le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 représenté dans le plan cartesien. Dans celui-ci, l'axe horizontal est l'axe du cosinus et l'axe vertical est l'axe des sinus. On peut aussi l'appeler un cycle trigonométrique.
Il est utilisé pour réaliser l'étude des rapports trigonométriques. Avec elle, il est possible de mieux comprendre les principales raisons trigonométriques de angles supérieur à 180º, à savoir: le sinus, le cosinus et la tangente.
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Étape par étape pour construire le cercle trigonométrique
Pour construire le cercle trigonométrique, on utilise deux axes, un vertical et un horizontal, comme un plan cartésien. L'axe horizontal est appelé axe des cosinus, et l'axe vertical est appelé axe des sinus.
Avec la construction des axes, traçons le graphique d'un cercle de rayon 1.
Rapports trigonométriques dans le cercle
On utilise le cercle pour trouver la valeur de sinus, cosinus et tangente, selon la valeur de l'angle. avoir dans sur l'axe vertical la valeur du sinus et sur l'axe horizontal la valeur du cosinus, en déterminant un angle sur le cercle trigonométrique, il est possible de trouver la valeur du sinus et du cosinus en analysant le coordonnées du point où le segment de droite relie le centre du cercle et la circonférence, représentées par P dans l'image a poursuivre. Si l'on trace la tangente au cercle au point (1.0), on peut aussi calculer la tangente de cet angle analytiquement d'après l'image :
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Radians de cercle trigonométrique
Nous savons qu'un arc peut être mesuré en utilisant deux unités de mesure différentes: la mesure en degrés et la mesure en radians. Nous savons que la circonférence est de 360º et que la longueur de votre arc est de 2π :
Quadrants du cercle trigonométrique
Que ce soit en radians ou en degrés, il est possible de définir le quadrant dans lequel se situe un arc donné en fonction de sa mesure.
En analysant le cycle, nous devons :
premier quadrant: des angles compris entre 0 et 90° ou 0 et /2 radians ;
deuxième quadrant: des angles compris entre 90° et 180° ou π/2 et π radians ;
troisième quadrant: des angles compris entre 180º et 270º ou π et 3 π/2 radians;
quatrième quadrant: des angles compris entre 270° et 360° ou 3π/2 et 2π radians.
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Angles remarquables dans le cercle trigonométrique
Au début de l'étude de trigonométrie, nous avons appris que les angles notables sont les angles de 30º, 45º et 60º, qui ont la valeur du sinus, du cosinus et de la tangente connus. Cependant, en raison de la symétrie du cycle trigonométrique, il est possible de trouver les valeurs sinus et cosinus pour ces angles et les angles symétriques à lui dans chacun des quadrants.
Signes de cercle trigonométrique
Pour comprendre quel est le signe de chacun des rapports trigonométriques du cycle, il suffit d'analyser les valeurs des axes dans le plan cartésien.
Commençons par le cosinus. Puisqu'il s'agit de l'axe horizontal, le cosinus des angles inclus à droite de l'axe vertical est positif et le cosinus des angles inclus à gauche de l'axe vertical est négatif.
Maintenant, pour comprendre le signe sinus d'un angle, rappelez-vous simplement que l'axe vertical est l'axe des sinus, donc le sinus d'un angle qui est au-dessus de l'axe horizontal est positif; mais si l'angle est inférieur à l'axe horizontal, le sinus de cet angle est négatif, comme le montre l'image suivante :
Nous savons que la tangente est le rapport entre le sinus et le cosinus, puis, pour trouver le signe de la tangente pour chacun des quadrants, on joue au jeu des signes, qui rend la tangente positive dans les quadrants impairs et négative dans les quadrants pairs :
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symétrie dans le cercle
Analyser le cycle trigonométrique, il est possible de construire un moyen de réduire le sinus, le cosinus et la tangente au premier quadrant. Cette réduction consiste à trouver dans le premier quadrant un angle symétrique à un angle des autres quadrants, car, lorsque l'on travaille avec un angle symétrique, la valeur des rapports trigonométriques est la même, ne changeant que son signal.
Réduction d'un angle du 2e quadrant au 1er quadrant
En partant des angles qui sont dans le 2ème quadrant, il faut :
Comme nous le savons, dans les 1er et 2e quadrants, le sinus est positif. Ainsi, pour calculer la réduction du sinus du 2ème quadrant au 1er quadrant, on utilise la formule :
sin x= sin (180º - x)
Le cosinus et la tangente dans le 2ème quadrant sont négatifs. Pour réduire le cosinus du 2ème quadrant au 1er quadrant, on utilise la formule :
cosx = – cos (180º – x)
tg x = – tg (180º – x)
Exemple:
Quelle est la valeur du sinus et du cosinus d'un angle de 120° ?
L'angle de 120° est un deuxième quadrant puisqu'il est compris entre 90° et 180°. Pour réduire cet angle au 1er quadrant, on calcule :
sin 120° = sin (180° – 120°)
péché 120º = péché 60º
L'angle de 60° est un angle remarquable, donc sa valeur sinus est connue, donc :
Calculons maintenant votre cosinus :
cos 120º = – cos (180 – 120)
cos 120º = - cos 60º
Comme nous connaissons le cosinus de 60º, nous devons :
Réduction d'un angle du 3e quadrant au 1er quadrant
Comme dans le 2e quadrant, il existe une symétrie entre les angles du 3e quadrant et les angles du 1er quadrant.
Le sinus et le cosinus du troisième quadrant sont négatifs. Ainsi, pour réduire sinus et cosinus du 3ème quadrant au 1er quadrant, on utilise la formule :
sin x = – sin (x – 180º)
cosx = – cos (x – 180º)
La tangente au 3ème quadrant est positive. Pour le réduire, on utilise la formule :
tg x = tg (x – 180º)
Exemple:
Calculez le sinus, le cosinus et la tangente de 225º.
péché 225º = – péché (225º – 180º)
péché 225º = – péché 45º
45º étant un angle remarquable, lors de la consultation du tableau, il faut :
Maintenant, en calculant le cosinus, il faut :
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
On sait que tg45º = 1, donc :
tg 225º = 1
Réduction d'un angle du 4ème quadrant au 1er quadrant
Avec le même raisonnement que les réductions précédentes, il existe une symétrie entre le 4ème et le 1er quadrant :
Les valeurs sinus et tangente dans le 4ème quadrant sont négatives. Donc, pour faire la réduction du 4ème au 1er quadrant, on utilise la formule :
sin x = – sin (360º – x)
tg x = – tg (360º – x)
Le cosinus dans le 4ème quadrant est positif. Donc, pour réduire au 1er quadrant, la formule est :
cos x = cos (360º - x)
Exemple:
Calculez la valeur du sinus et du cosinus de 330º.
En commençant par le sinus :
Calculons maintenant le cosinus :
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Exercices résolus en cercle trigonométrique
question 1 - Lors de l'étude du moment circulaire, un physicien a analysé un objet qui tournait sur lui-même, formant un angle de 15 240º. En analysant cet angle, l'arc qu'il forme est en :
A) quadrant I.
B) quadrant II.
C) quadrant III.
D) quadrant IV.
E) au-dessus d'un des axes.
Résolution
Variante B.
Nous savons que tous les 360° cet objet a bouclé un cercle autour de lui-même. Lors de l'exécution du division de 15 240 par 360, nous trouverons combien de tours complets cet objet a fait autour de lui-même, mais notre principal intérêt est dans le reste, qui représente l'angle auquel il s'est arrêté.
15.240: 360 = 42,333…
Le résultat montre qu'il a fait 42 tours autour de lui, mais 360 · 42 = 15,120, donc il a laissé un angle de :
15.240 – 15.120 = 120º
Nous savons que 120° est un deuxième angle du quadrant.
Question 2 - Veuillez juger les affirmations suivantes :
I → Lors du calcul de tg 140º, la valeur sera négative.
II → L'angle de 200° est un angle du 2ème quadrant.
III → Sen 130º = sin 50º.
Marquez la bonne alternative :
A) Seul I est faux.
B) Seul II est faux.
C) Seul III est faux.
D) Tout est vrai.
Résolution
Variante B.
I → Vrai, puisque l'angle de 140º appartient au 2e quadrant, dans lequel la tangente est toujours négative.
II → Faux, car l'angle de 200° est un angle du 3ème quadrant.
III → Vrai, car pour réduire un angle du 2e au 1er quadrant, il suffit de calculer la différence 180° – x, puis :
péché 130° = péché (180° – 130°)
péché 130e = péché 50e
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm
