Les équations trigonométriques sont des égalités qui impliquent des fonctions trigonométriques d'arcs inconnus. La résolution de ces équations est un processus unique qui utilise des techniques de réduction à des équations plus simples. Passons en revue les concepts et les définitions des équations sous la forme cosx = un.
Les équations trigonométriques sous la forme cosx = α ont des solutions dans l'intervalle –1 ≤ x ≤ 1. Déterminer les valeurs de x qui satisfont ce type d'équation obéira à la propriété suivante: Si deux arcs ont des cosinus égaux, alors ils sont congrus ou complémentaires..
Soit x = α une solution de l'équation cos x = α. Les autres solutions possibles sont les arcs congrus à l'arc α ou à l'arc – α (ou à l'arc 2π – α). Donc: cos x = cos. Notez la représentation dans le cycle trigonométrique :
Nous avons conclu que :
x = α + 2kπ, avec k Є Z ou x = – α + 2kπ, avec k Є Z
Exemple 1
Résoudre l'équation: cos x = √2/2.
D'après le tableau des rapports trigonométriques, que2/2 correspond à un angle de 45º. Puis:
cos x = √2/2 → cos x = π/4 (π/4 = 180º/4 = 45º)
Ainsi, l'équation cosx = √2/2 a pour solution tous les arcs congrus à l'arc π/4 ou –π/4 ou encore 2π – π/4 = 7π/4. Notez l'illustration :
Nous concluons que les solutions possibles de l'équation cos x = √2/2 sont :
x = π/4 + 2kπ, avec k Є Z ou x = – π/4 + 2kπ, avec k Є Z
Exemple 2
Résoudre l'équation: cos 3x = cos x
Lorsque les arcs 3x et x sont congrus :
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Lorsque les arcs 3x et x sont complémentaires :
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ/4
x = kπ/2
La solution de l'équation cos 3x = cos x est {x Є R / x = kπ ou x = kπ/2, avec k Є Z}.
par Mark Noah
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm