L'ensemble des nombres premiers est l'objet d'étude en math de la Grèce antique. Euclide, dans son grand ouvrage « Les Éléments », a déjà abordé le sujet, réussissant à démontrer que ce ensemble c'est infini. Comme nous le savons, les nombres premiers sont ceux qui ont le nombre 1 comme diviseur et eux-mêmes, ainsi, trouver de très grands nombres premiers n'est pas une tâche facile, et le tamis d'Eratosthène le rend facile. Rencontre.
Comment sait-on qu'un nombre est premier ?
On sait qu'un nombre premier est uncelui qui a comme diviseur le numéro 1 et lui-même, donc un nombre qui, dans sa liste de diviseurs, a des nombres autres que 1 et de lui-même ne sera pas premier, voir :
En listant les diviseurs 11 et 30, nous avons :
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Notez que le nombre 11 n'a que le nombre 1 et lui-même comme diviseurs, donc le le nombre 11 est un nombre premier. Maintenant, regardez les diviseurs du nombre 30, il a, en plus du nombre 1 et lui-même, les nombres 2, 3, 5, 6 et 10 avec des diviseurs. Par conséquent,
le nombre 30 n'est pas premier.→ Exemple: liste les nombres premiers inférieurs à 15.
Pour cela, nous allons lister les diviseurs de tous les nombres entre 2 et 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Ainsi, les nombres premiers inférieurs à 15 sont :
2, 3, 5, 7, 11 et 13
Avouons-le, cette tâche ne serait pas très agréable, par exemple, si nous devions écrire tous les nombres premiers entre 2 et 100. Pour l'éviter, nous apprendrons à utiliser, dans le prochain sujet, le tamis d'Eratosthène.
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Tamis d'Eratosthène
Le crible d'Eratosthène est un outil qui vise à faciliter la détermination des nombres premiers. Le tamis se compose de quatre étapes, et il est nécessaire, pour les comprendre, de garder à l'esprit la critères de divisibilité. Avant de commencer le pas à pas, il faut créer un tableau du nombre 2 au nombre souhaité, puisque le nombre 1 n'est pas premier. Puis:
→ Étape 1: A partir du critère de divisibilité par 2, on a que les nombres pairs sont tous divisibles par lui, c'est-à-dire les le numéro 2 apparaîtra dans la liste des diviseurs, donc ces nombres ne seront pas premiers et nous devons les exclure de la tableau. Sont-ils:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Étape 2: A partir du critère de divisibilité par 3, on sait qu'un nombre est divisible par 3 si le somme de ses chiffres c'est aussi. Ainsi, il faut exclure ces nombres du tableau, car ils ne sont pas premiers car il y a un nombre autre que 1 et lui-même dans la liste des diviseurs. Donc, nous devons exclure les nombres:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Étape 3: A partir du critère de divisibilité par 5, on sait que tous les nombres se terminant par 0 ou 5 sont divisibles par 5, il faut donc les exclure du tableau.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Étape 4: De même, nous devons exclure les nombres multiples de 7 du tableau.
14, 21, 28, …, 546, …
– Connaissant le crible d'Eratosthène, déterminons les nombres premiers entre 2 et 100.
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98 |
99 |
100 |
→ ne sont pas cousins
→ nombres premiers
Les nombres premiers entre 2 et 100 sont donc :
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
A lire aussi: Calcul MMC et MDC: comment faire ?
Décomposition en facteurs premiers
LES décomposition en facteurs premiers est formellement connu sous le nom théorème fondamental de l'arithmétique. Ce théorème dit que tout entier différent de 0 et supérieur à 1 peut être représenté par le produit de nombres premiers. Pour déterminer la forme factorisée d'un entier, il faut effectuer des divisions successives jusqu'à atteindre le résultat égal à 1. Voir l'exemple :
→ Déterminer la forme factorisée des nombres 8, 20 et 350.
Pour factoriser le nombre 8, il faut le diviser par le premier nombre premier possible, en l'occurrence par 2. Ensuite, nous effectuons une autre division également par le nombre premier possible, ce processus est répété jusqu'à ce que nous atteignions le nombre 1 comme réponse à la division. Voir:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Par conséquent, la forme factorisée du nombre 8 est 2 · 2 · 2 = 23. Afin de faciliter ce processus, nous adopterons la méthode suivante :
Par conséquent, le nombre 8 peut s'écrire: 23.
→ Pour factoriser le nombre 20, nous utiliserons la même méthode, à savoir: le diviser par des nombres premiers.
Ainsi le nombre 20, sous sa forme factorisée, est: 2 · 2 · 5 ou 22 · 5.
→ De même, nous ferons avec le nombre 350.
Par conséquent, le nombre 350, dans sa forme factorisée, est: 2 · 5 · 5 · 7 ou 2 · 52 · 7.
Voir aussi: La notation scientifique: à quoi ça sert ?
Exercices résolus
question 1 – Simplifier l'expression :
Solution
Tout d'abord, factorisons l'expression pour le rendre plus facile.
Ainsi, 1024 = 210, et donc nous pouvons substituer l'un à l'autre dans l'expression d'exercice. Ainsi:
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
