Toi parallélogrammes sont des polygones de Géométrie plane largement exploré pour être des figures géométriques courantes dans notre vie quotidienne. On définit un parallélogramme comme un polygone qui a côtés opposés parallèles, une caractéristique qui se traduit par des propriétés exclusives.
Les cas particuliers des parallélogrammes sont les carrés, rectangles et losanges. Pour chacun de ces polygones, il existe des formules spécifiques de calcul d'aire et de périmètre.
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Éléments d'un parallélogramme
Pour être un parallélogramme, le polygone doit avoir des côtés opposés parallèles. Comme spécificités, nous devons :
Chaque parallélogramme est composé de quatre côtés, et les côtés opposés sont parallèles.
Chaque parallélogramme a quatre angles internes, et le somme de ces angles est toujours égal à 360º.
Tout parallélogramme a deux diagonales.
Rappelez-vous que les parallélogrammes sont cas particuliers de quadrilatères, il y a donc des caractéristiques héritées de ces figures géométriques, comme l'existence de deux diagonales, quatre côtés et quatre angles, ainsi que la somme des angles intérieur et extérieur est toujours égale à 360º.
Propriétés d'un parallélogramme
1ère propriété : Les côtés opposés d'un parallélogramme sont congrus, c'est-à-dire qu'ils ont la même mesure.
2ème propriété: Les angles opposés d'un parallélogramme sont congrus et deux angles consécutifs sont toujours supplémentaires (la somme est égale à 180°).
Sachant que AB et CD sont parallèles, alors les côtés BC et AD sont transverses à AB et CD; par conséquent, le angles formées (w et x) sont complémentaires car ce sont des angles collatéraux internes. De plus, il est possible de démontrer que les angles x et z sont congrus.
- 3ème propriété : Les diagonales d'un parallélogramme sont coupées en deux.
Lorsque l'on trace les deux diagonales d'un parallélogramme, leur point de rencontre se divise chacune en ses milieux.
AM = CM
BM=DM
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Aire d'un parallélogramme
L'aire d'un parallélogramme, en général, est calculé par le produit de la base et de la hauteur. Il existe des cas particuliers (rectangles, losanges et carrés) qui ont des formules spécifiques – elles seront présentées tout au long de ce texte – mais qui découlent de la forme générale.
A = b.h
b: socle
h: hauteur
Périmètre d'un parallélogramme
O périmètre est donné par somme de tous côtés. Comme un parallélogramme a généralement deux côtés égaux, son périmètre peut être déterminé par :
P = 2 (a + b)
Cas particuliers des parallélogrammes
Comme nous le savons, par définition, pour être un parallélogramme, le polygone doit avoir des côtés parallèles. Il y a trois quadrilatères qui sont traités comme des cas particuliers du parallélogramme: le rectangle, le losange et le carré.
Carré
nous appelons carré un polygone à quatre côtés qui a quatre côtés et quatre angles congrus - chaque angle est exactement de 90 degrés. Puisque le carré est un parallélogramme, toutes les propriétés sont valables pour le carré.
L'aire d'un carré et son périmètre se calculent de manière similaire à ce qui se fait avec un parallélogramme, mais puisque tous les côtés du carré sont égaux, nous pouvons représenter l'aire et le périmètre du carré comme ceci :
A=l²
p = 4,1
Rectangle
O rectangle c'est un parallélogramme qui a tous les angles congrus. Il porte ce nom parce tous tes angles sont droits, c'est-à-dire que les quatre angles mesurent 90º. La zone du rectangle est identique à la zone du parallélogramme, mais nous pouvons traiter le côté vertical comme la hauteur, après tout, il est perpendiculaire à la base.
A=un B
P= 2 (a + b)
diamant
O diamant c'est un parallélogramme dont tous les côtés sont congrus. Notez qu'il n'y a aucune restriction sur les angles, ils peuvent être différents ou non. Contrairement aux exemples précédents, le le calcul de l'aire d'un losange est basé sur ses diagonales. Il existe également une relation très importante entre les diagonales du losange et son côté.
D: plus grande diagonale
d: diagonale mineure
l: côté
Étant donné n'importe quel diamant, nous savons que les diagonales se coupent au milieu, formant quatre triangles rectangles. En analysant l'un de ces triangles, il est possible de voir un relation pythagoricienne entre le côté et la moitié de chacune des diagonales.
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Relation entre parallélogrammes
Il est important de comprendre la définition du parallélogramme afin qu'il n'y ait pas de complication lors de la classification. Il est toujours bon de se rappeler que chaque parallélogramme est un quadrilatère, mais tout quadrilatère n'est pas un parallélogramme.
On peut aussi affirmer que chaque rectangle, chaque carré et chaque losange sont des parallélogrammes. De plus, en comparant les cas particuliers des parallélogrammes, on peut voir une autre relation, car le carré il a des angles congrus, qui est la définition du rectangle, et aussi des côtés congrus, qui est la définition de diamant. En conséquence, on peut dire que chaque carré est un rectangle et aussi un losange.
exercices résolus
Question 1 - Sachant que la figure ci-dessous est un parallélogramme, quelle sera respectivement la valeur de x, y et z ?
a) 40,140 et 180
b) 30, 100 et 100
c) 25, 140 et 95
d) 30, 90 et 145
e) 45, 55 et 220
Résolution
1ère étape : En utilisant la propriété du parallélogramme, nous savons que les angles opposés sont égaux. Lors de l'analyse de l'image, il est plus pratique d'utiliser cette propriété aux angles de sommet B et D, car ils ont la même inconnue.
2ème étape: Sachant que les angles consécutifs sont supplémentaires et que x = 25, il est possible de trouver la valeur de y.
3ème étape : Puisque les angles des sommets C et A sont opposés, ils sont congrus, nous pouvons donc trouver la valeur de z.
Variante C.
Question 2 - Calculez l'aire du parallélogramme (côtés mesurés en centimètres) ci-dessous.
a) 16 cm²
b) 32 cm²
c) 8 cm²
d) 64 cm²
e) 40 cm²
Résolution
Pour trouver l'aire du parallélogramme, il faut d'abord trouver la valeur de h. Notez que le triangle AEB est un rectangle d'hypoténuse égal à 5, nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore pour trouver la valeur de h.
Variante B.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/paralelogramos.htm