Quelle est la loi des sinus ?

Lorsqu'il est nécessaire de relier un côté à un angle sur une triangle rectangle pour trouver les mesures d'un de ses côtés ou d'un de ses angles, on peut utiliser le relations trigonométriques: sinus, cosinus et tangente. Il est également possible de calculer la mesure d'un des côtés ou d'un des angles d'un Trianglequelconque, c'est-à-dire pas nécessairement d'un triangle rectangle. Pour cela, l'une des méthodes utilisées est la loi sur les péchés.

loi sur les péchés

Prenons l'exemple du triangle ABC, inscrit dans un circonférence de rayon r.

Dans un cas comme celui-ci, les côtés et angles avoir des mesures. Donc nous avons:

le = B = ç = 2r
péchéα péchéβ péchéθ

Dans ce triangle, a, b et c sont les mesures de ses côtés; α, et sont leurs angles internes, et le sinus de ces angles ont les mêmes valeurs que les sinus trouvés dans le les tablestrigonométrique.

d'abord fraction, a est la mesure du côté opposé de sinα; dans la deuxième fraction, b est la mesure opposée à sinβ, et dans la troisième fraction, notez que c est la mesure opposée à sinθ. Il y a donc un

proportion entre les rapports formés par la mesure d'un côté et le sinus du angle opposé à cette mesure.

Notez également que chacun de ces rapports est égal au diamètre du cercle circonscrit au triangle.

La plupart du temps, il est nécessaire de calculer la mesure d'un côté d'un triangle, sachant les mesures d'un angle opposé à celui-ci, de l'autre côté et de l'angle opposé à cet autre côté, nous devrions utiliser le loi sur les péchés. Cette loi peut également être utilisée pour trouver la mesure de l'un des angles d'un Triangle, si l'on connaît les mesures sous un autre angle et des côtés opposés de ces deux angles.

Ne vous arrêtez pas maintenant... Y'a plus après la pub ;)

Exemples

1 – Calculer la mesure du côté AB sur le Triangle Suivant.

Notez que le côté AB, représenté par x, est opposé à angle 45°, et le côté CB, qui mesure 10 cm, est opposé à l'angle de 30°. On peut donc utiliser le droitDesinus:

le = B
péchéα péchéβ

X =  10
sen45 sen30

En utilisant la propriété fondamentale des proportions, on a :

x·sen30 = 10·sen45

Dans le tableau des valeurs trigonométrique notable, sen45 = √2/2 et sen30 = 1/2. En remplaçant ces valeurs, nous avons :

X = 10√2
22

x = 10√2 cm

2 – Calculer la mesure côté CB sur le Triangle Suivant.

Le côté CB, représenté par x, est opposé à l'angle de 45°. Notez également que le côté AB, qui mesure 10 cm, est opposé à l'angle de 120°. En utilisant le droitDesinus, nous pouvons écrire:

le = B
péchéα péchéβ

X = 10
sen45 sen120

x·sen120 = 10·sen45

Pour continuer, rappelez-vous que senx = sin (180 – x), donc: sin120 = sin (180 – 120) = sen60. En remplaçant la valeur, on a :

x·sen60 = 10·sen45

X·√3 = 10·√2
22

x·√3 = 10·√2

x = 10·√2
√3

x = 10√3√2
3

x = 10√6
3

Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques

Souhaitez-vous référencer ce texte dans un travail scolaire ou académique? Voir:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. « Qu'est-ce que la loi des sinus? »; École du Brésil. Disponible en: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-lei-dos-senos.htm. Consulté le 27 juin 2021.