appartiennent à la fois à l'ensemble A et à l'ensemble B.
Exemple:
Considérons A= {1,2,3,4,5,6} et B = {2,4,6,7,8}, les éléments qui appartiennent à la fois à l'ensemble A et à l'ensemble B sont: A∩B = { 2 ,4,6}. La représentation de cette opération se fait comme suit :
A∩B
Lorsque les ensembles n'ont aucun élément en commun, ils sont appelés ensembles disjoints.
A∩B = Ø
différence entre les ensembles
Calculez le différence entre deux ensembles est de rechercher des éléments qui appartiennent à un seul des deux ensembles. Par exemple, A – B a comme réponse un ensemble composé d'éléments qui appartiennent à l'ensemble A et n'appartiennent pas à l'ensemble B.
Exemple: A: {1,2,3,4,5,6} et B: {2,4,6,7,8}. Remarquons que A B ={2,4,6}, nous avons donc :
a) A - B = { 1,3,5 }
b) B – A = {7,8}
Unité
L'union de deux ou plusieurs ensembles est la rejoindre vos termes. S'il y a des éléments qui se répètent dans les deux ensembles, ils ne sont écrits qu'une seule fois. Par exemple: A={1,2,3,4,5} et B={4,5,6,7,10,14}. Pour représenter l'union, nous utilisons le symbole (se lit: Une union avec B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Pour en savoir plus sur ces opérations et découvrir plusieurs exercices résolus, lisez: Opérations avec des ensembles.
Les lois de Morgan
Soit A et B deux ensembles et soit U l'ensemble de l'univers, il y a deux propriétés qui sont données par les lois de Morgan, à savoir :
(A U B)ç = Unç Bç
(A B)ç = Unç U Bç
Exemple:
Étant donné les ensembles :
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
R: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Vérifions que (A U B)ç = Unç Bç. Donc, nous devons :
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Par conséquent, (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Pour vérifier la véracité de l'égalité, analysons l'opération Aç Bç:
LESç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Puis, LESç Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Unç Bç
exercices résolus
01) Considérons U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} et B: {4,5,6, 7,8,9}. Montrer que (A B)ç = Unç U Bç.
Résolution:
1ère étape: trouver (A B)ç. Pour cela, on a A B = {4,5,6}, donc (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2ème étape : trouver unç U Bç. LESç:{7,8,9,10} et Bç:{1,2,3,10}, donc Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
On montre que (A B)ç = Unç U Bç.
02) Sachant que A est l'ensemble des nombres pairs de 1 à 20, quel est le nombre total de sous-ensembles que nous pouvons construire à partir des éléments de cet ensemble ?
Résolution:
Soit P l'ensemble décrit, on a P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Le nombre d'éléments de P est donc 10.
Par la théorie des ensembles de parties, le nombre de sous-ensembles possibles de P est :
210=1024
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
