Résoudre systèmeslinéaire c'est une tâche très récurrente pour les études dans les domaines des sciences naturelles et des mathématiques. La recherche de valeurs inconnues a conduit au développement de méthodes de résolution de systèmes linéaires, telles que la méthode d'addition, d'égalité et de substitution pour les systèmes qui ont deux équations et deux inconnues, et la règle et l'échelle de Crammer, qui résolvent des systèmes linéaires de deux équations, mais qui sont plus pratiques pour les systèmes avec plus d'équations. Un système linéaire est un ensemble de deux ou plusieurs équations avec une ou plusieurs inconnues.
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équation linéaire
Le travail avec les équations existe en raison de la besoin de trouver des valeurs inconnues inconnues. Nous l'appelons une équation lorsque nous avons une expression algébrique avec égalité, et elle est classée comme linéaire lorsque le plus grand exposant de ses inconnues est 1, comme le montrent les exemples suivants :
2x + y = 7 → équation linéaire à deux inconnues
a + 4 = -3 → équation linéaire à une inconnue
De manière générale, une équation linéaire peut être décrite par :
le1X1 + le2X2 + a3x3... + anonXnon = c
Nous appelons système d'équations lorsqu'il existe plusieurs équations linéaires. Nous commencerons par des systèmes linéaires à deux inconnues.
Résolution de systèmes linéaires
Systèmes linéaires avec deux équations du 1er degré et deux inconnues
Pour résoudre un système de deux équations et deux inconnues, il existe plusieurs méthodes, les trois plus connus sont :
- méthode de comparaison
- méthode d'addition
- méthode de substitution
N'importe lequel des trois peut résoudre un système linéaire de deux équations et de deux inconnues. Ces méthodes ne sont pas aussi efficaces pour les systèmes avec plus d'équations, car il existe d'autres méthodes spécifiques pour les résoudre.
Méthode de remplacement
La méthode de remplacement consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et effectuer la substitution dans l'autre équation.
Exemple:
1ère étape: isoler l'une des inconnues.
On appelle I la première équation et II la deuxième équation. En analysant les deux, faisons choisissez l'inconnu le plus facile à isoler. Notez que dans le équation I → x + 2y = 5, x n'a pas de coefficient, ce qui le rend plus facile à isoler, nous allons donc réécrire l'équation que j'aime bien :
I → x + 2y = 5
I → x = 5 - 2y
2ème étape : remplacer I par II.
Maintenant que nous avons l'équation I avec x seul, dans l'équation II, nous pouvons remplacer x par 5 – 2y.
II → 3x – 5y = 4
Remplacer x par 5 - 2y :
3 (5 - 2 ans) - 5 ans = 4
Maintenant que l'équation n'a qu'une inconnue, il est possible de la résoudre pour trouver la valeur de y.
Connaissant la valeur de y, nous trouverons la valeur de x en remplaçant la valeur de y dans l'équation I.
I → x = 5 - 2y
x = 5 - 2 · 1
x = 5 - 2
x = 3
Donc la solution du système est S = {3,1}.
Méthode de comparaison
La méthode de comparaison consiste à isoler une inconnue dans les deux équations et égaliser ces valeurs.
Exemple:
1ère étape : Soit I la première équation et II la seconde, isolons une des inconnues de I et II. En choisissant d'isoler l'inconnu x, il faut :
2ème étape: égaliser les deux nouvelles équations, puisque x = x.
3ème étape: remplacer la valeur de y par -2 dans l'une des équations.
x = -4 - 3 ans
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
La solution de ce système est donc l'ensemble S = {2,-2}.
Voir aussi: Quelles sont les différences entre fonction et équation ?
méthode d'addition
La méthode d'addition consiste à effectuer la multiplication de tous les termes d'une des équations, de telle manière que, lorsque en ajoutant l'équation I à l'équation II, une de ses inconnues est égale à zéro.
Exemple:
1ère étape : multiplier une des équations pour que les coefficients soient opposés.
Notez que si l'on multiplie l'équation II par 2, on a 4y dans l'équation II et -4y dans l'équation I, et que par nous ajoutons I + II, nous avons 0y, multiplions donc tous les termes de l'équation II par 2 pour que ce se produire.
I → 5x – 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2ème étape : effectuer la somme I + 2 · II.
3ème étape : remplacer la valeur de x = 3 dans l'une des équations.
Systèmes linéaires avec trois équations du 1er degré et trois inconnues
Lorsque le système a trois inconnues, nous adoptons d'autres méthodes de résolution. Toutes ces méthodes relient les coefficients aux matrices, et les méthodes les plus utilisées sont la règle de Crammer ou la mise à l'échelle. Pour la résolution dans les deux méthodes, il est nécessaire que la représentation matricielle du système, y compris le système 2x2 puisse être représentée au moyen d'une matrice. Il y a deux représentations possibles, la matrice complète et la matrice incomplète :
Exemple:
Le système
Peut être représenté par matrice complète
Et pour matrice incomplète
La règle de Crammer
Pour trouver des solutions pour un système 3x3, avec des inconnues x, y et z, en utilisant le La règle de Crammer, il faut calculer le déterminant de la matrice incomplète et ses variations. Nous devons donc :
D → déterminant de la matrice incomplète du système.
réX → déterminant de la matrice incomplète du système, remplaçant la colonne de x par la colonne des termes indépendants.
réoui → déterminant de la matrice incomplète du système, remplaçant la colonne de y par la colonne des termes indépendants.
réz → déterminant de la matrice incomplète du système, remplaçant la colonne de z par la colonne de termes indépendants.
Donc, pour trouver la valeur de vos inconnues, nous devons d'abord calculer le déterminant D, DX, RÉoui associé au système.
Exemple:
1ère étape : calculer D.
2ème étape : calculer DX.
3ème étape : alors on peut trouver la valeur de x, car :
4ème étape: calculer Dy.
5ème étape: alors on peut calculer la valeur de y :
6ème étape : maintenant que nous connaissons la valeur de x et y, dans l'une ou l'autre ligne, nous pouvons trouver la valeur de z en substituant la valeur de x et y et en isolant z. Une autre option consiste à calculer Dz.
En remplaçant x = 0 et y = 2 dans la première équation :
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 – z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Par conséquent, la solution système est l'appel d'offres (0.2,-1).
Accédez également à: Résolution de problèmes par des systèmes d'équations
mise à l'échelle
Une autre méthode de résolution des systèmes linéaires est la mise à l'échelle, dans laquelle nous n'utilisons que la matrice complète et les opérations entre les lignes afin d'isoler leurs inconnues. Mettons à l'échelle le système ci-dessous.
1ère étape: écrire la matrice complète qui représente le système.
être L1, L2 et moi3 respectivement les lignes 1, 2 et 3 de la matrice, nous effectuerons des opérations entre L1 et moi2 et moi1 et moi3, de sorte que le résultat rend les termes de la première colonne des deuxième et troisième rangées égaux à zéro.
En analysant la deuxième ligne de la matrice, remplaçons-la par le résultat de L2 → -2 · L1 + L2, afin de mettre à zéro le terme a21.
le21 = -2 · 1 + 2 = 0
le22 = -2 · 2 + 1 = -3
le23 = -2 · (-3) + 1 = 7
le24 =-2 · 10 + 3 = -17
Alors le L2 sera 0 -3 7 -17.
En analysant la troisième ligne de la matrice, remplaçons-la par le résultat de L3 → 3L1 + L2, afin de remettre le terme à31.
le31 = 3 · 1 – 3 = 0
le32 = 3 · 2 + 2 = 8
le33 = 3 · (-3) +1 = -8
le34 = 3 · 10 – 6 = 24
Alors le L3 sera 0 8 -8 24.
Notez que tous sont divisibles par 8, de sorte que la ligne L3 simplifiez-le, divisons-le par 8.
L3 → L3 : 8 sera: 0 1-1 3.
La nouvelle matrice de l'équation mise à l'échelle sera donc :
Maintenant, le but est de réinitialiser la colonne y dans la troisième ligne, nous allons effectuer des opérations entre L2 et moi3, dans le but de remettre à zéro la deuxième colonne de l'une d'entre elles.
Nous remplacerons L3 par L3 → L2 + 3L3.
le31 = 0 + 3 · 0 = 0
le32 = -3 + 3 · 1 = 0
le33 = 7 + 3 · (-1) = 4
le34 = -17 + 3 · 3 = -8
Alors L3 sera: 0 0 4 -8.
La nouvelle matrice mise à l'échelle sera :
Maintenant, lorsque nous représentons cette matrice comme un système, en ajoutant x, y et z aux colonnes, nous trouverons ce qui suit :
On peut alors trouver la valeur de chacune des inconnues. En analysant l'équation III, il faut :
Si z = -2, substituons la valeur de z dans la deuxième équation :
Enfin, dans la première équation, substituons la valeur de y et z pour trouver la valeur de x.
Voir aussi: Système d'inégalités du 1er degré – comment le résoudre ?
classification de système linéaire
Un système linéaire est un ensemble d'équations linéaires, qui peuvent avoir plusieurs inconnues et plusieurs équations. Il existe plusieurs méthodes pour le résoudre, quel que soit le nombre d'équations. il ya trois notes pour un système linéaire.
- Système possible déterminé (SPD) : quand vous avez une seule solution.
- Système possible indéterminé (SPI): quand il a des solutions infinies.
- système impossible(SI): quand il n'y a pas de solution.
Exercices résolus
question 1 (IFG 2019) Considérons la somme des mesures d'une base et la hauteur par rapport à cette base d'un triangle égale à 168 cm et la différence égale à 24 cm. Il est correct d'affirmer que les mesures de la base et la hauteur par rapport à cette base mesurent respectivement :
a) 72 cm et 96 cm
b) 144 cm et 24 cm
c) 96 cm et 72 cm
d) 24 cm et 144 cm
Résolution
Variante C.
Soit h → hauteur et b → base, alors on a le système suivant :
Par la méthode de l'addition, nous devons :
Pour trouver la valeur de h, substituons b = 96 cm dans la première équation :
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168 - 96
h = 72 cm
question 2 La matrice incomplète qui représente le système linéaire suivant est :
Résolution
Variante C.
La matrice incomplète est celle qui a les coefficients de x, y et z, ce sera donc une matrice 3x3. En analysant les alternatives, celle qui contient la matrice 3x3 avec les bons signes est la lettre C.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm
