Ensembles numériques sont des ensembles de nombres qui ont des caractéristiques similaires. Ils sont nés à la suite des besoins de l'humanité à une certaine période historique. Voyez ce qu'ils sont !
Ensemble de nombres naturels
L'ensemble des Nombres naturels c'était le premier qu'on entendait. Il est né du simple besoin de faire des décomptes, donc ses éléments ne sont que des nombres entiers et non négatifs.
Représenté par N, l'ensemble des nombres naturels comporte les éléments suivants :
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Ensemble d'entiers
L'ensemble des nombres entiers c'est une extension de l'ensemble des nombres naturels. Il est formé en joignant l'ensemble des nombres naturels avec des nombres négatifs. En d'autres termes, l'ensemble des entiers, représenté par Z, a les éléments suivants :
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Ensemble de nombres rationnels
L'ensemble des nombres rationnels né de la nécessité de diviser les quantités. C'est donc l'ensemble des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction. Représenté par Q, l'ensemble des nombres rationnels a les éléments suivants :
Q = {x Q: x = a/b, a ∈ Z et b ∈ N}
La définition ci-dessus se lit comme suit: x appartient aux rationnels, tels que x est égal à le divisé par B, avec le appartenant aux nombres entiers et B appartenant aux naturels.
En d'autres termes, si c'est une fraction ou un nombre qui peut être écrit sous forme de fraction, alors c'est un nombre rationnel.
Les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction sont :
1 – Tous les nombres entiers ;
2 – Décimales finies ;
3 – Dîmes périodiques.
Les décimales finies sont celles qui ont un nombre fini de décimales. Regarder:
1,1
2,32
4,45
Les décimales périodiques sont des décimales infinies, mais elles répètent la séquence finale de leurs décimales. Regarder:
2,333333...
4,45454545...
6,758975897589...
Ensemble de nombres irrationnels
la définition de nombres irrationnels dépend de la définition des nombres rationnels. Par conséquent, tous les nombres qui n'appartiennent pas à l'ensemble des rationnels appartiennent à l'ensemble des nombres irrationnels.
De cette façon, soit un nombre est rationnel, soit il est irrationnel. Il n'y a aucune possibilité pour un nombre d'appartenir à ces deux ensembles simultanément. De cette façon, l'ensemble des nombres irrationnels est complémentaire de l'ensemble des nombres rationnels dans l'univers des nombres réels.
Une autre façon de définir l'ensemble des nombres irrationnels est la suivante: Les nombres irrationnels sont ceux qui non peut s'écrire sous forme de fraction. Sont-ils:
1 - Décimales infinies
2 – Racines pas exactes
Les décimales infinies sont des nombres qui ont des décimales infinies et ne sont pas des dîmes périodiques. Par example:
0,12345678910111213...
π
√2
Ensemble de nombres réels
L'ensemble des nombres réels est formé par tous les nombres mentionnés ci-dessus. Sa définition est donnée par l'union entre l'ensemble des nombres rationnels et l'ensemble des nombres irrationnels. Représenté par R, cet ensemble peut s'écrire mathématiquement comme suit :
R = QU I = {Q + I}
je est l'ensemble des nombres irrationnels. De cette façon, tous les nombres mentionnés ci-dessus sont également des nombres réels.
Ensemble de nombres complexes
L'ensemble des nombres complexes elle est née du besoin de trouver des racines non réelles d'équations de degré supérieur ou égal à 2. En essayant de résoudre l'équation x2 + 2x + 10 = 0, par exemple, grâce à la formule de Bhaskara, nous aurons :
X2 + 2x + 10 = 0
a = 1, b = 2 et c = 10
? = 22 – 4·1·10
? = 4 – 40
? = – 36
Quelles équations du second degré ont-ils? < 0 n'ont pas de racines réelles. Pour trouver leurs racines, l'ensemble des nombres complexes a été créé, de sorte que √–36 = √36·(–1) = 6·√– 1 = 6i.
Les éléments de l'ensemble des nombres complexes, représentés par C, sont définis comme suit :
z est un nombre complexe si z = a + bi, où a et b sont des nombres réels et i = √– 1.
Relation entre les ensembles numériques
Certains ensembles numériques sont des sous-ensembles d'autres. Certaines de ces relations ont été mises en évidence tout au long du texte, mais elles seront toutes expliquées ci-dessous :
1 – L'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres entiers ;
2 – L'ensemble des nombres entiers est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres rationnels ;
3 – L'ensemble des nombres rationnels est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres réels ;
4 – L'ensemble des nombres irrationnels est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres réels ;
5 – L'ensemble des nombres irrationnels et l'ensemble des nombres rationnels n'ont aucun élément en commun ;
6 – L'ensemble des nombres réels est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres complexes.
Indirectement, il est possible d'établir d'autres relations. On peut dire par exemple que l'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres complexes.
Il est également possible de faire la lecture inverse des relations évoquées ci-dessus et des relations indirectes qui peuvent être construites. Pour ce faire, il suffit de dire, par exemple, que l'ensemble des nombres entiers contient l'ensemble des nombres naturels.
En utilisant la symbologie de la théorie des ensembles, ces relations peuvent être écrites comme suit :
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm