Fonction inverse: qu'est-ce que c'est, graphique, exercices

LES fonction inverse, comme son nom l'indique, est le fonction f(x)^-1, qui fait exactement l'inverse de la fonction f(x). Pour qu'une fonction supporte un inverse, elle doit être bijecteur, c'est-à-dire injecteur et surjecteur en même temps. La loi de formation d'une fonction inverse fait le contraire de ce que fait la fonction f(x).

Par exemple, si la fonction prend une valeur de domaine et ajoute 2, la fonction inverse, au lieu d'ajouter, soustrait 2. trouvez le loi de formation de fonction inverse ce n'est pas toujours une tâche facile, car il faut inverser les inconnues x et y, ainsi qu'isoler y dans la nouvelle équation.

A lire aussi :Fonction - tout ce que vous devez savoir pour maîtriser le sujet

Quand une fonction prend-elle en charge l'inverse ?

Représentation graphique d'une fonction et de sa fonction inverse.

Un rôle est inversible, c'est-à-dire qu'il a une fonction inverse, si, et seulement si, il est bijecteur. Il est important de se rappeler ce qu'est un fonction bijecteur, qui est une fonction

injecteur, c'est-à-dire que chaque élément de l'image a un seul correspondant de domaine. Cela signifie que différents éléments de l'ensemble A doivent être associés à différents éléments de la ensemble B, c'est-à-dire qu'il ne peut pas y avoir deux ou plusieurs éléments de l'ensemble A qui ont le même correspondant dans le ensemble B.

Un rôle est surjectif si l'image est égale au contre-domaine, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun élément de l'ensemble B auquel aucun élément de l'ensemble A n'est associé.

Soit la fonction f: A → B, où A est le domaine et B est le contre-domaine, la fonction inverse de f sera la fonction décrite par f^-1 : B→ A, c'est-à-dire que le domaine et le contre-domaine sont inversés.

Exemple:

La fonction f: A → B est bijective, puisqu'elle est injective (après tout, des éléments distincts de A sont associés à éléments distincts dans B) et il est également surjectif, car il ne reste aucun élément dans l'ensemble B, c'est-à-dire le contre-domaine est le même que ensemble Image.

Cette fonction est donc inversible et son inverse est :

Comment la loi de formation de la fonction inverse est-elle déterminée ?

Pour trouver la loi de formation de la fonction inverse, il faut renverser les inconnues, c'est-à-dire en remplaçant x par y et y par x, puis en isolant l'inconnue y. Pour cela, il est important que la fonction soit inversible, c'est-à-dire bijecteur.

→ Exemple 1

Trouver la loi de formation de la fonction inverse de f (x) = x + 5.

Résolution:

On sait que f(x) = y, donc y = x + 5. En inversant x et y, on trouve ce qui suit équation:

x = y + 5

Maintenant, isolons le y :

– 5 + x = y
y = x – 5

Clairement, si f(x) ajoute 5 à la valeur de x, alors son inverse f(x) ^{- 1} fera l'inverse, c'est-à-dire x moins 5.

→ Exemple 2

Étant donné la fonction dont la loi de formation est f(x) = 2x – 3, quelle sera la loi de formation de son inverse ?

→ Exemple 3

Calculer la loi de formation de l'inverse de la fonction y = 2^X.

Résolution:

y = 2^X
Changer x pour y :
x = 2^oui

postuler logarithme sur les deux côtés:

Journal₂x = journal₂2^oui
Journal₂x = ylog₂2
Journal₂x = y · 1
Journal₂x = y
y = journal₂X

A lire aussi: Différences entre fonction et équation

Graphique de la fonction inverse

Le graphique de la fonction inverse f ^-1 il sera toujours symétrique au graphe de la fonction f par rapport à la droite y = x, ce qui permet d'analyser le comportement de ces fonctions, bien que nous ne puissions pas décrire la loi de formation de fonction inverse dans certains cas, en raison de sa complexité.

A lire aussi: Comment représenter graphiquement une fonction ?

Exercices résolus

1) Si f^-1 est la fonction inverse de f, qui va de R à R, dont la loi de formation f (x) = 2x – 10, la valeur numérique de f ^-1(2) é:

à 1

b) 3

c) 6

d) -4

e) -6

Résolution:

→ 1ère étape: trouver l'inverse de f.

→ 2ème étape: remplacer 2 à la place de x dans f ^-1(X).

Variante C.

2) Soit f: A → B une fonction dont la loi de formation est f (x) = x² + 1, où A {-2, -1, 0, 1, 2} et B = {1,2,5}, il est juste de dire que :

a) la fonction est inversible, car elle est bijective.

b) la fonction n'est pas inversible, car elle n'est pas injectante.

c) la fonction n'est pas inversible, car elle n'est pas surjective

d) la fonction n'est pas inversible, car elle n'est ni surjective ni injective.

e) la fonction n'est pas inversible, car elle est bijective.

Résolution:

Pour que la fonction soit inversible, elle doit être bijective, c'est-à-dire surjective et injectante. Analysons d'abord s'il est surjectif.

Pour que la fonction soit surjective, tous les éléments de B doivent avoir une contrepartie dans A. Pour le savoir, calculons chacune de ses valeurs numériques.

f (-2) = (-2)² +1 = 4+1=5

f (-1) = (-1)² +1 = 1+1=2

f (0) = 0² +1 = 0+1=1

f(1) = 1² +1 = 1+1=2

f(2) = 2² +1 = 4+1=5

Notez que tous les éléments de B {1,2,5} ont un correspondant dans A, ce qui rend la fonction surjectif.

Pour que cette fonction soit injectante, les éléments distincts de A doivent avoir des images distinctes dans B, ce qui n'arrive pas. Notez que f(-2) = f (2) et aussi que f(-1) = f (1), ce qui rend la fonction ne t'injecte pas. Comme il ne s'agit pas d'un injecteur, il n'est pas non plus inversible; donc, alternative b.

Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm