O triangle rectangle obtient ce nom parce que un de ses angles a une mesure de 90º, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un angle droit. Étant l'un des polygones les plus étudiés dans Géométrie plane, il a été possible de voir des relations entre les angles et aussi entre les côtés de cette figure.
O Théorème de Pythagore, par exemple, il a été développé après avoir réalisé qu'il existe une relation entre les mesures des côtés du triangle. Ainsi, connaissant les mesures des deux côtés du triangle, il est possible de calculer la valeur du troisième côté. Le théorème de Pythagore dit que la somme du carré des jambes est toujours égale au carré de l'hypoténuse.
En plus du théorème de Pythagore, un autre domaine important développé à travers les études de ce triangle était le trigonométrie, dans lequel les rapports entre les côtés du triangle, appelés sinus, cosinus et tangente, sont développés. A travers ces raisons, il a été remarqué qu'il existe une proportion entre les mesures des côtés de triangles rectangles qui ont des angles égaux.
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Caractéristiques du triangle rectangle
Le triangle rectangle est un polygone qui a trois côtéset trois angles, et l'un de ces angles est droit, c'est-à-dire qu'il a 90º. Les deux autres angles sont aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90º. Le côté le plus long, qui est toujours opposé à l'angle de 90°, est appelé hypoténuse, et les deux autres s'appellent pécaris.
Le triangle rectangle conserve toutes les propriétés connues du triangle commun, comme le fait que le somme des angles internes être égal à 180º. Comme la somme est toujours de 180º et que l'un de ses angles a déjà 90º, on peut dire que les deux autres angles sont toujours complémentaires, c'est-à-dire que leur somme est également égale à 90º.
a et b → seins
c → hypoténuse
Périmètre du triangle rectangle
Le périmètre de tout polygone est la longueur de la somme de tous ses côtés. Donc, pour calculer le périmètre du triangle rectangle, il suffit d'ajouter ses côtés.
P = a + b + c
zone du triangle rectangle
LES zone triangulaire rectangle, ainsi qu'un Triangle any, est la moitié du produit entre la base et la hauteur. La particularité du triangle rectangle est que l'une de ses jambes coïncide avec sa hauteur, car elles sont perpendiculaires l'une à l'autre, donc pour calculer l'aire, on multiplie les jambes et on divise le résultat par deux.
Exemple:
Calculez le périmètre et l'aire du triangle rectangle ci-dessous sachant que ses côtés sont donnés en centimètres.
p = 8 + 15 + 17
P = 40 cm
Calculons maintenant l'aire :
Voir aussi: Calculer l'aire d'un triangle à l'aide d'angles
théorème de Pythagore
Le théorème le plus connu en mathématiques est sans aucun doute le théorème de Pythagore. A partir de ce théorème, il a été possible de voir que les côtés d'un triangle rectangle sont liés comme suit: étant donné tout triangle rectangle, la somme du carré des jambes est égale au carré de l'hypoténuse.
a² + b² = c²
a et b → seins
c → hypoténuse
A partir de ce théorème, il est possible de trouver la valeur de chaque côté d'un triangle rectangle, tant que les deux autres sont connus.
Exemple:
Quelle est la valeur de l'hypoténuse du triangle rectangle ci-dessous sachant que ses mesures sont données en centimètres ?
En appliquant le théorème de Pythagore, il faut :
6² + 8² = x²
36 + 64 = x²
100 = x²
x² = 100
x=√100
x = 10 cm
Pour en savoir plus sur cette relation importante, lisez le texte: TEorème de Pythagore.
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Le nom de trigonométrie fait déjà référence à son objet d'étude :
- tri → trois ;
- gono → angle;
- métriques → métrique ou mesure.
Ainsi, la trigonométrie est le domaine des mathématiques qui étudie la relation entre les mesures des angles du triangle et ici nous allons nous en tenir au triangle rectangle. La trigonométrie étudie le rapport entre les côtés du triangle en fonction de sa angle. Avec cela, il a été possible de développer des concepts importants, qui sont les raisons pour lesquelles sinus, cosinus et tangente. Il convient de mentionner que d'autres raisons trigonométriques ont été développées avec l'approfondissement de l'étude de la trigonométrie dans le cercle trigonométrique.
Avant de comprendre ce que sont chacun de ces rapports, il est important de comprendre ce qu'est un côté opposé et ce qu'est un côté adjacent à un angle d'un triangle.
Comme nous l'avons vu, la hypoténuse est le côté représenté par le segment AB, car c'est toujours le côté le plus long du triangle et aussi le angle de 90º orienté vers le côté. Les autres côtés sont appelés jambes. Selon l'angle que l'on prend comme référence, le côté peut être opposé ou adjacent.
Le pécari est connu comme le contraire lorsqu'il fait face à l'angle. Le côté opposé à l'angle, par exemple, est le côté AC; par contre, le côté opposé à l'angle lado est le côté BC.
O le pécari est connu comme adjacent quand il forme l'angle près de l'hypoténuse. Notez que l'angle est entre les côtés BC et AB. Puisque AB est l'hypoténuse du triangle rectangle, alors AB est une jambe adjacente à l'angle ꞵ. En utilisant le même raisonnement, il est possible de voir que le lado AC est le côté adjacent de l'angle ɑ.
En comprenant chaque côté du triangle, il est possible de comprendre le rapports trigonométriques.
Pour appliquer les rapports trigonométriques, il faut connaître les angles remarquables, c'est-à-dire les angles de 30º, 45º et 60º. La plupart des problèmes d'examen et d'examen d'entrée sont liés à ces angles, et il est donc nécessaire de connaître les valeurs des motifs de chacun d'eux.
Voir le tableau avec les valeurs sinus, cosinus et tangente pour les angles notables :
Connaissant la valeur des rapports trigonométriques du triangle au moyen d'un côté et d'un angle, il est possible de trouver tous les côtés d'un triangle rectangle à partir de la trigonométrie.
Exemple:
Trouvez la valeur de x.
Pour trouver la valeur de x, regardons l'angle qui a été donné. Notez qu'il est adjacent au côté dont nous connaissons la mesure, c'est-à-dire que AC est adjacent à l'angle de 30°. Ensuite, nous appliquerons le rapport tangent, qui relie le côté adjacent et l'hypoténuse. De plus, en regardant le tableau, nous savons que le cosinus du 30e est égal à 3/2.
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Exercices résolus
Question 1 - (IFG) Le théodolite est un instrument de précision pour mesurer les angles horizontaux et les angles verticaux, utilisé dans les travaux de construction. Une entreprise a été embauchée pour peindre un immeuble de quatre étages. Pour connaître la surface totale à peindre, elle doit trouver la hauteur du bâtiment. Une personne positionne l'instrument à 1,65 mètre de hauteur, trouvant un angle de 30°, comme indiqué sur la figure. En supposant que le théodolite se trouve à 13√3 mètres du bâtiment, quelle est la hauteur, en mètres, du bâtiment à peindre ?
A) 11,65
B) 12,65
C) 13,65
D) 14,65
E) 15,65
Résolution
Alternative D.
Puisque nous voulons trouver le côté opposé à l'angle de 30°, sachant que la distance 13√3, qui est la distance du théodolite au bâtiment, est le côté adjacent à l'angle de 30°, nous allons donc utiliser la tangente :
Maintenant, nous allons ajouter 13 + 1,65 = 14,65 mètres de haut.
Question 2 - Pour effectuer la plantation sur sa propriété, un agriculteur a divisé sa terre cultivable de forme rectangulaire en deux, sur sa diagonale, formant deux triangles rectangles. Dans cette division, la moitié du terrain sera clôturée avec du fil, à l'aide de 4 fils. Sachant que les dimensions du terrain sont de 20 mètres de large et 21 mètres de long, combien sera dépensé en fil de fer ?
A) 29 mètres
B) 70 mètres
C) 140 mètres
D) 210 mètres
E) 280 mètres
Résolution
Alternative E.
Trouvons d'abord la diagonale du terrain, qui est l'hypoténuse du triangle rectangle. Pour faciliter les choses, nous allons faire l'image de la situation :
Donc, nous devons :
d² = 20² + 21²
d² = 400 + 441
d² = 841
d = √841
d=29
Pour faire le tour, il faut 29 + 20 + 21 = 70 mètres, ainsi que 4 tours, 70 · 4 = 280 mètres.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm